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1、專題八 數(shù)學思想方法第1講函數(shù)與方程思想真題感悟自主學習導引答案10答案C函數(shù)與方程的思想可滲透到高考試題的各個方面，多以函數(shù)、不等式、解析幾何等為主，應用這些思想方法解題時可起到事半功倍的效果考題分析函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，考察時主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，或建立相應的方程來解決問題，這是歷年高考的重點和熱點1函數(shù)的思想用運動和變化的觀點，集合與對應的思想分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識方法突破2方程的思想在解決問題
2、時，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，求出未知數(shù)及各量的值，或者用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決3函數(shù)的思想與方程的思想的關(guān)系在中學數(shù)學中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)yf(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化4函數(shù)與方程的思想在解題中的應用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式；(2)數(shù)列的通項與前
3、n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要；(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切高頻考點突破考點一：函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)中的應用【例1】(2012宜賓一模)圓心在拋物線x22y上，且與直線2x2y30相切的圓中，面積最小的圓的方程為_審題導引要使圓的面積最小，則需圓的半徑最小，設(shè)出圓心坐標，利用與直線相切求出半徑的表達式并求其最小值，可得圓的方程【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)
4、與方程思想方法解決范圍問題的技巧(1)此類題型在高考題中占較大的比重，且考查的知識范圍廣，通常是某一個條件等式或某一個公式中含有未知量，列出函數(shù)、不等式或方程(組)，求解即可(2)在解決此類型的問題時，一般會用到代數(shù)式的變形，消元、換元、解方程、解不等式等基礎(chǔ)知識和基本方法(3)此類問題通常可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，方程的解的問題或不等式的解集問題【變式訓練】1已知a，b，cR，abc0，abc10，求a的取值范圍考點二：構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)、不等式、方程問題【例2】(2012大綱全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)axcos x，x0，(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)f(x)1sin x，求a的取值范圍審
5、題導引(1)根據(jù)a的范圍討論f(x)的單調(diào)性；(2)構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，根據(jù)不等式求a的范圍【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)與方程的思想在解決不等式問題中的應用在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)【變式訓練】2設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0的解集是_解析設(shè)F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x
6、)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)為奇函數(shù)又當x0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以x0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以F(x)0的解集是(，3)(0,3)(如圖)答案(，3)(0,3)考點三：運用函數(shù)與方程思想、解決數(shù)列問題【例3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知(a21)32 009(a21)1，(a2 0081)32 009(a2 0081)1，則下列結(jié)論正確的是AS2 0092 009，a2 008a2 B
7、S2 0092 009，a2 008a2CS2 0092 008，a2 008a2 DS2 0092 008，a2 008a2審題導引 答案A【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)的思想方法在數(shù)列問題中的應用由于數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，因此數(shù)列問題常借助于函數(shù)知識來處理根據(jù)數(shù)列的有關(guān)公式列出方程、不等式，這是常見題型，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決【變式訓練】答案109名師押題高考押題依據(jù)本題把方程的有解問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題，解題時需靈活構(gòu)造函數(shù)，考查函數(shù)與方程思想的同時，考查了學生分析問題、解決問題的能力【押題2】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由押題依據(jù)利用函數(shù)的思想求最值是解決此類問題的常用方法本題把解三角形、求二次函數(shù)的最值、解不等式交匯命題，綜合性較強，有一定的區(qū)分度，故押此題
高考數(shù)學專題復習 專題八第1講 函數(shù)與方程思想課件
