高中數(shù)學(xué)第二章 中國古代數(shù)學(xué)瑰寶課件選修三

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1、第二章 中國古代數(shù)學(xué)瑰寶2.1 古算明珠“方程術(shù)”與“正負(fù)術(shù)” 雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉 劉徽 中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)九章算術(shù)(約公元前約公元前2世紀(jì)世紀(jì))卷卷8的的“方程術(shù)方程術(shù)”，是解線，是解線性方程組的算法。性方程組的算法。 以該卷第以該卷第1題為例，題為例，今有上禾三秉，中今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)

2、一秉各幾何？上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ 該問題相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組：設(shè)該問題相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組：設(shè)上、中、下禾一秉實(shí)依次是上、中、下禾一秉實(shí)依次是x、y、z，求解線，求解線性方程組性方程組 方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗于右方。中、左禾列如禾一秉，實(shí)三十九斗于右方。中、左禾列如右方右方 按照方程術(shù)術(shù)文，將此題演算過程表示如按照方程術(shù)術(shù)文，將此題演算過程表示如下：古代豎為行，橫為列，且從左到右，與今下：古代豎為行，橫為列，且從左到右，與今天習(xí)慣相反。天習(xí)慣相反。323923342326xyzxyzxyz 以右行上禾遍乘中行，而

3、以直除。以右行上禾遍乘中行，而以直除。 以右行上禾系數(shù)以右行上禾系數(shù)3乘整個(gè)中行。乘整個(gè)中行。 32396931022326xyzxyzxyz然后以右行對減中行，兩度減，中行上禾系然后以右行對減中行，兩度減，中行上禾系數(shù)變?yōu)閿?shù)變?yōu)?。 323905242326xyzxyzxyz又乘其次，亦以直除。復(fù)去左行首。又乘其次，亦以直除。復(fù)去左行首。以右行上禾系數(shù)以右行上禾系數(shù)3乘整個(gè)左行。以右行對乘整個(gè)左行。以右行對減左行，左行上禾系數(shù)變?yōu)闇p左行，左行上禾系數(shù)變?yōu)?。 3239052404839xyzxyzxyz然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。左方下禾不盡者

4、，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下禾之實(shí)。禾之實(shí)。以中行中禾系數(shù)以中行中禾系數(shù)5乘左行整行，以中行對減乘左行整行，以中行對減左行，四度減，則左行中禾系數(shù)亦化為左行，四度減，則左行中禾系數(shù)亦化為0，下禾，下禾系數(shù)為系數(shù)為36，實(shí)為，實(shí)為99。下禾系數(shù)與實(shí)有公因子。下禾系數(shù)與實(shí)有公因子9，以其約簡。下禾系數(shù)變?yōu)橐云浼s簡。下禾系數(shù)變?yōu)?，作為法，實(shí)為，作為法，實(shí)為11，只是下禾的實(shí)。只是下禾的實(shí)。3239052400411xyzxyzxyz求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。余，如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。余，如中禾秉數(shù)而一，即中禾

5、之實(shí)。為了求中禾，以左行的法乘中行的下實(shí)，為了求中禾，以左行的法乘中行的下實(shí)，減去左行下禾的實(shí)，在此問中即減去左行下禾的實(shí)，在此問中即244111。該運(yùn)算的余數(shù)，除以中行中禾的秉數(shù)，。該運(yùn)算的余數(shù)，除以中行中禾的秉數(shù)，就是中行的實(shí)，仍以左行之法為法。此問中就是中行的實(shí)，仍以左行之法為法。此問中即（即（244111）517，以，以4為法。為法。32390401700411xyzxyzxyz求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。余，如上禾秉數(shù)而一，即為上中禾之實(shí)。余，如上禾秉數(shù)而一，即為上禾之實(shí)。禾之實(shí)。為了求上禾，以左行之法乘右行下實(shí)，為了求上禾，以左

6、行之法乘右行下實(shí)，減去左行下禾實(shí)乘右行下禾秉數(shù)，再減去減去左行下禾實(shí)乘右行下禾秉數(shù)，再減去中行中禾實(shí)乘右行中禾秉數(shù)。此問中即中行中禾實(shí)乘右行中禾秉數(shù)。此問中即394111172。該運(yùn)算的余數(shù)，除。該運(yùn)算的余數(shù)，除以右行上禾秉數(shù)，就是上禾之實(shí)，仍以左以右行上禾秉數(shù)，就是上禾之實(shí)，仍以左行之法為法。此問中就是（行之法為法。此問中就是（394111172）327，仍以，仍以4為法。為法。400370401700411xyzxyzxyz實(shí)皆如法，各得一斗。實(shí)皆如法，各得一斗。實(shí)除以法，得到上禾實(shí)除以法，得到上禾1秉之實(shí)為秉之實(shí)為x=9 斗，斗，中禾中禾1秉之實(shí)秉之實(shí)y=4 斗，下禾斗，下禾1秉之實(shí)秉之

7、實(shí)z=2 斗。斗。414143籌算解線性方程組舉例（二）籌算解線性方程組舉例（二）“九章算術(shù)九章算術(shù)及劉徽注及劉徽注”：今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？答曰：牛價(jià)一千二百，羊價(jià)五百，豕價(jià)答曰：牛價(jià)一千二百，羊價(jià)五百，豕價(jià)三百。三百。術(shù)曰：如方程。術(shù)曰：如方程。解：設(shè)牛、羊、豬單價(jià)依次是解：設(shè)牛、羊、豬單價(jià)依次是x、y、z，求，求解線性方程組解線性方程組 得到牛價(jià)

8、為得到牛價(jià)為x=1200，羊價(jià)為，羊價(jià)為y=500，豕價(jià)，豕價(jià)為為z=300。 著名的數(shù)學(xué)著作著名的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)，大約編于，大約編于公元四、五十年間的東漢初期。這部書是采用公元四、五十年間的東漢初期。這部書是采用問題集的形式編的，共有二百四十六個(gè)問題，問題集的形式編的，共有二百四十六個(gè)問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。盈不足、方程和勾股九章。 方田章方田章講的是各種分?jǐn)?shù)計(jì)算和方田、梯形講的是各種分?jǐn)?shù)計(jì)算和方田、梯形田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)形田等的面積計(jì)算；

9、形田等的面積計(jì)算；粟米章粟米章講的是糧食交易講的是糧食交易的簡單比例計(jì)算；的簡單比例計(jì)算；衰分章衰分章講的是一些按比例講的是一些按比例分配的問題；分配的問題；少廣章少廣章講的是由已知面積和體講的是由已知面積和體積，反求邊的長短和面的寬廣的問題，其中積，反求邊的長短和面的寬廣的問題，其中總結(jié)出了開平方和開立方的方法；總結(jié)出了開平方和開立方的方法； 商功章商功章講的是計(jì)算各種體積的方法，主要解講的是計(jì)算各種體積的方法，主要解決筑城、建堤、挖溝、修渠等實(shí)際工程問題；決筑城、建堤、挖溝、修渠等實(shí)際工程問題；均輸章均輸章講的是糧食運(yùn)輸均勻負(fù)擔(dān)的計(jì)算方法；講的是糧食運(yùn)輸均勻負(fù)擔(dān)的計(jì)算方法；盈不足章盈不足章

10、講的是盈虧計(jì)算法和它的應(yīng)用；講的是盈虧計(jì)算法和它的應(yīng)用；方程方程章章講的是正負(fù)數(shù)算法，還有各種三元一次和四講的是正負(fù)數(shù)算法，還有各種三元一次和四元一次聯(lián)立方程的解法。元一次聯(lián)立方程的解法。勾股章勾股章敘述了勾方、敘述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的問題。三角形解法的問題。 九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容豐富多彩，包括了許多的內(nèi)容豐富多彩，包括了許多算術(shù)、幾何、代數(shù)和三角的知識(shí)，是一部非算術(shù)、幾何、代數(shù)和三角的知識(shí)，是一部非常杰出的數(shù)學(xué)專著，它對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展影常杰出的數(shù)學(xué)專著，它對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。響深遠(yuǎn)。 九章算術(shù)九章算術(shù)不只

11、在中國數(shù)學(xué)史上占有十不只在中國數(shù)學(xué)史上占有十分重要的地位，而且影響遠(yuǎn)及國外。朝鮮和分重要的地位，而且影響遠(yuǎn)及國外。朝鮮和日本都曾經(jīng)用它作為教科書。日本都曾經(jīng)用它作為教科書。 歐洲在中世紀(jì)的一些算法，比如分?jǐn)?shù)和比歐洲在中世紀(jì)的一些算法，比如分?jǐn)?shù)和比例就很可能是從中國傳入印度、再經(jīng)阿拉伯傳例就很可能是從中國傳入印度、再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學(xué)著作中，入歐洲的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學(xué)著作中，把把“盈不足盈不足”稱為稱為“中國算法中國算法”就是一個(gè)證明。就是一個(gè)證明?，F(xiàn)在，現(xiàn)在，九章算術(shù)九章算術(shù)已作為世界科學(xué)名著，被已作為世界科學(xué)名著，被譯成許多種文字出版。譯成許多種文字出版。正

12、負(fù)術(shù) 正負(fù)術(shù)是九章算術(shù)方程章提出的正負(fù)數(shù)加減法則。一則方程術(shù)中用直除法消元時(shí)會(huì)出現(xiàn)以小減大的情形，再則通過損益術(shù)列方程，這都會(huì)產(chǎn)生負(fù)數(shù)。正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。前四句是減法法則：前四句是減法法則：若二數(shù)同號(hào)，則；若二數(shù)同號(hào)，則；若二數(shù)異號(hào)，則若二數(shù)異號(hào)，則若沒有與之對減的數(shù)，則若沒有與之對減的數(shù)，則 ()()(),0abba ba ()()()abab 后四句是加法法則：后四句是加法法則：若二數(shù)異號(hào)，則；若二數(shù)異號(hào)，則；若二數(shù)同號(hào)，則，若二數(shù)同號(hào)，則，若沒有與之對加的數(shù)，則若沒有與之對加的數(shù)，則()()(),(0)ab

13、abab ()()(),(0)abbaba 在在九章算術(shù)九章算術(shù)中，正負(fù)術(shù)只用于方程術(shù)，中，正負(fù)術(shù)只用于方程術(shù)，并且，在實(shí)際上不僅使用了正負(fù)數(shù)的加減法，并且，在實(shí)際上不僅使用了正負(fù)數(shù)的加減法，而且使用了正負(fù)數(shù)的乘除法。不過，現(xiàn)有資料而且使用了正負(fù)數(shù)的乘除法。不過，現(xiàn)有資料中，正負(fù)數(shù)的乘法法則在中，正負(fù)數(shù)的乘法法則在算學(xué)啟蒙算學(xué)啟蒙中才給中才給出。祖沖之很可能研究過負(fù)系數(shù)開方問題，現(xiàn)出。祖沖之很可能研究過負(fù)系數(shù)開方問題，現(xiàn)存資料中討論負(fù)系數(shù)開方問題最先出現(xiàn)在北宋存資料中討論負(fù)系數(shù)開方問題最先出現(xiàn)在北宋劉益的劉益的議古根源議古根源中。中。雀燕集衡雀燕集衡這是這是九章算術(shù)九章算術(shù)方程章的一個(gè)題目：方

14、程章的一個(gè)題目：今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，橫適平。并雀、燕重輕。一雀一燕交而處，橫適平。并雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何？一斤。問雀、燕一枚各重幾何？設(shè)設(shè) x , y 分別為雀、燕一枚重，分別為雀、燕一枚重，九章算術(shù)九章算術(shù)的解法是通過損益術(shù)列出方程：的解法是通過損益術(shù)列出方程： 4858xyxy用直除法消元后求出雀一枚用直除法消元后求出雀一枚 兩，兩，燕一枚燕一枚 兩。兩。 13119x 5119y 劉徽提出了新的解法：兩行直接相減得劉徽提出了新的解法：兩行直接相減得因此，因此， 。任取一行，比如右行，用今。任取一行，比如

15、右行，用今有術(shù)將雀化為燕，便有有術(shù)將雀化為燕，便有 ， 于是于是 。這正是方程新術(shù)的基本思想。方程新術(shù)是在這正是方程新術(shù)的基本思想。方程新術(shù)是在方程章麻麥問中詳細(xì)闡述的，是劉徽的一項(xiàng)方程章麻麥問中詳細(xì)闡述的，是劉徽的一項(xiàng)創(chuàng)造。創(chuàng)造。五家共井五家共井這也是這也是九章算術(shù)九章算術(shù)方程章的一個(gè)題目：方程章的一個(gè)題目：今今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾

16、如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？何？設(shè)設(shè) x , y , z , u , v , w 分別為甲、乙、丙、分別為甲、乙、丙、丁、戊綆長及井深，丁、戊綆長及井深，6個(gè)未知數(shù)，依題意只可個(gè)未知數(shù)，依題意只可列出列出5行方程：行方程： 九章算術(shù)九章算術(shù)遂以遂以265，191，148，129，76，721分別為甲、乙、丙、丁、戊綆長及井深。分別為甲、乙、丙、丁、戊綆長及井深。 這是在中國數(shù)學(xué)史上第一次明確提出不定這是在中國數(shù)學(xué)史上第一次明確提出不定方程問題。方程問題。 九章算術(shù)九章算術(shù)只是給出了最小的一組正整數(shù)解。只是給出了最小的一組正整數(shù)解。2.2“韓信點(diǎn)兵”與中國的剩余定理 從“鬼谷算”

17、的猜歲數(shù)游戲談起 猜謎語這種民間游戲，在中國有幾千年的歷史了?？墒悄阒啦恢肋€有一種猜歲數(shù)的游戲在一千多年前也曾是中國人民的一種游戲？ 讓我們借想像的羽翼飛到那古老的年代，讓我們借想像的羽翼飛到那古老的年代，飛到那位于富庶肥沃的關(guān)中平原，那飛到那位于富庶肥沃的關(guān)中平原，那詩經(jīng)詩經(jīng)所說：所說：“徑以渭蜀徑以渭蜀”的徑水、渭水流域上的的徑水、渭水流域上的古城長安。長安是個(gè)像杜甫的詩歌所描寫的：古城長安。長安是個(gè)像杜甫的詩歌所描寫的：“漁陽豪俠地，擊鼓吹笙竽，云帆轉(zhuǎn)遼海，漁陽豪俠地，擊鼓吹笙竽，云帆轉(zhuǎn)遼海，粳稻來東吳。越羅與楚練，照耀與臺(tái)軀粳稻來東吳。越羅與楚練，照耀與臺(tái)軀”一一個(gè)很熱鬧繁華的城市

18、。個(gè)很熱鬧繁華的城市。我們不單聽到吹竽鼓瑟、擊筑彈琴，也見到我們不單聽到吹竽鼓瑟、擊筑彈琴，也見到斗雞走犬。而位于大街的酒家，高朋滿座。斗雞走犬。而位于大街的酒家，高朋滿座。最熱鬧的是靠南城門的墻腳地方，只見許多最熱鬧的是靠南城門的墻腳地方，只見許多人圍繞在一個(gè)竹竿高掛上寫人圍繞在一個(gè)竹竿高掛上寫“鬼谷神算鬼谷神算”的的布條下。擠進(jìn)去看，我們看到一個(gè)有仙風(fēng)道布條下。擠進(jìn)去看，我們看到一個(gè)有仙風(fēng)道骨模樣的老人對另一位老觀眾說：骨模樣的老人對另一位老觀眾說：“大爺不大爺不需告訴我歲數(shù)，只需講你的歲數(shù)除以二、三、需告訴我歲數(shù)，只需講你的歲數(shù)除以二、三、五后的余數(shù)是多少，就可以了。五后的余數(shù)是多少，就

19、可以了?！薄坝枚?，余一；用三除嘛，也是余一；用用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用五除嘛是余三。五除嘛是余三?！敝灰娝忝壬鷶[弄一下竹籌，只見算命先生擺弄一下竹籌，就說：就說：“大爺今年大爺今年73歲了，有道是人生七十古歲了，有道是人生七十古來稀，大爺童顏鶴齡，龍馬精神，真是有福。來稀，大爺童顏鶴齡，龍馬精神，真是有福?！彼銓α?，是怎么樣算出來呢？他算對了，是怎么樣算出來呢？同余的概念 首先讓我介紹德國數(shù)學(xué)家高斯在200年前想出的一個(gè)數(shù)學(xué)上很重要的概念：“同余” . 給定一個(gè)正整數(shù)n，我們說兩個(gè)數(shù)a、b是對模n同余，如果ab是n的倍數(shù)。用符號(hào)ab（mod n）來表示。 比方說：7，4，

20、是對模3同余，因?yàn)?4=3。 16，52是對模6同余，因?yàn)?652=366（6）。 23，13是對模2，模5同余，因?yàn)?31310=25. 寫成數(shù)學(xué)式子是74（mod 3），1652（mod 6），2313（mod 2）或 2313（mod 5） 我們現(xiàn)在令我們現(xiàn)在令Z表示所有的整數(shù)集合，給定一表示所有的整數(shù)集合，給定一個(gè)正整數(shù)個(gè)正整數(shù)n，我們看同余，我們看同余究竟有什么性質(zhì)？究竟有什么性質(zhì)？ 首先，對于任何整數(shù)首先，對于任何整數(shù)a ，我們恒有，我們恒有aa（mod n）因?yàn)橐驗(yàn)閍a00n，以上的性質(zhì)就是，以上的性質(zhì)就是“同余具同余具有有自反性自反性。 其次，如果其次，如果ab（mod n），

21、則一定有），則一定有ba（mod n）因?yàn)橛梢驗(yàn)橛蒩b（mod n），我們得），我們得ab=nk，k是是一個(gè)整數(shù)，一個(gè)整數(shù)， 因此因此ba=（ab）n（k），即），即ba（modn）。我們說）。我們說“同余具有同余具有對稱性對稱性”。 另外如果有另外如果有ab（mod n），），bc（mod n），）， 則我們可以得到則我們可以得到ac（mod n）。）。 這就是這就是“同余具有同余具有傳遞性傳遞性。讓我們看看下面的例子：讓我們看看下面的例子：例例1取取n2，則我們把整數(shù)分成偶數(shù)或奇數(shù)，則我們把整數(shù)分成偶數(shù)或奇數(shù)，就是就是02=0，2，4，6，2k，包含所包含所有偶數(shù)。有偶數(shù)。12=1，3，（

22、2k+1)，包含所有包含所有的奇數(shù)。的奇數(shù)。例例2 . 取取n3，則，則03=，9，6，3，0，3，6，9，13=，8，5，2，1，4，7，10，23=，7，4，1，2，5，8，11，現(xiàn)在讓我問一個(gè)問題：現(xiàn)在讓我問一個(gè)問題：“什么數(shù)被什么數(shù)被2除余除余1？”我想你一定會(huì)回答：是所有的奇數(shù)，奇數(shù)一般我想你一定會(huì)回答：是所有的奇數(shù)，奇數(shù)一般可以用可以用2k1來表示來表示k0，1，2，。這。這就是在就是在12的數(shù)。的數(shù)?，F(xiàn)在讓我再問一個(gè)問題：現(xiàn)在讓我再問一個(gè)問題：“什么數(shù)被什么數(shù)被3除余除余2？”我想你一定會(huì)回答：所有形如我想你一定會(huì)回答：所有形如3k2的數(shù)，這的數(shù)，這里里k可以等于可以等于0，1，

23、2，這就是在，這就是在23里的數(shù)。里的數(shù)。這兩個(gè)問題都是很容易?，F(xiàn)在讓我們把這兩這兩個(gè)問題都是很容易。現(xiàn)在讓我們把這兩個(gè)問題合成一個(gè)問題：個(gè)問題合成一個(gè)問題：“什么數(shù)被什么數(shù)被2除余除余1，被被3除余除余2？” 這里你就必須在這里你就必須在23里找所有的奇數(shù)，即里找所有的奇數(shù)，即7，1，5，11，等等。（如果你學(xué)過初等等等。（如果你學(xué)過初等集合論，你就是要找交集集合論，你就是要找交集1223的所有元的所有元素。）素。） 而這些所有的數(shù)可以寫成形如而這些所有的數(shù)可以寫成形如6k1。（k=0，1，2，） 因?yàn)橐驗(yàn)?k11（mod 2）,6k12（mod 3）以上的問題寫成數(shù)學(xué)式子就是：以上的問題寫

24、成數(shù)學(xué)式子就是：“尋找尋找x，使得，使得x1（mod 2），），x2（mod 3）。）?！倍鸢甘牵核行稳缍鸢甘牵核行稳?k1的數(shù)。的數(shù)。中國古算書的一個(gè)問題中國古算書的一個(gè)問題 在成書差不多在成書差不多4世紀(jì)時(shí)的一本中國最古老的世紀(jì)時(shí)的一本中國最古老的數(shù)學(xué)書之一數(shù)學(xué)書之一孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)里的下卷第里的下卷第26題，是一個(gè)聞名世界的數(shù)學(xué)問題。這問題有題，是一個(gè)聞名世界的數(shù)學(xué)問題。這問題有人稱它為人稱它為“孫子問題孫子問題”現(xiàn)在我們看這問題：現(xiàn)在我們看這問題：“今有物不知其數(shù)，三今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？問物

25、幾何？”這問題翻譯成現(xiàn)在的白話是：這問題翻譯成現(xiàn)在的白話是：“現(xiàn)在有一些現(xiàn)在有一些東西不知道它們的個(gè)數(shù)，三個(gè)三個(gè)一組剩下東西不知道它們的個(gè)數(shù)，三個(gè)三個(gè)一組剩下2個(gè)，五個(gè)五個(gè)一組剩下個(gè)，五個(gè)五個(gè)一組剩下3個(gè)，七個(gè)七個(gè)一組個(gè)，七個(gè)七個(gè)一組剩下剩下2個(gè)，問這些東西有多少？個(gè)，問這些東西有多少？” 我們把這個(gè)問題再翻譯成數(shù)學(xué)問題，就變成：我們把這個(gè)問題再翻譯成數(shù)學(xué)問題，就變成：“尋找尋找x，使得，使得x2（mod 3），），x3（mod 5），），x2（mod 7）。）?！?你只要懂得你只要懂得23，35，27就在里面找那些就在里面找那些數(shù)同時(shí)在這三個(gè)集合里就行了。因此由數(shù)同時(shí)在這三個(gè)集合里就行了。因

26、此由23=，1，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，35=，2，3，8，13，18，23，28，33，38，43，47，27=，5，2，9，16，23，30，37，44，51，58，63，我們很容易看到最小的正整數(shù)答案是我們很容易看到最小的正整數(shù)答案是23。 這和這和孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)的答案：的答案：“答曰：二十答曰：二十三三”是符合的。是符合的。 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)還給出解這題的方法：還給出解這題的方法： “術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以

27、二百十一減三十；并之，得二百三十三，以二百十一減之即得。之即得。”而書中接下來就給這一類問題的一般解法：而書中接下來就給這一類問題的一般解法： “凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則置十剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則置十五；一百六以上，以一百五減之即得。五；一百六以上，以一百五減之即得?！?這些解法的敘述，相信許多讀者第一次這些解法的敘述，相信許多讀者第一次看會(huì)覺得莫名其妙，究竟這是在說什么東西？看會(huì)覺得莫名其妙，究竟這是在說什么東西？我們現(xiàn)在研究一下。我們現(xiàn)在研究一下。孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)的解法的解法現(xiàn)在假定現(xiàn)在假定“孫子問題

28、孫子問題”一般的情形：求一般的情形：求x使得使得xr1（mod 3） 0r13xr2（mod 5） 0r25 （I）xr3（mod 7） 0r37由于模由于模3，5，7是兩兩互素，所以它們的最小是兩兩互素，所以它們的最小公倍數(shù)公倍數(shù)=357335=521 =715105 因?yàn)橐驗(yàn)?3521（mod 3）2111（mod 5）1511（mod 7）因此由同余的可乘性我們得因此由同余的可乘性我們得于是我們有于是我們有70r121r215r370r1r1（mod 3）70r1+21r215r321r2r2（mod 5）70r1+21r215r315r3r3（mod 7）因此同余式組（因此同余式組（I

29、）的解是滿足下面同余式組）的解是滿足下面同余式組的整數(shù)值的整數(shù)值x：x70r121r215r3（mod 3）x70r121r215r3（mod 5） （）x70r121r215r3（mod 7）由于由于x(70r121r215r3)是是3，5，7的倍數(shù)，的倍數(shù)，它也會(huì)是它也會(huì)是(3，5，7)的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)105的倍數(shù)。的倍數(shù)。故（故（）的解同樣是和）的解同樣是和x70r121r215r3（mod 105）一樣。）一樣?，F(xiàn)在回過頭看現(xiàn)在回過頭看“孫子問題孫子問題”，r1=2，r2=3，r3=2。由算經(jīng)的前半段解法是這樣：。由算經(jīng)的前半段解法是這樣：x=702213152210523在古

30、代中國人民有猜歲數(shù)，在古代中國人民有猜歲數(shù)，“隔壁算隔壁算”、“剪管術(shù)剪管術(shù)”、“秦王暗點(diǎn)兵秦王暗點(diǎn)兵”等數(shù)學(xué)游戲，等數(shù)學(xué)游戲，就是屬于就是屬于“孫子問題孫子問題”的范疇和解法。的范疇和解法。 明朝程大位在明朝程大位在1583年寫的一部后來流傳很年寫的一部后來流傳很廣的應(yīng)用數(shù)學(xué)書廣的應(yīng)用數(shù)學(xué)書直指算法統(tǒng)宗直指算法統(tǒng)宗就有一首就有一首孫子歌：孫子歌：“三人同行七十稀，五樹梅花甘一三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝；七子團(tuán)員正半月，除百零五便得知。枝；七子團(tuán)員正半月，除百零五便得知。”就在詩歌中點(diǎn)明解孫子問題所用到的一些數(shù)就在詩歌中點(diǎn)明解孫子問題所用到的一些數(shù)字。字。中國剩余定理中國剩余定理以上的孫子

31、問題解法可以推廣為：以上的孫子問題解法可以推廣為：如果有同余式組：如果有同余式組：xr1（mod n1）xr2（mod n2）xr3（mod n3）這里這里0r1n1，0r2n2，0r3u3，而且，而且n1，n2，n3是兩兩互素，是兩兩互素，即即GCD（n1，n2）GCD（n1, n3）=GCD（n2，n3）=1。如果能找到整數(shù)如果能找到整數(shù)，滿足下面三式：滿足下面三式：n2n31（mod n1）n1n31（mod n2）n2n11（mod n3）那么那么xn2n3r1+n1n3r2+rn2n1r3(modn1n2n3)是是原同余式組的解。原同余式組的解。 遲于中國人，古代的印度數(shù)學(xué)家也考慮類

32、遲于中國人，古代的印度數(shù)學(xué)家也考慮類似似“孫子問題孫子問題”，歐洲在，歐洲在1202年出的意大利年出的意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的數(shù)學(xué)家斐波那契的算法之書算法之書才有兩個(gè)一才有兩個(gè)一次同余問題。而上面的推廣，歐洲人要到次同余問題。而上面的推廣，歐洲人要到18世紀(jì)才被歐拉重新發(fā)現(xiàn)。因此歐洲數(shù)學(xué)家后世紀(jì)才被歐拉重新發(fā)現(xiàn)。因此歐洲數(shù)學(xué)家后來把這定理稱為來把這定理稱為中國剩余定理中國剩余定理，而不是，而不是“歐拉定理歐拉定理”以紀(jì)念中國數(shù)學(xué)家在這方面的以紀(jì)念中國數(shù)學(xué)家在這方面的成就。成就。例例1 找一個(gè)最小的正整數(shù)被找一個(gè)最小的正整數(shù)被3除余除余2，被，被4除余除余3。解解我們現(xiàn)在要解同余式組：我們現(xiàn)在要解

33、同余式組： x2（mod 3），）， x3（mod 4） 先找那些先找那些4的倍數(shù)被的倍數(shù)被3除余除余1。從。從8，12，16，20，我們看到最小的是我們看到最小的是16。 再找再找3的倍數(shù)被的倍數(shù)被4除余除余1。從。從9，12，15，我們試到最小的是我們試到最小的是9。 即即441（mod 3），），331（mod 4）所以由中國剩余定理我們知道所以由中國剩余定理我們知道x162+93=59（mod 12）因此最小的整數(shù)是因此最小的整數(shù)是59412=11例例2 讓我們回到這篇文章前那個(gè)算命先生的玩讓我們回到這篇文章前那個(gè)算命先生的玩意兒。算命先生要解意兒。算命先生要解x1（mod 2），），x1（mod 3），），x3（mod 5）。）。明顯的明顯的3511（mod 2）2511（mod 3）2311（mod 5）所以由中國剩余定理可得所以由中國剩余定理可得 x15+10+63=43（mod 30），）， 或或x13（mod 30），）， 所以一般歲數(shù)公式是所以一般歲數(shù)公式是x=30k+13如果如果k=1，則，則x=30+13=43，這不會(huì)是老頭子的年齡。因此取這不會(huì)是老頭子的年齡。因此取k=2，則，則x=60+13=73，就是老頭子的歲數(shù)。，就是老頭子的歲數(shù)。