高三數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)及其應用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 理

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1、第第3 3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破經(jīng)典考題研析經(jīng)典考題研析 知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀【教材導讀】 1.1.函數(shù)圖象分別關于坐標原點、函數(shù)圖象分別關于坐標原點、y y軸對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)、偶函軸對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)、偶函數(shù)嗎數(shù)嗎? ?反之反之, ,成立嗎成立嗎? ?提示提示: :一定是一定是. .反之反之, ,也成立也成立. .2.2.如果函數(shù)如果函數(shù)f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,那么是否一定有那么是否一定有f(0)=0?f(0)=0?提示提示: :只有在只有在x=

2、0 x=0處有定義的奇函數(shù)處有定義的奇函數(shù), ,才有才有f(0)=0.f(0)=0.3.3.周期函數(shù)周期函數(shù)y=f(x)(xy=f(x)(xR R) )的周期唯一嗎的周期唯一嗎? ?提示提示: :不唯一不唯一. .若若T T是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)(xy=f(x)(xR R) )的一個周期的一個周期, ,則則nT(nnT(nZ Z, ,且且n0)n0)也是也是f(xf(x) )的周期的周期, ,即即f(x+nT)=f(xf(x+nT)=f(x).).知識梳理知識梳理 1.1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖象特征奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖象特征奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)定定義義定義域定義域函數(shù)函數(shù)f(xf

3、(x) )的定義域關于的定義域關于 對稱對稱x x對于定義域內對于定義域內 的一個的一個x xf(xf(x) )與與f(-xf(-x) )的關系的關系都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )結論結論函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù)圖象特征圖象特征關于關于 對稱對稱關于關于 對稱對稱2.2.周期性周期性(1)(1)周期函數(shù)周期函數(shù): :對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(xy=f(x),),如果存在一個非零常數(shù)如果存在一個非零常數(shù)T,T,使得當使得當x x取定義取定義域內的任何值時域內的任何值

4、時, ,都有都有 , ,那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)y=f(xy=f(x) )為周期函數(shù)為周期函數(shù), ,稱稱T T為這個函數(shù)的周期為這個函數(shù)的周期. .(2)(2)最小正周期最小正周期: :如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(xf(x) )的所有周期中的所有周期中 的正的正數(shù)數(shù), ,那么這個最小正數(shù)就叫做那么這個最小正數(shù)就叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .原點原點任意任意原點原點y y軸軸f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 存在一個最小存在一個最小【重要結論【重要結論】 1.1.奇偶性的五個重要結論奇偶性的五個重要結論(1)(1)如果一個奇函數(shù)如果一個奇函數(shù)f(xf(x)

5、 )在原點處有定義在原點處有定義, ,即即f(0)f(0)有意義有意義, ,那么一定有那么一定有f(0)=0.f(0)=0.(2)(2)如果函數(shù)如果函數(shù)f(xf(x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,那么那么f(x)=f(|xf(x)=f(|x|).|).(3)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型, ,即即f(xf(x)=0,xD,)=0,xD,其中定其中定義域義域D D是關于原點對稱的非空數(shù)集是關于原點對稱的非空數(shù)集. .(4)(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性; ;偶函數(shù)在兩個對稱的偶函數(shù)在兩個對稱的

6、區(qū)間上具有相反的單調性區(qū)間上具有相反的單調性. .(5)(5)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大( (小小) )值值, ,取最值時的自取最值時的自變量互為相反數(shù)變量互為相反數(shù); ; 奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù), ,取取最值時的自變量也互為相反數(shù)最值時的自變量也互為相反數(shù). .2.2.周期性的三個常用結論周期性的三個常用結論若對于函數(shù)若對于函數(shù)f(xf(x) )定義域內的任意一個定義域內的任意一個x x都有都有: :(1)f(x+a)=-f(x)(a0),(1)f(x+a)=-f(x)(a

7、0),則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)必為周期函數(shù),2|a|,2|a|是它的一個周期是它的一個周期; ;3.3.對稱性的三個常用結論對稱性的三個常用結論(1)(1)若函數(shù)若函數(shù)y=f(x+ay=f(x+a) )是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,即即f(a-x)=f(a+xf(a-x)=f(a+x),),則函數(shù)則函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象關于的圖象關于直線直線x=ax=a對稱對稱; ;(2)(2)若對于若對于R R上的任意上的任意x x都有都有f(2a-x)=f(xf(2a-x)=f(x) )或或f(-xf(-x)=f(2a+x),)=f(2a+x),則則y=f(xy=f(x) )的圖的

8、圖象關于直線象關于直線x=ax=a對稱對稱; ;(3)(3)若函數(shù)若函數(shù)y=f(x+by=f(x+b) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,即即f(-x+b)+f(x+bf(-x+b)+f(x+b)=0,)=0,則函數(shù)則函數(shù)y=f(xy=f(x) )關于點關于點(b,0)(b,0)中心對稱中心對稱. .夯基自測夯基自測D D B B 3.3.已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),則則f(8)f(8)的值為的值為( ( ) )(A)-1(A)-1 (B)0 (B)0 (C)1 (C)1 (D)2 (D)2解析解析: :因為因為

9、f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),所以所以f(xf(x) )是以是以4 4為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .所以所以f(8)=f(0),f(8)=f(0),又函數(shù)又函數(shù)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,所以所以f(8)=f(0)=0.f(8)=f(0)=0.B B4.4.設函數(shù)設函數(shù)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,若當若當x(0,+)x(0,+)時時,f(x)=lg,f(x)=lg x, x,則則滿足滿足f(xf(x)0)0的的x x的取值范圍是的取值范圍是 .解析解析: :畫草圖畫草圖, ,由由f(x)f(x

10、)為奇函數(shù)知為奇函數(shù)知f(x)0f(x)0的的x x的取值范圍為的取值范圍為(-1,0)(1,+).(-1,0)(1,+).答案答案: : (-1,0)(1,+) (-1,0)(1,+)考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 函數(shù)奇偶性的判定函數(shù)奇偶性的判定 (3)(3)易知函數(shù)的定義域為易知函數(shù)的定義域為(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),關于原點對稱關于原點對稱. .當當x0 x0,-x0,故故f(-xf(-x)=x)=x2 2-x=f(x-x=f(x););當當x0 x0時時,-x0,-x0 x0時時,f(-x,f(-x)=-(-x)=-(-x)2

11、 2-2=-(x-2=-(x2 2+2)=-f(x+2)=-f(x););當當x0 x0時時,f(-x,f(-x)=(-x)=(-x)2 2+2=-(-x+2=-(-x2 2-2)=-f(x-2)=-f(x););當當x=0 x=0時時,f(0)=0,f(0)=0,也滿足也滿足f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x).).故該函數(shù)為奇函數(shù)故該函數(shù)為奇函數(shù). .考點二考點二函數(shù)周期性的應用函數(shù)周期性的應用答案答案: : (1)A (1)A 答案答案: : (2)2.5 (2)2.5反思歸納反思歸納 (1) (1)判斷函數(shù)周期性的兩個方法判斷函數(shù)周期性的兩個方法定義法定義法. .圖象法圖象法.

12、.(2)(2)根據(jù)函數(shù)的周期性根據(jù)函數(shù)的周期性, ,可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質. .(3)(3)函數(shù)周期性的重要應用函數(shù)周期性的重要應用利用函數(shù)的周期性利用函數(shù)的周期性, ,可將其他區(qū)間上的求值可將其他區(qū)間上的求值, ,求零點個數(shù)求零點個數(shù), ,求解析式等求解析式等問題問題, ,轉化為已知區(qū)間上的相應問題轉化為已知區(qū)間上的相應問題, ,進而求解進而求解. .解析：解析：(2)(2)因為因為f(xf(x) )是最小正周期為是最小正周期為2 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,且且0 x20 x2時時, ,f(xf(x)=x)=x3 3-x=x(x-1)(

13、x+1),-x=x(x-1)(x+1),所以當所以當0 x20 x2時時,f(x,f(x)=0)=0有兩個根有兩個根, ,即即x x1 1=0,x=0,x2 2=1.=1.由周期函數(shù)的性質知由周期函數(shù)的性質知, ,當當2x42x4時時,f(x,f(x)=0)=0有兩個根有兩個根, ,即即x x3 3=2,x=2,x4 4=3;=3;當當4x64x6時時,f(x,f(x)=0)=0有兩個根有兩個根, ,即即x x5 5=4,x=4,x6 6=5;x=5;x7 7=6=6也是也是f(xf(x)=0)=0的根的根. .故函數(shù)故函數(shù)f(xf(x) )的圖象在區(qū)間的圖象在區(qū)間0,60,6上與上與x x軸

14、交點的個數(shù)為軸交點的個數(shù)為7.7.故選故選B.B.(2)(2)已知已知f(xf(x) )是是R R上最小正周期為上最小正周期為2 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,且當且當0 x20 xf(2a),)f(2a),則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是.解析解析：當當x0 x0時時,f(x,f(x)=x)=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在在0,+)0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù). .又函數(shù)又函數(shù)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù). .由由f

15、(3-af(3-a2 2)f(2a)f(2a)得得3-a3-a2 22a.2a.解得解得-3a1.-3a1.答案答案: :(-3,1)(-3,1)反思歸納反思歸納 函數(shù)單調性與奇偶性結合函數(shù)單調性與奇偶性結合. .注意函數(shù)單調性及奇偶性的注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義定義, ,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性. .反思歸納反思歸納 周期性與奇偶性結合周期性與奇偶性結合. .此類問題多考查求值問題此類問題多考查求值問題, ,常利常利用奇偶性及周期性進行交換用奇偶性及周期性進行交換, ,將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解式的函

16、數(shù)定義域內求解. .考查角度考查角度3:3:函數(shù)的奇偶性與對稱性相結合問題函數(shù)的奇偶性與對稱性相結合問題. .【例【例6 6】 (2014(2014高考新課標全國卷高考新課標全國卷)偶函數(shù)偶函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象關于直線的圖象關于直線x=2x=2對稱對稱,f(3)=3,f(3)=3,則則f(-1)=f(-1)=.解析解析: :因為因為f(xf(x) )的圖象關于直線的圖象關于直線x=2x=2對稱對稱, ,所以所以f(2+1)=f(2-1),f(2+1)=f(2-1),即即f(1)=f(3)=3,f(1)=f(3)=3,又函數(shù)又函數(shù)y=f(xy=f(x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,所

17、以所以f(-1)=f(1)=3.f(-1)=f(1)=3.答案答案: :3 3反思歸納反思歸納 (1)(1)若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )的圖象關于直線的圖象關于直線x=ax=a和直線和直線x=b(abx=b(ab) )對對稱稱, ,則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)必為周期函數(shù),2(a-b),2(a-b)是它的一個周期是它的一個周期; ;(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )的圖象關于點的圖象關于點(a,0)(a,0)和點和點(b,0)(ab)(b,0)(ab)對稱對稱, ,則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)必為周期函數(shù),2(a-b),2(a-b)是它的一個周期是它的一個

18、周期. .考查角度考查角度4:4:函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性相結合問題函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性相結合問題. .【例【例7 7】 已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),且在區(qū)間且在區(qū)間0,20,2上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,則則( () )(A)f(-25)f(11)f(80)(A)f(-25)f(11)f(80)(B)f(80)f(11)f(-25)(B)f(80)f(11)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(D)f(-25)f(80)f(11)(D)

19、f(-25)f(80)f(11)解析解析: :因為因為f(xf(x) )滿足滿足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),所以所以f(x-8)=f(xf(x-8)=f(x),),所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )是以是以8 8為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), ,則則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).f(11)=f(3).由由f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,且滿足且滿足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),得得f(11)=f(3)=f(11)=f(3)=

20、-f(-1)=f(1).-f(-1)=f(1).因為因為f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間0,20,2上是增函數(shù)上是增函數(shù),f(x,f(x) )在在R R上是奇函數(shù)上是奇函數(shù), ,所以所以f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,所以所以f(-1)f(0)f(1),f(-1)f(0)f(1),即即f(-25)f(80)f(11).f(-25)f(80)f(11).故選故選D.D.反思歸納反思歸納 周期性、奇偶性與單調性結合周期性、奇偶性與單調性結合. .解決此類問題通常先利解決此類問題通常先利用周期性轉化所求區(qū)間為自變量所在的區(qū)間用周期性轉化所求區(qū)間為自變量所在的區(qū)間

21、, ,然后利用奇偶性和單調然后利用奇偶性和單調性求解性求解. .備選例題備選例題 答案答案: :x|xx|x-2-2或或0 x20 x2解析解析: :對于對于,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),),故故2 2是函數(shù)是函數(shù)f(xf(x) )的一個周的一個周期期, ,正確正確; ;對于對于, ,由于函數(shù)由于函數(shù)f(xf(x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,且函數(shù)且函數(shù)f(xf(x) )是以是以2 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), ,則則f(2-f(2-x)=f(x-2)=f(xx)=f(x-2)=f(x),),即即f(2-x)=f(xf(2

22、-x)=f(x),),故函數(shù)故函數(shù)f(xf(x) )的圖象關于直線的圖象關于直線x=1x=1對稱對稱, ,故故正確正確; ;對于對于, ,由于函數(shù)由于函數(shù)f(xf(x) )是偶函數(shù)且在是偶函數(shù)且在-1,0-1,0上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,根據(jù)偶函數(shù)圖象根據(jù)偶函數(shù)圖象的性質可知的性質可知, ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在在0,10,1上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,故故錯誤錯誤; ;對于對于, ,由于函數(shù)由于函數(shù)f(xf(x) )是以是以2 2為周期的函數(shù)且在為周期的函數(shù)且在-1,0-1,0上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,由周期由周期函數(shù)的性質知函數(shù)的性質知, ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在在1,21,2上

23、是增函數(shù)上是增函數(shù), ,故故錯誤錯誤; ;對于對于, ,由于函數(shù)由于函數(shù)f(xf(x) )是以是以2 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), ,所以所以f(2)=f(0),f(2)=f(0),正確正確. .綜上綜上所述所述, ,正確結論的序號是正確結論的序號是. .【例【例2 2】 定義在定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(x+1)=-f(xf(x+1)=-f(x),),且在且在-1,0-1,0上是增上是增函數(shù)函數(shù), ,給出下列關于給出下列關于f(xf(x) )的結論的結論: :f(xf(x) )是周期函數(shù)是周期函數(shù); ;f(xf(x) )的圖象關于的圖象關于直線直線x=1x=

24、1對稱對稱; ;f(xf(x) )在在0,10,1上是增函數(shù)上是增函數(shù); ;f(xf(x) )在在1,21,2上是減函上是減函數(shù)數(shù); ;f(2)=f(0).f(2)=f(0).其中正確結論的序號是其中正確結論的序號是.答案答案: :經(jīng)典考題研析經(jīng)典考題研析 在經(jīng)典中學習方法在經(jīng)典中學習方法函數(shù)圖象的對稱性函數(shù)圖象的對稱性審題指導審題指導【典例】【典例】(2015(2015高考新課標全國卷高考新課標全國卷)設函數(shù)設函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象與的圖象與y=2x+ay=2x+a的圖象的圖象關于直線關于直線y=-xy=-x對稱對稱, ,且且f(-2)+f(-4)=1,f(-2)+f(-4)=

25、1,則則a a等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)2(C)2(D)4(D)4關鍵點關鍵點所獲信息所獲信息圖象關于直線圖象關于直線y=-xy=-x對稱對稱軸對稱軸對稱f(-2)+f(-4)=1f(-2)+f(-4)=1方程方程解題突破解題突破: :由對稱性求出函數(shù)由對稱性求出函數(shù)y=f(xy=f(x) )的解析式的解析式, ,再由方程思想求出再由方程思想求出a a的值的值解析解析: :設設(x,y(x,y) )是函數(shù)是函數(shù)y=f(xy=f(x) )圖象上任意一點圖象上任意一點, ,它關于直線它關于直線y=-xy=-x的對的對稱點為稱點為(-y,-x(-y,-x),),由

26、由y=f(xy=f(x) )的圖象與的圖象與y=2y=2x+ax+a的圖象關于直線的圖象關于直線y=-xy=-x對稱對稱, ,可知可知(-y,-x(-y,-x) )在在y=2y=2x+ax+a的圖象上的圖象上, ,即即-x=2-y+a,-x=2-y+a,解得解得y=-logy=-log2 2(-x)+a,(-x)+a,所以所以f(-2)+f(-4)=-logf(-2)+f(-4)=-log2 22+a-log2+a-log2 24+a=1,4+a=1,解得解得a=2.a=2.故選故選C.C.命題意圖命題意圖: :本題主要考查兩個函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)解析式的求本題主要考查兩個函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)解析式的求法等基礎知識法等基礎知識, ,考查考生的運算求解能力及轉化與化歸思想、方程考查考生的運算求解能力及轉化與化歸思想、方程思想思想. .