《黑龍江省虎林高級中學高三數學 第三講 第四課柯西不等式與排序不等式課件 新人教A版選修45》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《黑龍江省虎林高級中學高三數學 第三講 第四課柯西不等式與排序不等式課件 新人教A版選修45（21頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第三講第三講柯西不等式與柯西不等式與排序不等式排序不等式排序不等式排序不等式三三 ?,?,:.,.,.,.,.,小小個個三三角角形形的的面面積積之之和和最最使使得得到到的的才才能能如如何何一一一一搭搭配配個個三三角角形形面面積積之之和和最最大大得得到到的的才才能能使使邊邊上上的的點點如如何何一一一一搭搭配配邊邊上上的的點點與與問問不不同同因因而而三三角角形形面面積積也也可可能能不不同同得得到到的的不不同同搭搭配配的的方方法法顯顯然然個個三三角角形形得得到到一一共共可可以以這這樣樣一一一一搭搭配配得得到到連連結結某某個個點點與與選選取取某某個個點點邊邊也也依依次次取取點點沿沿個個點點邊邊依依次次
2、取取沿沿自自點點設設如如圖圖探探究究nnOBOAOBAnOBAnjBjniABBBOBAAAnOAOAOBjijiinn 212113321211B2BO1A2AiAnAjBnBAB133 .圖圖 .,.,nnjjiibbbbaaaanJibOBaOA 32132121得得由已知條件由已知條件設設:,sin,sin代數問題代數問題歸結為下面的歸結為下面的上面的幾何問題就可以上面的幾何問題就可以于是于是數數是常是常而而的面積是的面積是因為因為2121jijibaOBA?,何時取得最大值何時取得最大值個乘積的和個乘積的和問以下的問以下的的任何一個排列的任何一個排列是數組是數組nnnncacacaS
3、nbbbccc 22112121 .:,.,21332211212312112121SSSbabababaSbabababaSbbbaaaSnnnnnnnn 下下面面的的不不等等式式應應該該成成立立幾幾何何直直覺覺告告訴訴我我們們作作同同樣樣的的定定義義我我們們對對一一般般的的實實數數組組也也稱稱為為和和的的按按相相同同順順序序相相乘乘所所得得積積稱稱為為所所得得積積的的和和其其中中按按相相反反順順序序相相乘乘的的和和叫叫做做數數組組我我們們把把上上面面的的和和亂亂序序和和反反序序和和順順序序.順順序序和和亂亂序序和和即即反反序序和和 和和 .,反反序序和和是是否否最最小小最最大大看看看看順順
4、序序和和是是否否試試試試和和例例如如數數不不妨妨用用兩兩組組為為初初步步檢檢驗驗上上面面的的直直覺覺探探究究654321.,明明下下面面我我們們進進行行一一般般性性證證直直覺覺一一定定正正確確但但這這還還不不能能完完全全說說明明致致檢檢驗驗的的結結果果會會與與直直覺覺一一 ., !,!,最大值和最小值其中必有個數個的不同的值也只有有限所以個的全排列只有因為的任一排列是數為兩組設證明ncacacaSnbbbbbbcccbbbaaannnnnnn 22112121212121 .,kkcckbcbc 11111則有某若式考慮nnkkkcacacaScc 111,得對換中將 .0111111 kkk
5、kkkccaacacacacaSS得 .,和式不減小后中的第一項調換為這說明將11ba.,并進行類似討論則轉而考察若211cbc .,和式不減小后項換為第二中的第一項換為將可以證明類似地2211baba .,2SSci 即最大和數是順序和排序的情況由小到大能是數組大和數所對應的情況只最可知一切和中經有限步調整如此繼續(xù)下去.,11SS 即最小和數是反序和同樣可證.是正確的面的直覺至此我們已經證明了前因此21SSS ?,?么什么條件下兩者相等么什么條件下兩者相等那那如果能如果能能相等嗎能相等嗎與反序和與反序和順序和順序和思考思考12SS.,212121SSSbbbaaann 即順序和等于反序和時或
6、當容易發(fā)現 ,.,),(,jkilljkikklljjiikljinnbabababababababaSSbbaanklklnjijibbbaaa 2212111考慮和數的方法用類似上面證明使得和則一定可以找到也不全相等并且不全相等如果事實上 ,jkilkjlikklljjiibabababababababaSS 2 ., SSbbaaSSSlkij即而且的形式這兩個和數都符合前面可以看出0.21SSSS 進而得得得歸結上面證明的結論歸結上面證明的結論, .,.,序序和和等等于于順順序序和和反反時時或或當當且且僅僅當當那那么么的的任任一一排排列列是是為為兩兩組組實實數數設設又又稱稱排排序序原原
7、理理排排序序不不等等式式定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbcccbbbaaainequalitysequence 212122112211112121212121.,式的應用式的應用下面舉例說明排序不等下面舉例說明排序不等不等式得到證明不等式得到證明助排序助排序許多重要不等式可以借許多重要不等式可以借便于記憶和使用便于記憶和使用明了明了它的思想簡單它的思想簡單重要的不等式重要的不等式排序不等式也是基本而排序不等式也是基本而 ?,.,總總時時間間等等于于多多少少這這個個最最少少的的少少使使他他們們等等候候的的總總時時間間最最人人的的順順序序個
8、個應應如如何何安安排排問問只只有有一一個個水水龍龍頭頭時時各各不不相相同同假假定定這這些些分分鐘鐘個個人人的的水水桶桶需需要要第第設設水水龍龍頭頭注注滿滿人人各各拿拿一一只只水水桶桶去去接接水水有有例例101021101iittii ;,.,分分人所需等候的總時間是人所需等候的總時間是接這桶水時接這桶水時分分若第一個接水的人需若第一個接水的人需為數學問題為數學問題即轉化即轉化需要將它數學化需要將它數學化這是一個實際問題這是一個實際問題分析分析111010tt第二個接水的人第二個接水的人;,分分人人所所需需等等候候的的總總時時間間是是接接這這桶桶水水時時分分需需2299tt.,分分需需要要只只有
9、有他他一一人人在在等等人人接接水水時時到到第第如如此此繼繼續(xù)續(xù)下下去去1010t人人都都接接滿滿水水所所需需的的按按這這個個順順序序所所以以10, .1021910ttt 是是分分等等待待總總時時間間.,最最小小滿滿足足什什么么條條件件這這個個和和數數現現在在考考慮慮學學模模型型這這個個和和數數就就是是問問題題的的數數1021ttt .1021910ttt 是分等待總時間解.,時間取最小值總時當根據排序不等式1021ttt ,人等候的總時間最少依次接水按水桶的大小由小到大這就是說10這個最少時間是.1021910ttt .1021ttt 其中例例1 ：有：有10人各拿一只水桶去接水，設水人各拿
10、一只水桶去接水，設水龍頭注滿第龍頭注滿第i(i=1,2,10)個人的水桶需要個人的水桶需要ti分，假定這些分，假定這些ti各不相同。各不相同。問：只有一個水龍頭時，應該如何安排問：只有一個水龍頭時，應該如何安排10人的順序，使他們等候的總時間最少？人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？這個最少的總時間等于多少？解：解：總時間總時間(分）是分）是10t1+9t2+2t9+t10根據排序不等式，當根據排序不等式，當t1t2t9t10時，時，總時間取最小值?？倳r間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，即：按水桶的大小由小到大依次接水，則則10人等候的總時間最少。人等候的總
11、時間最少。最少的總時間是最少的總時間是: 10t1+9t2+2t9+t10122221 12 2121212,.,.,.,. ,1.nn nnnna aaaca ca caaac cca aa為實數，證明：其中是的.設任一排列。練習練習.,22322121321312112naaaannaaann 求證求證個互不相同的正整數個互不相同的正整數是是設設例例.,證明的思路證明的思路不等式不等式由此可以聯想到用排序由此可以聯想到用排序對應另一列數是對應另一列數是可以猜想到與可以猜想到與子子觀察問題中的式觀察問題中的式排序排序此它們可以從小到大地此它們可以從小到大地因因個互不相同的正整數個互不相同的正
12、整數是是分析分析2222121131211naaanaaann .,nnnbbbaaabbb 212121且滿足的一個排列是設證明.,nbbbbbbnn 212121故是互不相同的正整數因得由排序不等式又因,222131211n 2232212232213232nbbbbnaaaann 222131321211nn .n131211 3332222., ,2()()()().a b cabca b cb a cc a b已知為正數，用排序不等式證明練習練習121121212121121111212222,.,. .nnnnnnnnnnnnabc ccb babaaba baabba caa ba bcbaaabbba cn定理（排序不等式，又稱排序定理）設為兩組實數是的任一排列，那么：當且僅當或時,反序和等，b于順序和。反序和反序和亂序和亂序和順序和順序和
黑龍江省虎林高級中學高三數學 第三講 第四課柯西不等式與排序不等式課件 新人教A版選修45
