河北省保定市物探中心學校第一分校高中數(shù)學 1.5.3定積分的概念課件 蘇教版選修22

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1、1.5.31.5.3定積分的概念定積分的概念abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出一、問題的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的

2、關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系播放播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 內插入若干在區(qū)間,ba, bxxxxxann 1210個個分分點點，個小區(qū)間個小區(qū)間x,xii 1 nb , a分分成成把把區(qū)區(qū)間間;xxxiii1 長度為長度為iix,x1 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間，上任取一點上任取一點iiniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無

3、限加細當分割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度 )(tvv 是時是時間間隔間間隔 上上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且 ,21TT0)( tv求物體在這段

4、時間內所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程 （1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，),

5、 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分

6、和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有

7、有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在三、存在定理三、存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定義計算定積分

8、利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12, nqqq,典型小區(qū)間為典型小區(qū)間為,1i

9、iqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 羅比塔法則00例例 3 3 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間1 , 0上連續(xù)，且取正值上連續(xù)，且取正值.證明證明nnnnfnfnf 2

10、1lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim試證試證.10)(lndxxfe利用對數(shù)的性質得利用對數(shù)的性質得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指數(shù)數(shù)上上可可理理解解為為：)(lnxf在在1 , 0區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個積積分分和和分分割割是是將將1 , 0n等等分分分點為分點為nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim極限運算與對數(shù)運算換序得極限運算與對數(shù)運算換序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因為因為)(xf在區(qū)間在區(qū)間

11、1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xf所所以以)(lnxf在在1 , 0上上有有意意義義且且可可積積 ,五、小結五、小結定積分的實質定積分的實質：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limn

12、ninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關，而與有關，而與_的記法無關的記法無關 . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 .

13、.三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 baxdx，)(ba . .練練 習習 題題四、四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強壓強 P的的水深水深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若閘門高，若閘門高米米3 H，寬，寬米米2 L，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水壓力壓力P

14、（見教材圖（見教材圖 5-35-3）. .一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被積函數(shù)、被積函數(shù), ,積分區(qū)間積分區(qū)間, ,積分變量；積分變量；3 3、介于曲線、介于曲線)(xfy , ,軸軸x, ,直線直線bxax ,之間之間 各部分面積的代數(shù)和；各部分面積的代數(shù)和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).練習題答案練習題答案觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注

15、意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形

16、面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細

17、時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系