步步高高考數學二輪復習 專題五 直線與圓錐曲線

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1、第3講　直線與圓錐曲線 (推薦時間：60分鐘) 一、填空題 1．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B，且AB垂直于x軸，若AB＝2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為________． 2．若直線y＝x＋t與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，當t變化時，AB的最大值是________． 3．(2011·天津改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為________． 4．過雙曲線－＝1右焦點的直線交雙曲線所得的弦長為2a，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率為_

2、_____． 5．(2011·山東改編)設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心，FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________． 6．設O為坐標原點，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F1PF2＝60°，OP＝a，則該雙曲線的漸近線方程為____________． 7．過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若0

3、，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． 9．橢圓C：＋＝1及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)的位置關系是________． 10．拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AB⊥l，垂足為B，則四邊形ABEF的面積為________． 11．如圖，過拋物線y＝x2的焦點的直線交拋物線與圓x2＋(y－1)2＝1于A、B、C、D四點，則AB·CD＝______. 12．連結雙曲線－＝1和－＝1(其中a>b>0)的四

4、個頂點的四邊形面積為S1，連結四個焦點的四邊形的面積為S2，則當的值為最大時，雙曲線－＝1的離心率為________． 二、解答題 13．已知實數m>1，定點A(－m,0)，B(m，0)，S為一動點，點S與A，B兩點連線斜率之積為－. (1)求動點S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線； (2)當m＝時，問t取何值時，直線l：2x－y＋t＝0(t>0)與曲線C有且只有一個交點？ 14.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y＝x2的焦點，離心率等于. (1)求橢圓C的標準方程； (2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若＝λ1，

5、＝λ2，求證λ1＋λ2為定值． 15．已知橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和為6. (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l：y＝kx－2與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且PA＝PB，求直線l的方程． 答 案 1.　2.　3.24. 5．(2，＋∞)6.x±y＝0 7．(，)8.－＝1 9．相交10．611．112. 13．解　(1)設S(x，y)， 則kSA＝，kSB＝. 由題意得＝－， 即＋y2＝1(x≠±m(xù))． ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點)，其中長軸長為2m，短

6、軸長為2. (2)當m＝時，曲線C的方程為＋y2＝1(x≠±)． 由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0. ①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3. 此時直線l與曲線C有且只有一個公共點． ②令Δ>0且直線2x－y＋t＝0恰好過點(－，0)時，t＝2. 此時直線與曲線C有且只有一個公共點． 綜上所述，當t＝3或2時，直線l與曲線C有且只有一個公共點． 14．(1)解　設橢圓C的方程為＋＝1 (a>b>0)， 則由題意知b＝1，∴＝. 即＝.∴a2＝5. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)方法一　設A、B、M點的坐標分別為A(x1，

7、y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)． 易知F點的坐標為(2,0)． ∵＝λ1， ∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)， ∴x1＝，y1＝. 將A點坐標代入到橢圓方程中，得 2＋2＝1. 去分母整理得λ＋10λ1＋5－5y＝0. 同理，由＝λ2可得λ＋10λ2＋5－5y＝0， ∴λ1，λ2是方程x2＋10x＋5－5y＝0的兩個根，∴λ1＋λ2＝－10. 故λ1＋λ2為定值． 方法二　設A、B、M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)． 又易知F點的坐標為(2,0)． 顯然直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y＝

8、k(x－2)． 將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵＝λ1，＝λ2， 將各點坐標代入得λ1＝，λ2＝. ∴λ1＋λ2＝＋ ＝＝…＝－10. 故λ1＋λ2為定值． 15．解　(1)由已知2a＝6，＝， 解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則AB的中點為E. 由得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∵直線與橢圓有兩個不同的交點， ∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0， 解得k2>. 而y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－， ∴E點坐標為. ∵PA＝PB，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1. ∴·k＝－1.解得k＝±1，滿足k2>， ∴直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0. 內容總結