《橢圓的標準方程》教學設計-于永剛

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1、《橢圓的標準方程》教學設計 學 校 廣州市番禺區(qū)工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學校 （番禺農(nóng)校） 執(zhí) 教 于永剛 授課班級 中職二年級 授課類型 新 授 課 課 時 2節(jié)（90分鐘） 一、教材及教學內(nèi)容分析： 1．使用教材：人民教育出版社編寫的中等職業(yè)教育數(shù)學教材《數(shù)學》（提高版）第二冊。 2．教材處理：本章第四部分中的橢圓，共需四節(jié)課講授，本次課講授第一、二課時內(nèi)容。 第一、二課時： 橢圓的定義； 橢圓的標準方程； 第三、四課時： 橢圓的形狀； 橢圓的幾何性質(zhì)。 3．教學內(nèi)容：第九章第11大節(jié)第1小節(jié)的橢圓的定義及橢圓

2、的的標準方程。 4．內(nèi)容分析：本課時是概念性教學，對于前一節(jié)的圓，學生是非常熟悉的，而從橢圓開始，到雙曲線、拋物線，對學生來說，都不是很熟悉的；又因為對雙曲線、拋物線的學習過程，都可以仿照學習橢圓的過程進行，對橢圓概念的掌握好壞，不光會影響對它本身的性質(zhì)的掌握，而且直接影響對雙曲線、拋物線的學習效果。其次,橢圓方程的標準形式與后繼課程中的雙曲線方程有容易混淆的地方，對它的特點不清，也會影響對雙曲線的掌握。所以說本節(jié)課在《平面解析幾何》這一章中，占據(jù)極其重要的地位。 二、教學對象分析： 1、知識技能：學生已經(jīng)學過圓的定義和標準方程，對“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn))，在“

3、圓的方程”一節(jié)中有過一次感性認識。但由于學生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來看，學生并未真正有所感受，缺少理性的思考； 2、學習能力和態(tài)度：學生對學習數(shù)學有一定的熱情，能在老師的引導下展開學習活動；但對學習缺乏主動性，在學習過程中對自己的學習進行調(diào)節(jié)、監(jiān)控的能力較弱；學生“聽”的能力較差，抽象思維水平較低，但習慣于直觀性較強的學習方式。 三、教學目標： 知識目標：理解橢圓的定義及有關(guān)概念；掌握橢圓的標準方程的概念，明確橢圓的標準方程的形式，能區(qū)分橢圓的焦點在X軸與Y軸上的不同；能根據(jù)橢圓標準方程求焦距和焦點,初步掌握求橢圓標準方程的方法。 能力目標：培養(yǎng)學生觀察、比

4、較、分析、概括的能力,在進一步培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合和化歸的數(shù)學思想方法的過程中，提高學生的學習能力。 情感目標：讓學生在民主、和諧的共同活動中感受學習的樂趣；培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的精神,數(shù)學審美的能力，以及數(shù)與形對立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想。 四、教學重點與難點： 重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程。 難點：橢圓定義中焦距與長軸的大小關(guān)系，以及橢圓焦點分別在X軸和Y軸上時的方程形式的區(qū)別與聯(lián)系；橢圓標準方程的推導。 五、教學方法及學法指導： 教學方法：探究、討論的教學方法、情境教學法、歸納法、范例教學法。 學習方法：類比法、數(shù)形結(jié)合法、化歸方法、小組討論的方法。 六、教學用具： 多媒

5、體課件、黑板、實物投影儀 七、師生互動（教學程序中斜體字部分為板書內(nèi)容） 過程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 復 習 導 入 復習提問： 1、 圓的定義； 2、圓的標準方程。 點評學生作答的情況。 學生集體回顧舊的知識，并舉手回答。 ① 復習舊知識，為后面分析橢圓的定義和標準方程做下鋪墊； ② 以舊知來調(diào)動學生的學習積極性，激發(fā)他們的學習興趣。 新課導入： 1、 通過課件演示地球、金星的運動軌跡； （提問學生，它們的運動軌跡是什么圖形，舉出生活中橢圓的實例）； 2、給出橢圓畫法的圖片（如

6、下圖），并通過課件演示橢圓的形成過程，思考橢圓的形成過程。 ⑴利用幻燈片創(chuàng)設情景，在黑板上板書本節(jié)課題：9.11.1橢圓的標準方程： ⑵提出問題，啟發(fā)引導學生積極思考； ⑶更正學生的錯誤答案（雞蛋一頭大，一頭小，不符合橢圓的情況）。 ⒈觀察計算機的演示，仔細思考老師提出的問題； ⒉學生進行發(fā)散性思維； ⒊ 思考后回答問題（可能的答案有雞蛋、壓扁的圓、汽車上油罐的橫截面 ……）。 ①利用課件生動形象的演示提高學生學習興趣、激活學生思維、加深概念理解。 ②使學生的注意、記憶、思維凝聚在一起，加強學生對橢圓形象的認識，提高參與程度，為后續(xù)學習做好準備。 過

7、程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 新 課 講 授 橢圓的定義： 1、 歸納，形成概念： 對比圓的定義回答下列問題，在橢圓形成的過程中，哪些量是固定不變的？哪些量是變化的？你能否發(fā)現(xiàn)動點運動的某些規(guī)律？ 讓學生尋找在已知兩個定點條件下的有規(guī)律的動點運動，從而得出橢圓的定義。 2、鞏固概念：為什么常數(shù)要大于|F1F2|？不大于會如何？ ⑴創(chuàng)設一些學生感興趣的問題情境； ⑵對學生作答情況進行點評； ⑶總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和是常數(shù)（大于| F1F2|）的點的軌跡。 4 板書：

8、 一、 定義： │PF1│+│PF2│=常數(shù)（大于│F1F2│）＝2a 焦點F1、F2 焦距│F1F2│＝2c ⒈認真觀察計算機的演示； ⒉進行討論分析，根據(jù)討論的結(jié)果，回答老師提出的問題； ⒊歸納總結(jié)橢圓的定義； ⒋對橢圓的定義進行深層次的思考。 ①引導學生把圓的定義與橢圓的定義進行類比； ②注重概念形成過程，通過一個個的問題，使學生的整個學習過程成為“猜想”，讓學生從感性認識自然過渡到理性認識，培養(yǎng)學生的觀察、歸納、概括能力。 ③在給出定義后，通過設問讓學生加深對橢圓定義中的關(guān)鍵詞匯的理解，進一步強化橢圓定義，真正使學生理解定義的內(nèi)涵和外

9、延。 橢圓的標準方程： 1、 推導過程： x y 取過F1、F2的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立平面直角坐標系。 ⑴建立直角坐標系，強調(diào)其美觀性； ⒈認真聽講，積極思考，仔細觀察； ①教學生學會建立適當?shù)淖鴺讼?，?gòu)造數(shù)與形的橋梁，學會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。 過程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 新 課 講 授 設橢圓的焦距│F1F2│為2c（c>0）、常數(shù)為2（a>c），則F1（-c,0）、F2（c,0）。我們以c=4，a=5為例來求橢圓的方程。

10、點P（x，y）是橢圓上任意一點， 根據(jù)橢圓的定義可得： │PF1│+│PF2│=10 問：你能否使方程更美一些？ 化簡得 注意：9=52－42設b=3則（a>c>0）， 根據(jù)結(jié)果得出橢圓在一般情況下的標準方程方程： (a>b>0) 。 問：等式與我們學過的什么公式相似？它們的區(qū)別是什么？ x y 若以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸， 則橢圓的焦點在y軸上，那么橢圓的標準方程為： ⑵利用幻燈片演示橢圓標準方程的推導過程； ⑶創(chuàng)設一些學生感興趣的問題情境，采用啟發(fā)式提問學生； ⑷引導學生注意觀察，對比歸納橢圓的標準方

11、程中a、b、c之間的關(guān)系。 ⑸通過類比的方法，推導焦點在y軸的橢圓的標準方程； ⑹以激勵的語言鼓勵學生積極回答問題，并對學生的回答進行歸納； ⒉一邊認真聽講，一邊思考，或個別討論；集體回答或個別回答問題； ⒊通過思考、分析，回答問題，把橢圓標準方程中的a、b、c的關(guān)系與勾股定理進行類比，注意區(qū)別在橢圓的標準方程中是a 大。 ⒋通過觀察，發(fā)現(xiàn)的新知識點； ②利用“范例教學法” 主張由例到理，即由個別典型事例的特點推斷出同類事物的普遍特征，以c=4，a=5為例來求橢圓的方程，根據(jù)結(jié)果得出橢圓在一般情況下的標準方程，在教學內(nèi)容上突出基本

12、性、基礎性和范例性； ③在化簡方程時，讓學生體會數(shù)學美中簡潔性和對稱性，來突破難點，體現(xiàn)對稱的思想； ④按學生思維的方式，由易到難組織教學，逐層剖析，利于學生全面掌握。 過程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 新 課 講 授 2、小結(jié)兩種類型的橢圓方程： 比較橢圓的焦點分別在X軸上與Y軸上的兩個圖象，通過學生討論，類比它們方程的標準形式的區(qū)別與特點，對比總結(jié)。 問：如何根據(jù)標準方程，判斷焦點位置？（看大?。?。 焦點在X軸： F1（-c,0）、F2（c,0） 焦點在Y軸

13、： F1（0,-c）、F2（0,c） 【關(guān)系】 根據(jù)標準方程判斷焦點位置的方法：看大小。 ⑴巡堂指導學生思考、分析； ⑵引導學生進行討論，分析兩種類型的橢圓方程的異同點； ⑶根據(jù)學生回答的情況，將結(jié)論進行板書；并給出根據(jù)標準方程判斷焦點位置的方法； ⒈按照教師所提出的要求進行思考； ⒉借助圖形的直觀性，利用類比的方法進行討論，分析焦點在X軸上與Y軸上兩種方程的標準形式的區(qū)別與特點，得出結(jié)論； ⒊學生回答討論結(jié)果，其他學生認真傾聽、積極思考； ①通過對比總結(jié)，強化不同類型的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解。 ②通過討論，學生自主學習，構(gòu)建新

14、的知識體系，不但能學習到真正屬于自己的、可靈活運用的知識，而且在此過程中掌握求知的方法； ③通過討論，利用類比的方法來深化學生對橢圓標準方程的理解。 講授例題： 【例1】平面內(nèi)在x軸上的兩個定點的距離是8，求到這兩個定點的距離的和 是10的點的軌跡方程。 [變式]將例1中條件“在x軸上”去掉，結(jié)論又是如何？（提問） (分析后顯示過程) 【例2】求橢圓的焦點與焦距。 (分析后顯示過程) 對全班同學,以四人為一組分成小組,圍繞橢圓定義和橢圓的標準方程，商量后出一道練習題。 ⑴引導學生分析題目，并對完成情況給予點評； ⑵注意討論的進程，根據(jù)情況作出及時的指導或提出新的要求；

15、 ⑶對學生的出題結(jié)果，做好引導和評判，以防離題太遠。 ⒈例1由學生自主分析，獨立完成； ⒉一邊認真聽講，一邊思考，同學之間相互討論、辨析； ⒊讀題、分析題意，回答解題過程； ①通過變式訓練來強化概念，開拓學生的思維，訓練學生思維的嚴謹性； ②讓學生扮演教師的角色，體驗命題心理，培養(yǎng)主動梳理、運用知識的意識和數(shù)學語言表達能力； ③通過例2這道自編題考察學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，引出學生于此處錯誤的應用“勾三股四弦五”。 過程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 形 成 性 練 習 1

16、．填表： 方程 焦點位置 焦點坐標 到兩焦點的距離和 2.課后A組題的1、⑵、⑶、2、⑵、⑷做為第二部分練習。 ⑴幻燈片列示填表內(nèi)容； ⑵布置書上內(nèi)容，來鞏固新知識； ⑶課堂巡視了解，檢查學生形成性練習完成的情況，將完成結(jié)果在實物投影儀上演示； ⑷對普遍存在的問題進行重點講解。 ⒈通過觀察嘗試，完成表格的內(nèi)容； ⒉對存有疑問的地方前后討論，發(fā)現(xiàn)問題； ⒊進行對比，模仿完成書上練習。 ①以表格的形式更利于兩種類型的橢圓方程的比較，強化概念；掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據(jù)標準方程判斷焦

17、點位置的方法。 ②同步練習，檢測學生的掌握情況，及時反饋，強化知識點的學習，為下節(jié)課內(nèi)容的學習打好基礎； ③加深對所學知識的理解和運用，使學生掌握基礎知識，利于學生思維能力的培養(yǎng)。 歸 納 小 結(jié) 1．兩種類型的橢圓方程的比較（注意板書內(nèi)容） 2．總結(jié)判斷焦點位置的方法。（看大?。? （m>0,n>0） ⑴啟發(fā)引導學生進行歸納整理； ⑵利用幻燈片展示歸納結(jié)果； ⑶對學生主動學習的態(tài)度及方式給予肯定； ⑷強調(diào)學生學習數(shù)學過程中，需踏實、認真的學習態(tài)度。 ⒈歸納整理后回答教師的提問。 ⒉用所體會到的知識與教師引導講解的內(nèi)容結(jié)合起來，形成自己的認識。

18、 ①使學生理清這節(jié)課的重難點，深化對基本概念，基本理論的理解，幫助學生從感性認識升華到理性認識,同時培養(yǎng)學生宏觀掌握知識的能力； ②讓學生把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì),使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。 過程 教 學 內(nèi) 容 教 師 活 動 學 生 活 動 教 學 意 圖 布置作業(yè) 教材48頁： A組題的1、⑴、2、⑴、⑶ B組題 A組題：復習書P48的例題，在此基礎上完成； B組題：供有學有余力的同學自行完成。 ⑴說明作業(yè)的要求： ⑵可按自己的學習能力選做A組題或全部完成。

19、 一邊聽說明，一邊作記錄。 ①體現(xiàn)分層教學的思想，使各層次的學生都找到各自的學習區(qū)，進一步完善教學目標的實現(xiàn)。 ②A組題：了解學生對本節(jié)內(nèi)容的基本掌握情況； B組題：使學有余力的學生對本節(jié)內(nèi)容的再提高。 八、板書設計： 電腦投影屏幕 §9.11.1橢圓的標準方程： 一、定義： │PF1│+│PF2│=常數(shù)（大于│F1F2│）＝2a 焦點F1、F2 焦距│F1F2│＝2c 二、標準方程： 焦點在X軸： 焦點在Y軸： 【關(guān)系】 九、教學后記： 通過本節(jié)課的學習，80%的學生能夠掌握橢圓的定義和橢圓的標準的形式

20、，能區(qū)分橢圓的焦點在X軸與Y軸上的不同；能根據(jù)橢圓標準方程求焦距和焦點。60%的學生能夠掌握橢圓定義中焦距與長軸的大小關(guān)系，以及橢圓焦點分別在X軸和Y軸上時的方程形式的聯(lián)系，這需要在今后的教學中不斷加強相關(guān)內(nèi)容的學習。 1.通過直觀的課件演示，大部分學生能對新知識有一個較好的認識。 2.采取講練結(jié)合的方式，讓學生在做中學，我感覺學生的學習興趣比較濃厚，教學效率有所提高。 ⒊形成性練習的分層次，給予了學生自由選擇的空間，學習能力較強的學生可以較快的寫成A組和B組的練習。 ⒋部分學生僅能完成A組題的練習，而且完成效果不夠理想，仍需加強鞏固。 盡管在整體的學習上，學生仍習慣被動的接

21、受式學習，但通過這一節(jié)課讓學生顯露出的潛力，仍然讓我對教學充滿了期待。也使我更了解我的學生，更清楚應該如何上好一節(jié)課——就是讓學生在做中學。 八、教學流程圖： 結(jié) 束 小結(jié)、布置作業(yè) 形成性練習 學生分析 教師引導、提示 課件演示： 講解例2 自主完成、變式練習 討論出題 課件演示： 講解例1 小結(jié)兩種類型的橢圓方程 課件演示： 方程的推導 課件演示： 坐標系的建立 橢 圓 的標準方程 學生討論、回答 教師總結(jié)、板書 課件演示： 問題啟發(fā) 課件演示： 問題導入 橢 圓 定 義 學生思考、觀察 并回答問題 教師創(chuàng)設問題情境 復 習 開 始