黑龍江省虎林高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第二講 放縮法證明不等式課件 新人教A版選修45

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1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法:(1)比較法、比較法、(2)綜合法、綜合法、(3)分析法分析法(4)反證法反證法 先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件,應(yīng)應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到矛盾，說(shuō)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到矛盾，說(shuō)明假設(shè)不正確，從而間接說(shuō)明原命題成立的方法。明假設(shè)不正確，從而間接說(shuō)明原命題成立的方法。不等式的證明不等式的證明虎林高級(jí)中學(xué)虎林高級(jí)中學(xué) 欒紅民欒紅民放縮法三 在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)

2、進(jìn)行放大或縮的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：小，實(shí)現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是傳遞性。的依據(jù)就是傳遞性。放縮法放縮法這種方法稱為這種方法稱為我們把我們把從而達(dá)到證明的目的從而達(dá)到證明的目的簡(jiǎn)化不等式簡(jiǎn)化不等式或縮小或縮小些部分放大些部分放大通過(guò)把不等式中的某通過(guò)把不等式中的某等式時(shí)等式時(shí)證明不證明不.,.放放縮縮法法.,213 caddbdccacbbdbaaRdcba求證求證已知已知例例.,從從而而得

3、得出出證證明明不不等等式式簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化使使可可以以通通過(guò)過(guò)適適當(dāng)當(dāng)放放縮縮分分析析此此式式的的形形式式特特點(diǎn)點(diǎn)的的目目的的不不易易達(dá)達(dá)到到證證明明算算非非常常復(fù)復(fù)雜雜直直接接通通分分相相加加則則會(huì)會(huì)使使運(yùn)運(yùn)若若把把分分析析caddbdccacbbdbaa 所以都是正數(shù)因?yàn)樽C明,dcbabaadbaadcbaa ,abbacbbdcbab ,dccbdccdcbac ,cddcadddcbad ,dcdcbabacaddbdccacbbdbaadcbadcba 得把以上四個(gè)不等式相加.21 caddbdccacbbdbaa即.,.,顯然太大了顯然太大了那么和放大為那么和放大為項(xiàng)分母依次縮為項(xiàng)分母依次

4、縮為如果把和式的如果把和式的述過(guò)程中述過(guò)程中例如上例如上關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式44dcbacbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc練習(xí)、已知：練習(xí)、已知：a、b、c，求證：，求證：R略解略解)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如縮縮應(yīng)應(yīng)用用基基本本不不等等式式進(jìn)進(jìn)行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或縮縮小小分分一一些

5、些項(xiàng)項(xiàng)或或加加進(jìn)進(jìn)舍舍掉掉放放縮縮技技巧巧有有常常用用的的后后證證即即放放大大成成如如將將中中間間量量尋尋找找一一個(gè)個(gè)一一邊邊放放大大或或縮縮小小放放縮縮法法就就是是將將不不等等式式的的.|,bbaabababa 1114求證求證是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)已知已知例例,|,|bbaababababa 1111得到得到替代替代將不等式左邊用將不等式左邊用分析分析.,|,到證明到證明那么原不等式就可以得那么原不等式就可以得如果能證明如果能證明所以所以明的明的這個(gè)不等式是很容易證這個(gè)不等式是很容易證babababa 11 法法： bbaababa111證明：在時(shí)，顯然成立.0ba當(dāng)時(shí)，左邊 0ba111ba1|1

6、1111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法：函數(shù)的方法法：函數(shù)的方法.|,babababa 11我們證明了我們證明了在上述過(guò)程中在上述過(guò)程中 .,|,為增函數(shù)是容易證的為增函數(shù)是容易證的而而式成立式成立得到得到就可以由就可以由函數(shù)函數(shù)為增為增只要證明函數(shù)只要證明函數(shù)函數(shù)的觀點(diǎn)看函數(shù)的觀點(diǎn)看那么從那么從如果令如果令xfbabaxfxxxxf 001 .,的單調(diào)性的單調(diào)性觀察函數(shù)觀察函數(shù) 01xxxxf課堂練習(xí)課堂練習(xí)習(xí)題習(xí)題2.3 2.,.,擇擇合合適適的的方方法法選選作作具

7、具體體分分析析應(yīng)應(yīng)該該對(duì)對(duì)具具體體問(wèn)問(wèn)題題的的特特點(diǎn)點(diǎn)法法的的統(tǒng)統(tǒng)一一方方題題沒(méi)沒(méi)有有一一種種適適用用于于所所有有問(wèn)問(wèn)一一樣樣證證明明問(wèn)問(wèn)題題學(xué)學(xué)上上所所有有其其他他明明與與數(shù)數(shù)證證不不等等式式應(yīng)應(yīng)該該注注意意納納法法等等四四講講中中要要介介紹紹的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸如如在在第第還還有有其其他他一一些些方方法法除除以以上上方方法法外外常常用用方方法法種種的的幾幾上上面面介介紹紹了了證證明明不不等等式式小結(jié) 在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須

8、尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是定理的依據(jù)就是定理2（傳遞性性質(zhì)）（傳遞性性質(zhì)）)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如縮縮應(yīng)應(yīng)用用基基本本不不等等式式進(jìn)進(jìn)行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或縮縮小小分分一一些些項(xiàng)項(xiàng)或或加加進(jìn)進(jìn)舍舍掉掉放放縮縮技技巧巧有有常常用用的的后后證證即即放放大大成成如如將將中中間間量量尋尋找找一一個(gè)個(gè)一一邊邊放放大大或或縮縮小小放放縮縮法法就就是是將將不不等等式式的的作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題2.3 3,5思考：思考： 1、當(dāng)、當(dāng) n 2 時(shí)，求證：時(shí)，求證：1)1(log)1(log nnnn 證：證：n 2 0)1(log, 0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2時(shí)時(shí), 1)1(log)1(log nnnn*32.2()n n n 例 求證：111（ n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn