《高一數(shù)學(xué)必修4 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高一數(shù)學(xué)必修4 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 ppt（28頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 學(xué)校：江蘇省洪澤中學(xué)學(xué)校：江蘇省洪澤中學(xué)教師：傅教師：傅 啟啟 峰峰平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):1.:1.數(shù)乘的定義數(shù)乘的定義2.2.數(shù)乘的運(yùn)算律數(shù)乘的運(yùn)算律 引入引入:我們學(xué)過(guò)功的概念，即一個(gè)物體在我們學(xué)過(guò)功的概念，即一個(gè)物體在力力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計(jì)算可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積數(shù)量積的概念。的概念。 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量a 和和b ，作作 ， ,則則 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夾角夾角a
2、OA bOB AOB)1800 ( OABab OABba若若 ，a 與與b 同向同向0 OABba若若 a 與與b 反向反向180 OABab 若若 ，a 與與b 垂直垂直，90 ba 記作記作1.向量的夾角練習(xí)練習(xí)1、如圖，等邊三角形中，求、如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角。的夾角。ABC 通過(guò)平移通過(guò)平移變成共起點(diǎn)！變成共起點(diǎn)！12060C2.平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義 cos|baba 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即即 0 0a cos|ba 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a
3、 和和b ，它們的夾角為它們的夾角為 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b ，即即注意：注意： (1)兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定向量，符號(hào)由夾角決定(2)a b不能寫(xiě)成不能寫(xiě)成ab (3)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別: 2）對(duì)于實(shí)數(shù)）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c（b0），若），若a b=b c，則則a=c , 對(duì)于向量對(duì)于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？此式是否仍成立呢？ 1) 對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)a0,若若a b=0，則，則b=0，但對(duì)向量但對(duì)向量a0時(shí)，若時(shí)
4、，若a b=0 , 能不能推出能不能推出b是零向量？是零向量？ 3）對(duì)于實(shí)數(shù)）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，有有（a b） c=a （b c） 但對(duì)于向量但對(duì)于向量a，b，c來(lái)說(shuō)，此式是否一定成立？來(lái)說(shuō)，此式是否一定成立？ 例例1：1：已已知知 a =1,b =2a =1,b =23 3(1)a/b,求(1)a/b,求a b;(2)a b;(2)= = ,求,求a ba b4 4兩況解解：（1）1）由由a/b，a/b，分分種種情情： 當(dāng)a,b同a,b同向向， a b =2;a b =2; 當(dāng)a,b反a,b反向向， a b = - 2。a b = - 2。 3 3（2）2） a b =1a b =1 22
5、cos cos = -1= -14 4解：解：ab=|a| |b|cos=54cos120 =54（-1/2）= 10。1. 已知已知|a|=5，|b|=4，a與與b的夾的夾角角=120，求，求ab。2 . 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2練習(xí)練習(xí)2:2: 物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功只有在位移方向上的力做功sFbOBaOA ，作作過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作作1BB1B垂直于直線垂直于直線OA，垂足為垂足為 ，則則 1O
6、B| b | cosOABab 1BOABab )(1B| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影為銳角時(shí)，為銳角時(shí)，| b | cos0為鈍角時(shí)，為鈍角時(shí)，| b | cos0為直角時(shí)，為直角時(shí)，| b | cos=0BOAab 1B我們得到我們得到ab的的幾何意義幾何意義：數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度|a|與與b在在a的方的方向上的投影向上的投影|b|cos的乘積。的乘積。3.3.平面向量的數(shù)量積的平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)重要性質(zhì): :ab|a|b|（4）cos=（5）|ab|a|b|（3）當(dāng)）當(dāng)a與與b同向時(shí)，同向時(shí)，ab=|a|b|當(dāng)當(dāng)a與與b反向時(shí)
7、，反向時(shí)，ab=|a| |b|特別地，特別地，aa =|a|2或或|a|=aa 。（2）ab ab=0 設(shè)設(shè)a，b都是非零向量，都是非零向量，e是與是與b方向相同方向相同的單位向量，的單位向量，是是a與與e的夾角，則的夾角，則 （1）ea=ae = |a| cos1若若a=0，則對(duì)任一向量則對(duì)任一向量b ，有，有a b=02若若a0，則對(duì)任一非零向量則對(duì)任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,則則b=04.若若a b=0,則則a b中至少有一個(gè)為中至少有一個(gè)為05.若若a0，a b= b c,則則a=c6.若若a b= a c ,則則bc,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立時(shí)成立7.對(duì)
8、任意向量對(duì)任意向量a , b ,c,有有(a b)ca (b c)8.對(duì)任一向量對(duì)任一向量a,有有a2=|a|2 練習(xí)練習(xí)3：判斷正誤：判斷正誤( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）4、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 已知向量已知向量 和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù) ,則向量的數(shù)量積滿足：則向量的數(shù)量積滿足：, ,a b c （1）a bb a （交換律）（交換律）（2）()()()aba bab （數(shù)乘結(jié)合律）（數(shù)乘結(jié)合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）注意：注意：數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律消去律數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律消去律ab ba （1）交換律：）交換律：證明：證
9、明： 設(shè)設(shè) 夾角為夾角為 ， ,ab則則| | cosa bab | | cosb aba 所以所以a bb a （2）()()()aba bab 若若0()| | |cosa ba b 證明：證明：()| |cosa ba b ()| | |cosaba b 若若0()| |cos()| |( cos )| |cosa ba ba ba b () | |cos()| | |( cos )| | |cosababa ba b ()abca cb c （3）分析：分析： 12A1B1AOaBbCc()a b ca c b c 12|cos| |cos| |cosa bab coscba 1cos
10、ca2coscb（3）()abca cb c 12ABOA1B1Cabc證明：在平面內(nèi)取一點(diǎn)證明：在平面內(nèi)取一點(diǎn) ，作，作OO Aa A Bb O Ccab（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于OBc,a b 在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，c即即12|cos| |cos| |cosa bab 12| |cos| | |cos| | |cosc a bc ac b ()c a bc a c b 即即()abca cb c 5、平面向量數(shù)量積的常用公式、平面向量數(shù)量積的常用公式2222)(1 (bbaaba 22)()(2 (bababa 求證：（求證：（1） （2）22
11、22bbaaba 22bababa證明：（證明：（1）2bababaaabaabbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa例例2、已知、已知,4,6baab與與 的夾角為的夾角為60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） bbaa baba32|cosb=2cosa=3解：（解：（3） baba32bbbaaa6226bbaa226cosbbaa224660cos4667223120oaba b已知， 與 的夾角為，求練練習(xí)習(xí)4 4：）（）（）（；（；（）；（；（）（babababa3
12、232122 ；）；（）（baba 54解：解：3)21(32120cos1 obaba）（22352323bbaababa ）（）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（199642)(5222 bbaababa）（ 例例3 3、已已知知a a = =1 1， b b = = 2 2，且且a a- -b b與與a a垂垂直直，求求a a與與b b的的夾夾角角。解：解：垂直垂直與與aba 0 aba）（02 aba即即122 aaba 的夾角為的夾角為與與設(shè)設(shè)bababa cos2221 1800oo，
13、4 4 的夾角為的夾角為與與ba變形：o o已已知知a a = =5 5， b b = =4 4， a a與與b b的的夾夾角角為為6 60 0 ，問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)k k為為何何值值時(shí)時(shí)，向向量量k ka a- -b b與與a a+ +2 2b b垂垂直直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。與與時(shí)時(shí)，向向量量當(dāng)當(dāng)babakk21514 的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 02（ ）A 銳角三角形銳角三角形C 鈍角三角形鈍角三角形
14、D 不能確定不能確定B 直角三角形直角三角形D的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 03（ ）C01,120ababtatb(1).與 夾角為，問(wèn) 取何值時(shí)，最??？A A 銳角三角形銳角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 鈍角三角形鈍角三角形D D 不能確定不能確定 本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用，常見(jiàn)的題型主要有：及其應(yīng)用，常見(jiàn)的題型主要有：1、直接計(jì)算數(shù)量積（定義式以及夾角的定義）、直接計(jì)算數(shù)量積（定義式以及夾角的定義）2、由數(shù)量積求向量的模、由數(shù)量積求向量的模4、運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)判定兩向量是否垂直、運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)判定兩向量是否垂直3、由數(shù)量積確定兩向量的夾角、由數(shù)量積確定兩向量的夾角5、判斷三角形的形狀、判斷三角形的形狀
高一數(shù)學(xué)必修4 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 ppt
