黃岡中學(xué)2011年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題二集合與簡(jiǎn)易邏輯、極限與復(fù)數(shù)

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1、 --集合與簡(jiǎn)易邏輯、極限與復(fù)數(shù) 1．已知集合，則的非空真子集的個(gè)數(shù)是（ ） A．30個(gè) B．32個(gè) C．62個(gè) D．64個(gè) 2．不等式的解集為，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3．已知，則下列關(guān)系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，則=（ ） A．0 B．1 C． D． 5．設(shè)為復(fù)數(shù)集的非空子集．若對(duì)任意，都有， 則稱

2、為封閉集．下列命題： ①集合為封閉集； ②若為封閉集，則一定有；?、鄯忾]集一定是無(wú)限集； ④若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號(hào)) 6．已知集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍 ； 若至少有一個(gè)元素，則的取值范圍 ． 7．對(duì)任意兩個(gè)集合，定義：，，設(shè)，，則＝　　　． 8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，且，若存在，則 ． 9． = ． 10．如果是虛數(shù)，則中是虛數(shù)的有 個(gè)，是實(shí)數(shù)的有 個(gè)，相等的有 組． 1

3、1．設(shè)，， (1)，求的值； (2)，且，求的值； (3)，求的值． 12．已知集合． （1）若，求； （2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍． 13．設(shè)為全集，集合，,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍． 14．設(shè)集合，． （1）當(dāng)時(shí)，求； （2）當(dāng)時(shí)，問(wèn)是否存在正整數(shù)和，使得，若存在，求出、的值；若不存在,說(shuō)明理由． 15．已知不等式的解集中的最大解為3，求實(shí)數(shù)的值． 16．設(shè)時(shí)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍． 17．設(shè)方程有兩個(gè)不相等的正根；方程 無(wú)實(shí)根，求使或?yàn)檎妫覟榧俚膶?shí)數(shù)的取值范圍． 18．試判斷是關(guān)于的方程在區(qū)間上有解的什么條件？并給出判斷理由． 19．已知不等式①；②；

4、③． （1）若同時(shí)滿足①、②的也滿足③，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若滿足③的至少滿足①、②中的一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 20．已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：，，證明：，． 21．試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)且a、b、c互不相等時(shí)，均有：． 22．已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：，且． （1）求、、的值； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，； （3）證明：當(dāng)時(shí)，有． 23．已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，由中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列，…，為等比數(shù)列，其中，，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記，求． 24．已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各

5、項(xiàng)的和為． （1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公比； （2）對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)之和； （3）設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，，求，并求正整數(shù)，使得 存在且不等于零． 25．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是否存在？若存在，求出其極限． 26．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且． （1）求的值及的實(shí)部的取值范圍； （2）設(shè)，求證：為純虛數(shù)； （3）求的最小值． 集合與簡(jiǎn)易邏輯、極限與復(fù)數(shù)易錯(cuò)題（參考答案） 1．C 解：因?yàn)?，又且，所? ，故，所以它的非空真子集有個(gè)． 故選C． 2．B 解：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，不符合題意，所以，由不

6、等式得：或，即或，則有或，又，所以，即有，故選B． 3．A 解：當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，則且，即，所以，故選． 4．C解：特殊值法 由題意取，則，可見(jiàn)選C． 5．①② 解：∵集合為復(fù)數(shù)集，而復(fù)數(shù)集一定為封閉集，∴①是真命題． ②由封閉集定義知②為真命題． ③是假命題．如符合定義，但是為有限集． ④是假命題．如，為整數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成集合，滿足，但不是封閉集， 如都在中，但，所以正確的是①②． 6．， 解：當(dāng)中僅有一個(gè)元素時(shí)，，或； 當(dāng)中有個(gè)元素時(shí)，； 當(dāng)中有兩個(gè)元素時(shí)，；所以，． 7． 解：依題意有，，所以，， 故． 8．1

7、解：因?yàn)椋? 所以， 得，則，故，所以． 9． 解：=． 10．4，5，3．解：四個(gè)為虛數(shù)；五個(gè)為實(shí)數(shù)；三組相等． 11．解：(1)因?yàn)?，所以，又由?duì)應(yīng)系數(shù)相等可得和同時(shí)成立，即； (2)由于， ，且，，故只可能.此時(shí)，即或，由(1)可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與已知矛盾，所以舍去，故； (3)由于，，且，此時(shí)只可能，即，也即，或，由(2)可知不合題意，故． 12．解：（1）當(dāng)時(shí)，， ， ； （2）因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，,滿足條件； 當(dāng)時(shí)，，由，，得： 解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 13．解：因?yàn)?，所以．又，所以．所以方程或者無(wú)實(shí)根，或者只有負(fù)實(shí)數(shù)根．所以，或，即或，得

8、．故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 14．解：（1），則，由方程組解得： ，即． （2），則中的方程為.因?yàn)槎际欠强占希梢阎赜星?，此即方程組和方程組均無(wú)解，消去整理得和，所以， ，將其看做關(guān)于的二元一次不等式，從而，，所以且成立.又，所以,此時(shí)，且，由此得，由,得，即所求，． 15．解：將代入，得，即． 當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，即，所以滿足要求． 16．解：因?yàn)?，所以由得，由，得? 或，故，解得， 又，所以，又，無(wú)解． 綜上，正數(shù)的取值范圍是． 17．解：令，則由，且， 且 ，求得，∴， ， 由或?yàn)檎?，且為假知，、一真一假? ①當(dāng)真假時(shí)，，即； ②當(dāng)假真時(shí)，即．

9、 ∴的取值范圍是或． 答案： 18．解：令，則方程在區(qū)間上有解的充要條件是： 或，由于第一個(gè)不等式的解集是，而第二個(gè)不等式的解集是，所以關(guān)于的方程在區(qū)間上有解的充要條件是，因?yàn)榧?，故而可得結(jié)論：是關(guān)于的方程在區(qū)間上有解的充分不必要條件． 19．解：由題意知，解①得；解②得或． （1）設(shè)同時(shí)滿足①、②的集合，滿足③的集合為，因?yàn)?，所以? ，所以為所求． （2），所以，即方程的兩根在內(nèi)，所以：，所以為所求． 20．證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)時(shí)，，， 所以，命題正確 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)， ， 而，所以． 又，所以當(dāng)時(shí)，命題正確 由①②知，對(duì)一

10、切，有． 21．證明：（1）設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，， 所以． （2）設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則，猜想． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，由， 所以． ②假設(shè)時(shí)成立，即， 則當(dāng)時(shí)， 22．解：（1）由及計(jì)算得：，，． （2）證明：（Ⅰ）， 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立． （Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即． 因?yàn)?，函?shù)在上遞增， 則，所以， 即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式對(duì)一切都成立． （3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以． 又由，即， 即，得，且． 所以． 23．解：（1）由題意知，即． 因?yàn)?，所以，?shù)列的公比， 所以．① 又．②

11、由①②得．因?yàn)?，所以? （2） ， 所以． 24．解：（1）由題設(shè)可得，解得 所以數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為． （2）由（1）知，，所以，是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)之和為，即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155． （3）因?yàn)闉閿?shù)列的第項(xiàng)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 所以， 所以． 令． 因?yàn)椋? 所以 ， 故． 所以 因?yàn)椋掖嬖?，所以?dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，由題設(shè)，不等于0． 因此不合題意，舍去，故滿足題設(shè)的正整數(shù)的值為2． 25．解：（1）當(dāng)時(shí)； （2）當(dāng)時(shí)； （3）當(dāng)時(shí)． 所以． 26．解：（1）設(shè)， 則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以． 由，得，即，因?yàn)?，所以，所以? 由已知，即，解得． （2）證明： ． 所以是純虛數(shù)． （3）， 因?yàn)?，所以，所以，所以的最小值?． 11