河北省保定市物探中心學校第一分校高中數(shù)學 1.5定積分的性質(zhì)課件 蘇教版選修22

《河北省保定市物探中心學校第一分校高中數(shù)學 1.5定積分的性質(zhì)課件 蘇教版選修22》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《河北省保定市物探中心學校第一分校高中數(shù)學 1.5定積分的性質(zhì)課件 蘇教版選修22（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.5 定積分的概念之定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例曲邊梯形曲邊梯形 設函數(shù)設函數(shù)y f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上非負、連續(xù)上非負、連續(xù). . 由直線由直線x a、x b、y 0及曲線及曲線y f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形所圍成的圖形稱為曲邊梯形, , 其中曲其中曲線弧稱為曲邊線弧稱為曲邊. . 1.曲邊梯形的面積 觀察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, , 當小矩形的寬度減少時當小矩形的寬度減少時, , 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? ? 怎樣求曲邊梯形的面積？怎樣求曲邊梯形的面積？求曲邊

2、梯形的面積求曲邊梯形的面積 (1)分割分割: : a x0 x1 x2 xn 1 xn b, , D Dxi xi xi 1; ; 小曲邊梯形的面積近似為小曲邊梯形的面積近似為f(x xi)D Dxi ( (xi 1 x xi xi); ); (2)近似代替近似代替: : (4)取極限取極限: : 設設 maxD Dx1, , D Dx2, , , , D Dxn, , 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 DniiixfA10)(limx. (3)求和求和: : 曲邊梯形的面積近似為曲邊梯形的面積近似為 ; ;DniiixfA10)(limx 2.變速直線運動的路程 已知物體直線運動的速度已知物

3、體直線運動的速度v v(t)是時間是時間 t 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), , 且且v(t) 0, , 計算物體在時間段計算物體在時間段T1, , T2內(nèi)所經(jīng)過的路程內(nèi)所經(jīng)過的路程S. .(1)分割分割: : T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2, , D Dti ti ti 1; ; (2)近似代替近似代替: : 物體在時間段物體在時間段ti 1, , ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 D DSi v( i)D Dti ( ( ti 1 i ti ); ; 物體在時間段物體在時間段T1, , T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 (3)求和求和: : (4)取極限取極限

4、: : 記記 maxD Dt1, , D Dt2, , , , D Dtn, , 物體所經(jīng)過的路程為物體所經(jīng)過的路程為 DniiitvS1)(; DniiitvS10)(lim. 二、定積分定義二、定積分定義定積分的定義定積分的定義 maxD Dx1, , D Dx2, , ,D,Dxn; ; 記記D Dxi xi xi 1 (i 1, , 2, , , , n), , a x0 x1 x2 xn 1 xn b; ; 在區(qū)間在區(qū)間a, , b內(nèi)插入分點內(nèi)插入分點: : 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上有界上有界. . 如果當如果當 0時時, , 上述和式的極限存在上述和式的極限存

5、在, , 且極限值與區(qū)間且極限值與區(qū)間a, , b的分法的分法和和x xi的取法無關的取法無關, , 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上上在小區(qū)間在小區(qū)間xi 1, , xi上任取一點上任取一點x xi (i 1, , 2, , , , n), , Dniiixf1)(x; 作和作和 即即 badxxf)(, 的定積分的定積分, , 記為記為Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x. 定積分各部分的名稱定積分各部分的名稱 積分積分符號符號, , f(x) 被積函數(shù)被積函數(shù), , f(x)dx 被積表達式被積表達式, , x 積分變量積分變量, , a 積分

6、下限積分下限, , b 積分上限積分上限, , a, , b積分區(qū)間積分區(qū)間， v定積分的定義定積分的定義二、定積分定義二、定積分定義Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x. Dniiixf1)(x積分和積分和. . 定積分的定義定積分的定義二、定積分定義二、定積分定義說明：說明： 定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關, , 而與積分變而與積分變量的記法無關量的記法無關, , 即即Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x. 根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為badxxfA)(. 變速直線運動的路程為dttvSTT)(21. bababaduu

7、fdttfdxxf)()()(. v函數(shù)的可積性函數(shù)的可積性 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上的定積分存在上的定積分存在, , 則稱則稱f(x)在區(qū)在區(qū)間間a, , b上可積上可積. . 定理定理1 1 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上連續(xù)上連續(xù), , 則函數(shù)則函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上可積上可積. . 定理定理2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上有界上有界, , 且只有有限個間斷點且只有有限個間斷點, , 則函數(shù)則函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上可積上可積. . v定積分的定義定積分的定義二、定積分定義二、定積分定義

8、Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x. 定積分的幾何意義定積分的幾何意義 當當f(x) 0時時, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示由曲線積分表示由曲線y f(x)、直線直線x a、x b與與x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積. . 當當f(x) 0時時, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示曲邊梯形面積的積分表示曲邊梯形面積的負值負值. . 這是因為這是因為DDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 xxDDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 x

9、xDDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 xxDDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 xx. 一般地一般地, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示介于積分表示介于x軸、曲線軸、曲線y f(x)及直線及直線x a、x b之間的各部分面積的代數(shù)和之間的各部分面積的代數(shù)和. . 定積分的幾何意義定積分的幾何意義 當當f(x) 0時時, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示由曲線積分表示由曲線y f(x)、直線直線x a、x b與與x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面

10、積. . 當當f(x) 0時時, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示曲邊梯形面積的積分表示曲邊梯形面積的負值負值. . 利用定義計算定積分利用定義計算定積分 解解: 例例1 1 利用定積分定義計算利用定積分定義計算 . dxex10 取分點為取分點為 (i 1, 2, , n n 1), 則則 (i i 1, 2, , n n). ). nixinxi1D在第在第i 個小區(qū)間上取右端點個小區(qū)間上取右端點 (i 1, 2, , n n). ). nixiix于是于是 ) (1lim1lim21110nnnnnnininxeeennedxe 1)1 (1 lim1)(1 1lim11

11、111eeneeeeennnnnnnnn利用幾何意義求定積分利用幾何意義求定積分 解解 函數(shù)函數(shù) y 1 x在區(qū)間在區(qū)間0, , 1上的定積分是上的定積分是以以y 1 x為曲邊為曲邊, , 以區(qū)間以區(qū)間0, , 1為底的曲邊梯形的面積為底的曲邊梯形的面積. . 因為以因為以y 1 x為曲邊為曲邊, , 以區(qū)間以區(qū)間0, , 1為底的曲邊梯形是一為底的曲邊梯形是一個直角三角形個直角三角形, , 其底邊長及高均為其底邊長及高均為1, , 所以所以 例例2 2 例 2 用定積分的幾何意義求10)1 (dxx. 211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx

12、. 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定兩點規(guī)定 (1)當 ab 時, 0)(badxxf; (2)當 ab 時, abbadxxfdxxf)()(. 這是因為這是因為三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 badxxgxf)()(Dniiiixgf10)()(limxxDDniiiniiixgxf1010)(lim)(limxxbabadxxgdxxf)()(badxxgxf)()(Dniiiixgf10)()(limxx DDniiiniiixgxf1010)(lim)(limxxbabadxxgdxxf)()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.

13、 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 2 性質(zhì)性質(zhì)3 3 注：注：值得注意的是不論值得注意的是不論a, , b, , c的相對位置如何上式總成立的相對位置如何上式總成立. .1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 2 性質(zhì)性質(zhì)3 3 性質(zhì)性質(zhì)4 4 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 4 abdxdxbaba1. 3

14、bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 推論推論1 1 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) g(x), , 則則 這是因為這是因為g(x) f(x) 0, , 從而從而 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) 0, , 則則 性質(zhì)性質(zhì)5 5 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以所以 這是因為這是因為 |f(x)| f(x) |f(x)|, , 所以所以推論推論1 1 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) g(x)

15、, , 則則 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) 0, , 則則 性質(zhì)性質(zhì)5 5 推論推論2 2 即 babadxxfdxxf| )(|)(|. badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 推論推論1 1 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) g(x), , 則則 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) 0, , 則則 性質(zhì)性質(zhì)5 5 推論推論2 2 性質(zhì)6 設設M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, ,

16、 b上的最大值及最上的最大值及最小值小值, , 則則 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). baabMdxxfabm)()()(ab). 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, , b上連續(xù)上連續(xù), , 則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間a, , b上至少存在一個點上至少存在一個點x x , , 使下式成立使下式成立: : 這是因為這是因為, , 由性質(zhì)由性質(zhì)6 性質(zhì)7(定積分中值定理) 積分中值公式積分中值公式. . 由介值定理由介值定理, , 至少存在一點至少存在一點x x a, , b, , 使使兩端乘以兩端

17、乘以b a即得積分中值公式即得積分中值公式. .baabfdxxf)()(x. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, badxxfabf)(1)(x, 解解,xsin)x(f331 ,x0 ,xsin103 ,xsin3131413 ,dxdxxsindx 0030313141.dxxsin331403 總結(jié)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）典型問題典型問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大?。ǎ┎挥嬎愣ǚe分比較積分大小小結(jié)小結(jié)