黑龍江省虎林高級中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第三講 一般形式的柯西不等式課件 新人教A版選修45

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1、一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式二二 .,是三維的形式是三維的形式空間向量的坐標(biāo)空間向量的坐標(biāo)是二維形式是二維形式平面上向量坐標(biāo)平面上向量坐標(biāo)我們知道我們知道zyxyx?,么結(jié)論呢么結(jié)論呢關(guān)于柯西不等式會有什關(guān)于柯西不等式會有什問題問題從三維的角度思考從三維的角度思考聯(lián)系前一節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系前一節(jié)的內(nèi)容思考思考xyo 21aa , 11bb ,xyo 321aaa, 311bbb,z123 .圖圖xyo 21aa , 11bb ,xyo 321aaa, 311bbb,z123 .圖圖 .,. |,.等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)?shù)鹊仁绞胶蠛蟮玫枚S維形形式式的的柯柯西西不不化化簡簡

2、將將平平面面向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入能能得得到到從從平平面面向向量量的的幾幾何何背背景景觀觀察察圖圖22112221122212221123bababababbaa ,. |,2332211232221232221babababbbaaa 化化簡簡得得將將空空間間向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入也也能能得得到到從從空空間間向向量量的的幾幾何何背背景景類類似似地地 .,等等號號成成立立時時得得使使或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)即即共共線線時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)3210 ikbakii.等等式式叫叫做做三三維維形形式式的的柯柯西西不不我我們們把把不不等等式式?,西西不不等等式式嗎嗎能能猜猜想想出出一一般般

3、形形式式的的柯柯你你式式柯柯西西不不等等式式對對比比二二維維形形式式和和三三維維形形探探究究 .,222112222122221nnnnbabababbbaaa 為為柯柯西西不不等等式式的的一一般般形形式式我我們們猜猜想想?如何證明以上猜想如何證明以上猜想.,我們采用下面的證法我們采用下面的證法并比較左右比較麻煩并比較左右比較麻煩直接展開直接展開中括號內(nèi)含較多的項(xiàng)中括號內(nèi)含較多的項(xiàng)由于不等式由于不等式,nnnbababaBaaaA 221122221如果設(shè)如果設(shè),22221nbbbC ,2BAC 就是就是不等式不等式那么那么.,.不等式不等式應(yīng)的判別式來證明應(yīng)的判別式來證明并通過討論相并通過討

4、論相二次函數(shù)二次函數(shù)這就啟發(fā)我們可以構(gòu)造這就啟發(fā)我們可以構(gòu)造密切相關(guān)密切相關(guān)判別式判別式這正好與二次函數(shù)這正好與二次函數(shù)ACBCBxAxy44222 .式顯然成立時或當(dāng)證明002121 nnbbbaaa,002222121 nnaaaaaa則中至少有一個不為當(dāng)考慮二次函數(shù) .2222122112222212nnnnbbbxbababaxaaaxf ,02212211 nnbxabxabxaxfx因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù) 即的判別式所以二次函數(shù), 0 xf .044222212222122211 nnnnbbbaaabababa .,以上不等式取等號判別式零點(diǎn)時有唯一當(dāng)且僅當(dāng)于是得02221122221

5、22221 xfbabababbbaaannnn .,nibxaxii 210使有唯一實(shí)數(shù)此時.,由此再利用判式由此再利用判式方和方和出現(xiàn)了后面的平出現(xiàn)了后面的平了配方了配方這里構(gòu)造的函數(shù)考慮到這里構(gòu)造的函數(shù)考慮到于于是是有有得得知知猜猜想想成成立立通通過過以以上上證證明明, nibi, 210當(dāng)且僅當(dāng)總之.,;,iinbxaxbbbx100021 則有若式成立則若 .,等號成立時或nikbaii 21 .),(,),(,時時等等號號成成立立使使得得或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定定理理nikbaknibbabababbbaaabbbbaaaaiiinnnnnn

6、21210222112222122221321321以以上上不不等等式式稱稱為為.一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式.?們們自自己己進(jìn)進(jìn)行行探探究究請請同同學(xué)學(xué)不不等等式式證證明明它它何何應(yīng)應(yīng)用用一一般般形形式式的的柯柯西西如如怎怎樣樣的的形形式式的的三三角角不不等等式式應(yīng)應(yīng)是是一一般般探探究究.西不等式的一些應(yīng)用西不等式的一些應(yīng)用下面介紹一般形式的柯下面介紹一般形式的柯 .,222212212111nnnaaaaaanaaa 求證求證是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)已知已知例例.,這就引出證明思路這就引出證明思路式式顯符合柯西不等式的形顯符合柯西不等式的形能使式子變成明能使式子變成明乘要證的式子的兩邊乘要

7、證的式子的兩邊用用分析分析n ,22122221nnaaaaaan 所以 .222212211nnaaaaaan 即根據(jù)柯西不等式有證明 ,22122221222111111nnaaaaaa 個n.,dacdbcabdcbadcba 22222證明證明是不全相等的正數(shù)是不全相等的正數(shù)已知已知例例.,明明可以用柯西式不等式證可以用柯西式不等式證順序啟發(fā)我們順序啟發(fā)我們排列排列特別是右邊式子的字母特別是右邊式子的字母組成的式子組成的式子這四個數(shù)這四個數(shù)上式兩邊都是由上式兩邊都是由分析分析dcba 222222222dacdbcabadcbdcba 有根據(jù)柯西不等式證明, ,不成立所以等式是不全相等

8、的正數(shù)因?yàn)?addccbbadcba ,222222dacdbcabdcba 所以所以.dacdbcabdcba 2222即 ?立嗎立嗎你能解釋為什么它不成你能解釋為什么它不成1.,的最小值的最小值求求已知已知例例2221323zyxzyx .,式而解決問題式而解決問題作為因作為因可以通過構(gòu)造可以通過構(gòu)造系柯西不等式系柯西不等式聯(lián)聯(lián)的形式的形式以及以及由由分析分析222222321132 zyxzyx ,1323212222222 zyxzyx有根據(jù)柯西不等式解即當(dāng)且僅當(dāng)所以,321141222zyxzyx .,14114371141222取最小值時zyxzyx .,.,應(yīng)應(yīng)用用它它就就能能更更靈靈活活地地掌掌握握它它的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)特特點(diǎn)點(diǎn)式式柯柯西西不不等等解解正正確確理理解解往往往往是是簡簡明明的的用用柯柯西西不不等等式式對對于于許許多多不不等等式式問問題題