中考數(shù)學(xué) 第37課時(shí) 直角三角形的邊角關(guān)系課件 北師大版

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1、第37課時(shí) 直角三角形的邊角關(guān)系一、三角函數(shù)的概念一、三角函數(shù)的概念如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A,B,CA,B,C所對(duì)的邊分別記所對(duì)的邊分別記為為a,b,ca,b,c. .1.1.正弦：正弦：sinAsinA= = .= = .2.2.余弦：余弦：cosAcosA= = .= = .3.3.正切：正切：tanAtanA= = .= = .銳角銳角A A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱AA的三角函數(shù)的三角函數(shù). .A 的對(duì)邊斜邊acA 的鄰邊斜邊bcAA的對(duì)邊的鄰邊ab二、特殊角的三角函數(shù)值二、特殊角的三角函數(shù)值303045456060sinAsi

2、nAcosAcosAtanAtanA1 1122232322212333【核心點(diǎn)撥【核心點(diǎn)撥】1.1.三角函數(shù)的概念：要熟記三角函數(shù)的概念，明確一個(gè)角的對(duì)三角函數(shù)的概念：要熟記三角函數(shù)的概念，明確一個(gè)角的對(duì)邊、鄰邊及斜邊的關(guān)系邊、鄰邊及斜邊的關(guān)系. .2.2.特殊角的三角函數(shù)值：要熟記特殊角的三角函數(shù)值并明確其特殊角的三角函數(shù)值：要熟記特殊角的三角函數(shù)值并明確其算法算法. .【即時(shí)檢驗(yàn)【即時(shí)檢驗(yàn)】一、一、1.1.如圖，已知如圖，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BC=1BC=1，AB=2AB=2，則，則sinAsinA的值為的值為 ，cosAcosA= = ，tanAtanA=

3、 .= .1232332.2.在在ABCABC中，中，C=90C=90,sinA= ,sinA= 則則tanBtanB= .= .3.3.在等腰在等腰ABCABC中，中，C=90C=90，則，則tanAtanA= =_二、二、1 1若若的余角是的余角是3030，則，則coscos的值是的值是 . .2.tan602.tan60cos30cos30+sin+sin2 24545= =_. . 4,5341 1122 2 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念【例【例1 1】（】（20122012上海中考）如圖上海中考）如圖, ,在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，D D是邊是邊ABA

4、B的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，BECDBECD，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)E E已知已知AC=15AC=15，（1 1）求線段）求線段CDCD的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；（2 2）求）求sinDBEsinDBE的值的值3cosA5 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）(2)(2)【自主解答【自主解答】（1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)锳CB=90ACB=90，AC=15AC=15， 所以所以AB= =25.AB= =25.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镈 D為邊為邊ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以（2 2）BC= =20BC= =20，在，在RtRtBCEBCE和和RtRtDBEDBE中，中，BEBE2 2=BD=BD2 2- -DEDE2 2=BC=BC2 2-

5、CE-CE2 2, ,設(shè)設(shè)DEDE的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為x x，則，則12.512.52 2-x-x2 2=20=202 2-(12.5+x)-(12.5+x)2 2，解得，解得x=3.5x=3.5，所以所以ABCD據(jù)已知求BCDEsin DBE據(jù)勾股定理求求3cosA,5ACcosA1CDAB12.5.222ABACDE3.57sin DBE.BD12.525【規(guī)律總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】求三角函數(shù)常用的三種方法求三角函數(shù)常用的三種方法1.1.設(shè)法求出角的度數(shù)，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求值；設(shè)法求出角的度數(shù)，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求值；2.2.構(gòu)造直角三角形，把角放在直角三角形中，然后利用三角函構(gòu)造直角

6、三角形，把角放在直角三角形中，然后利用三角函數(shù)的定義求解；數(shù)的定義求解；3.3.找出一個(gè)與之相等的角，其等角的三角函數(shù)值即為此角的三找出一個(gè)與之相等的角，其等角的三角函數(shù)值即為此角的三角函數(shù)值角函數(shù)值. .【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.1.（20122012濱州中考）把濱州中考）把ABCABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的3 3倍，倍，則銳角則銳角A A的正弦函數(shù)值的正弦函數(shù)值( )( )（A A）不變）不變 （B B）縮小為原來的）縮小為原來的（C C）擴(kuò)大為原來的）擴(kuò)大為原來的3 3倍倍 （D D）不能確定）不能確定【解析【解析】選選A.A.銳角銳角A A的正弦函數(shù)值是由銳角

7、的正弦函數(shù)值是由銳角A A的度數(shù)確定的的度數(shù)確定的. .132.2.（20122012樂山中考）如圖，在樂山中考）如圖，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=2BCAB=2BC，則，則sinBsinB的值為的值為( )( )（A A） （B B）（C C） （D D）1 1【解析【解析】選選C.C.設(shè)設(shè)BC=k,BC=k,則則AB=2kAB=2k，由勾股定理得，由勾股定理得所以所以12223222ACABBC22(2k)k3k，AC3k3sinB.AB2k2【高手支招【高手支招】參數(shù)法參數(shù)法在解答所求的結(jié)論與線段的比有關(guān)的問題時(shí)，都可以用設(shè)參數(shù)在解答所求的結(jié)論與線段的比有關(guān)的問

8、題時(shí)，都可以用設(shè)參數(shù)“k”k”的方法求解的方法求解. .由此可以將原有的比值由此可以將原有的比值, ,轉(zhuǎn)化成為具體的數(shù)量轉(zhuǎn)化成為具體的數(shù)量, ,再結(jié)合題中的其他條件列出含再結(jié)合題中的其他條件列出含“k”k”的等式或者是間接求得其他的等式或者是間接求得其他的比值的比值. .3.(20113.(2011廣東中考）如圖廣東中考）如圖, ,已知已知RtRtABCABC中，中，斜邊斜邊BCBC上的高上的高AD=4AD=4，cosBcosB= = 則則AC=_.AC=_.【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)锽AC=90BAC=90,AD,AD是斜邊是斜邊BCBC上的高，上的高，所以所以B=CAD.B=CAD.因?yàn)橐驗(yàn)閏

9、osBcosB= =所以所以, ,在在RtRtADCADC中，中，又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳D=4AD=4，所以，所以AC=5.AC=5.答案：答案：5 54,54,5AD4cos CADcosB,AC54.4.（20112011哈爾濱中考）已知：正方形哈爾濱中考）已知：正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P是是直線直線CDCD上一點(diǎn)，若上一點(diǎn)，若DP=1DP=1，則，則tanBPCtanBPC的值是的值是_._.【解析【解析】此題有兩種可能：（此題有兩種可能：（1 1）如圖）如圖1 1，BC=2BC=2，DP=1DP=1，C=90C=90，BCtan BPC2CP ；（2 2）如圖）

10、如圖2 2，DP=1DP=1，DC=2DC=2，PC=3PC=3，又，又BC=2BC=2，C=90C=90，答案：答案：2 2或或BC2tan BPCCP323【技巧點(diǎn)撥【技巧點(diǎn)撥】三角函數(shù)概念的應(yīng)用三角函數(shù)概念的應(yīng)用概念的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面概念的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面一是求角的三角函數(shù)值一是求角的三角函數(shù)值. .解決策略為：應(yīng)用定義求解解決策略為：應(yīng)用定義求解, ,若不在直若不在直角三角形中，可以通過構(gòu)造直角三角形或等角轉(zhuǎn)化的方法求解角三角形中，可以通過構(gòu)造直角三角形或等角轉(zhuǎn)化的方法求解. .二是已知三角函數(shù)值，求某些線段的長(zhǎng)，一般利用定義二是已知三角函數(shù)值，求某些線段的長(zhǎng)，一般利用定義

11、, ,設(shè)未知設(shè)未知數(shù)，結(jié)合方程求解數(shù)，結(jié)合方程求解. . 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值【例【例2 2】(7(7分）（分）（20112011蘭州中考）已知蘭州中考）已知是銳角，且是銳角，且sin(+15sin(+15)=)=計(jì)算計(jì)算 的值的值. .3.201184cos(3.14tan()3 ）【規(guī)范解答【規(guī)范解答】sin60sin60= = 且且為銳角為銳角,+15,+15= =_，2 2分分=_，3 3分分原式原式= =_4cos4cos_+tan+tan_+ +_= =_-4-4 - -_+ +_+ +_ 6 6分分= =_7 7分分32，606045452 245451 1454

12、5 3 32 2221 11 13 33 3【自主歸納【自主歸納】特殊角的三角函數(shù)值的識(shí)記技巧特殊角的三角函數(shù)值的識(shí)記技巧（1 1）圖形推導(dǎo)記憶）圖形推導(dǎo)記憶（2 2）口訣記憶）口訣記憶正弦、余弦值可表示為正弦、余弦值可表示為 的形式的形式.m.m值的順口溜為：一、值的順口溜為：一、二、三；三、二、一二、三；三、二、一. .正切值可表示為正切值可表示為 的形式的形式.m.m值的順口溜為：三、九、值的順口溜為：三、九、二十七二十七m2m3【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】5.5.（20122012濟(jì)寧中考）在濟(jì)寧中考）在ABCABC中，若中，若A,BA,B滿足滿足 則則C=_.C=_.【解析【解析】由非負(fù)數(shù)

13、的性質(zhì)，得由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 即即 得得A=60A=60,B=45,B=45，所以，所以C=180C=180-45-45-60-60=75=75. .答案：答案：75751|cosA|222(sinB)0,212cosA0,sinB0,2212cosA,sinB,226.6.（20112011大慶中考）計(jì)算大慶中考）計(jì)算sinsin2 23030+cos+cos2 23030-tan-tan2 24545=_.=_.【解析【解析】原式原式= =答案：答案：0 02213131102244 （ ）（）7.7.（20122012張家界中考）計(jì)算：張家界中考）計(jì)算：+3tan30+3tan30. .

14、【解析【解析】原式原式= =0112 012()|32|331 323333330.3 【特別提醒【特別提醒】與三角函數(shù)值有關(guān)計(jì)算的三點(diǎn)注意與三角函數(shù)值有關(guān)計(jì)算的三點(diǎn)注意1.sin301.sin30，cos45cos45等都是作為一個(gè)整體參與運(yùn)算的，不能出等都是作為一個(gè)整體參與運(yùn)算的，不能出現(xiàn)類似現(xiàn)類似sin60sin60=2sin30=2sin30的錯(cuò)誤理解的錯(cuò)誤理解. .2.a2.a0 0=1(a0).=1(a0).3. (a0,p3. (a0,p為正整數(shù)為正整數(shù)). ). pp1aa【創(chuàng)新命題【創(chuàng)新命題】三角函數(shù)與網(wǎng)格三角函數(shù)與網(wǎng)格【例】（【例】（20122012內(nèi)江中考）如圖所示，內(nèi)江

15、中考）如圖所示，ABCABC的頂點(diǎn)是正方形的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinAsinA的值為的值為( )( )（A A） （B B） （C C） （D D）125510102 55【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1 1，連接點(diǎn)，連接點(diǎn)C C和和ABAB上靠近的上靠近的格點(diǎn)格點(diǎn)D D，利用勾股定理求出，利用勾股定理求出ADAD，CDCD和和ACAC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷理的逆定理，判斷ACDACD為直角三角形，并根據(jù)銳角三角函數(shù)的為直角三角形，并根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出定義求出sinAsinA【自主解答【自主解答】選

16、選B.B.設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1 1，構(gòu)造三角形如圖：，構(gòu)造三角形如圖：因?yàn)橐驗(yàn)锳DAD2 2=2=22 2+2+22 2=8,=8,CDCD2 2=1=12 2+1+12 2=2=2，ACAC2 2=3=32 2+1+12 2=10=10，所以所以ACAC2 2=AD=AD2 2+CD+CD2 2, ,即即ADCADC是直角三角形是直角三角形, ,所以所以 所以正確選項(xiàng)是所以正確選項(xiàng)是B.B.CD25sinA,AC510【創(chuàng)新點(diǎn)撥【創(chuàng)新點(diǎn)撥】三角函數(shù)與網(wǎng)格三角函數(shù)與網(wǎng)格三角函數(shù)與網(wǎng)格常見的形式是在正方形網(wǎng)格中求某些角的函數(shù)三角函數(shù)與網(wǎng)格常見的形式是在正方形網(wǎng)格中求某些角的

17、函數(shù)值其解題優(yōu)勢(shì)在于易于構(gòu)造直角三角形值其解題優(yōu)勢(shì)在于易于構(gòu)造直角三角形. .這些角有些在直角三這些角有些在直角三角形中，有些不在直角三角形中角形中，有些不在直角三角形中. .【即時(shí)訓(xùn)練【即時(shí)訓(xùn)練】1.1.（20112011樂山中考）如圖，在樂山中考）如圖，在4 44 4的正方形網(wǎng)格中，的正方形網(wǎng)格中，tantan=( )=( )(A)1 (B)2 (C) (D)(A)1 (B)2 (C) (D)1252【解析【解析】選選B B如圖，在如圖，在RtRtACBACB中，令中，令A(yù)B=2AB=2，則，則BC=1BC=1，AB2tan2.BC1 2.2.（20112011蘭州中考）如圖，蘭州中考）如

18、圖，A A，B B，C C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將交點(diǎn)處，若將ACBACB繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)A A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ACBACB，則，則tanBtanB的值為的值為( )( )（A A） （B B） （C C） （D D）12131424【解析【解析】選選B.B.旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等，得旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等，得B=B,B=B,然后將然后將BB放在以放在以BCBC為斜邊，直角邊在網(wǎng)格線上的直角三角形為斜邊，直角邊在網(wǎng)格線上的直角三角形中，設(shè)中，設(shè)BB的對(duì)邊為的對(duì)邊為1 1，則鄰邊為，則鄰邊為3 3，tanB=tanBtanB=tanB= =1.3【備考建議【備考建議】三角函數(shù)與網(wǎng)格的解題策略三角函數(shù)與網(wǎng)格的解題策略1.1.解決這些題目時(shí)，一般是將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，借助于解決這些題目時(shí)，一般是將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，借助于網(wǎng)格和勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)的定義求解，網(wǎng)格和勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)的定義求解，特殊的角可以轉(zhuǎn)化為與其相等的角的三角函數(shù)特殊的角可以轉(zhuǎn)化為與其相等的角的三角函數(shù). .2.2.網(wǎng)格中的圖形進(jìn)行全等變換后求三角函數(shù)值，一般利用等角網(wǎng)格中的圖形進(jìn)行全等變換后求三角函數(shù)值，一般利用等角轉(zhuǎn)化的方式求解轉(zhuǎn)化的方式求解. .