湖南省師大附中高考數(shù)學 直線的交點坐標與距離公式復習課件 理

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1、 (能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標/掌握兩點間的距離公式掌握兩點間的距離公式/點到直線的距離公點到直線的距離公式式/會求兩條平行直線間的距離會求兩條平行直線間的距離)8.3 8.3 直線的交點坐標與距離公式直線的交點坐標與距離公式1兩條直線是否相交的判斷兩條直線是否相交的判斷兩直線是否有公共點，要看它們的方程是否有公共解因此只要將兩條直線兩直線是否有公共點，要看它們的方程是否有公共解因此只要將兩條直線L1和和L2的方程聯(lián)立的方程聯(lián)立 (1)若方程組無解，則若方程組無解，則L1/L2；(2)若方程組有且只有一個解，則若方程組有且只有一個解，則L1與與L2

2、相交；相交；(3)若方程組有無數(shù)解，則若方程組有無數(shù)解，則L1與與L2重合重合2點到直線距離公式點到直線距離公式點點P(x0，y0)到直線到直線l：AxByC0的距離為：的距離為：3兩平行線間的距離公式兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線已知兩條平行線直線l1和和l2的一般式方程為的一般式方程為l1：AxByC10，l2：AxByC20，則，則l1與與l2的距離為的距離為1過點過點A(4，a)和點和點B(5，b)的直線與直線的直線與直線yxm平行，則平行，則|AB|的值為的值為()A6 B. C2 D不能確定不能確定答案：答案：B2已知點已知點(a,2) (a0)到直線到直線l：xy30的距

3、離為的距離為1，則，則a等于等于()A. B2 C. 1 D. 1答案：答案：C3直線直線l1經(jīng)過點經(jīng)過點A(3,0)，直線，直線l2經(jīng)過點經(jīng)過點B(0,4)，且，且l1l2，用，用d表示表示l1，l2間的距離，則間的距離，則()Ad5 B3d5 C0d5 D0d5答案：答案：D4直線直線l過點過點(2,1)，且原點到，且原點到l的距離是的距離是1，那么，那么l的方程是的方程是()Ax1或或3x4y50 By1或或3x4y50Cy1或或4x3y50 Dx1或或4x3y50答案：答案：C 直線直線l1：A1xB1yC10與直線與直線l2：A2xB2yC20的交點：的交點： 1可通過解方程組可通過

4、解方程組 求得，若方程組有唯一解，則求得，若方程組有唯一解，則l1與與l2相相 交；若方程組無解，則直線交；若方程組無解，則直線l1l2；若方程組有無數(shù)組解，則；若方程組有無數(shù)組解，則l1與與l2重合重合 2方程方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示過表示過l1與與l2交點的直線，交點的直線， 但不能表示直線但不能表示直線l2：A2xB2yC20.如如yy0k k(xx0)不表示直線不表示直線xx00.【例例1】直線直線l被兩條直線被兩條直線l1：4xy30和和l2：3x5y50截得的線段的截得的線段的中點為中點為P(1,2)，求直線，求直線l的方程的方程解答：解答：解法一：解法一

5、：設設直線直線l與與l1的交點為的交點為A(x0，y0)，由已知條件，則直線，由已知條件，則直線l與與l2的交點為的交點為B(2x0,4y0)，并且滿足，并且滿足即即 解得解得因此直線因此直線l的方程為的方程為 ，即，即3xy10. 解法二：設直線解法二：設直線l的方程為的方程為y2k k(x1)，即，即k kxyk k20. 由由 得得x 由由 得得x 則則 2，解得，解得k k3. 因此所求直線方程為因此所求直線方程為y23(x1)，即，即3xy10. 解法三：兩直線解法三：兩直線l1和和l2的方程為的方程為(4xy3)(3x5y5)0， 將上述方程中將上述方程中(x，y)換成換成(2x,

6、4y)整理可得整理可得l1與與l2關于關于(1,2) 對稱圖形的方程：對稱圖形的方程：(4xy1)(3x5y31)0. 整理得整理得3xy10.變式變式1. 如圖如圖，設一直線過點，設一直線過點(1,1)，它被兩平行直線，它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點在直線所截的線段的中點在直線l3：xy10上，求其方程上，求其方程解答：解答：與與l1、l2平平行行且距離相等的直線方程為且距離相等的直線方程為x2y20.設所求直線方程為設所求直線方程為(x2y2)(xy1)0，即即(1)x(2)y20.又直線過又直線過A(1,1)，(1)(1)(2)120.解得解得 所求直線

7、方程為所求直線方程為2x7y50. 1. 點點P(x0，y0)到直線到直線l：AxByC0的距離的距離d 在使用點到直線距離公式時，要注意將直線方程化為一般式，在使用點到直線距離公式時，要注意將直線方程化為一般式， 利用點到直線的距離公式可求三角形的高線的長度等利用點到直線的距離公式可求三角形的高線的長度等 2使用兩平行線使用兩平行線間的距離公式時，直線方程要化為一般式，同時要間的距離公式時，直線方程要化為一般式，同時要使使x、y 前面的系數(shù)相等前面的系數(shù)相等 求過點求過點P(1,2)且與點且與點A(2,3)和和B(4,5)的距離相等的直線的距離相等的直線l的方程的方程 解答：解答：解法一：解

8、法一：設設直線直線l的方程為的方程為y2k k(x1)， 即即k kxyk k20.由題意知由題意知 即即|3k k1|3k k3|，k k .直線直線l的方程為的方程為y2 (x1)， 即即x3y50. 當直線當直線l的斜率不存在時，直線方程為的斜率不存在時，直線方程為x1，也適合題意，也適合題意【例例2】 解法二：當解法二：當ABl時，有時，有k kk kAB ，直線，直線l的方程為的方程為y2 (x1)， 即即x3y50.當當l過過AB中點時，線段中點時，線段AB中點為中點為(1,4) 直線直線AB方程為方程為x1，故所求直線，故所求直線l的方程為的方程為x3y50，或，或x1.變式變式

9、2. 如圖所示如圖所示，正方形的中心點為，正方形的中心點為C(1，0)，一條邊所在的直線方程，一條邊所在的直線方程是是x3y50，求其他三邊所在直線的方程，求其他三邊所在直線的方程解答：解答：設設與與x3y50平行的平行的直線為直線為x3yC10，由題意由題意 C15或或C17.所求直線的方程為所求直線的方程為x3y70.設與設與x3y50垂直的直線為垂直的直線為3xyC20，由題意，由題意 C29或或C23.所求直線的方程為所求直線的方程為3xy90或或3xy30.如直線如直線l：(13)x(12)y(25)0，無論，無論取任何實數(shù)直線取任何實數(shù)直線l恒過一定恒過一定點，定點坐標的求法大致有

10、兩種：點，定點坐標的求法大致有兩種：(1)將直線方程轉化為將直線方程轉化為(xy2)(3x2y5)0，通過解方程組，通過解方程組 (2)也可令也可令0，1通過特殊情況求出定點的坐標，然后證明定點坐標滿足通過特殊情況求出定點的坐標，然后證明定點坐標滿足方程方程(13)x(12)y(25)0.【例例3】 設直線設直線l的方程為的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若若l在兩坐標軸的截距相等，求在兩坐標軸的截距相等，求l的方程；的方程；(2)若若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍解答：解答：(1)若若a2，直線方程為，直線方程為3xy0；顯然顯然a1，當，當a2時

11、直線方程可化為：時直線方程可化為：因此所求直線方程為因此所求直線方程為3xy0或或xy20. (2)由由(a1)xy2a0得得a(x1)(xy2)0. 無論無論a取何值，直線取何值，直線l過過A(1，3)點，點， 則直線則直線l的斜率的斜率k0，即，即(a1)0.解得解得a1.變式變式3.點點P(2，1)到直線到直線l：(13)x(12)y25的距離為的距離為d，則則d的取值范圍是的取值范圍是()解析：解析：本題考查數(shù)形結合思想，以及分析、轉化能力本題要直接解很本題考查數(shù)形結合思想，以及分析、轉化能力本題要直接解很困難，注意到本題的形式結構，符合直線系的形式，故可從幾何意義的角度困難，注意到本

12、題的形式結構，符合直線系的形式，故可從幾何意義的角度考慮問題考慮問題 將直線將直線l的方程變?yōu)椋旱姆匠套優(yōu)椋簒y2(3x2y5)0，它表示過直線，它表示過直線l1：xy20，l2：3x2y50的交點且不包含第二條直線的所有直線顯然當直的交點且不包含第二條直線的所有直線顯然當直線過點線過點P時距離最小為時距離最小為0，當直線過交點，當直線過交點B(1,1)且與且與PB垂直時距離垂直時距離d最大為最大為 ，但此時直線與已知直線但此時直線與已知直線l2重合，所以重合，所以0d .答案：答案：A【方法規(guī)律方法規(guī)律】1求兩直線交點坐標就是解方程組即把幾何問題轉化為代數(shù)問題求兩直線交點坐標就是解方程組即把

13、幾何問題轉化為代數(shù)問題2要理解要理解“點點距點點距”、“點線距點線距”、“線線距線線距”之間的聯(lián)系及各公式的特點之間的聯(lián)系及各公式的特點特別提示：求兩平行線間的距離時，一定化成特別提示：求兩平行線間的距離時，一定化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式的形式3注意歸納題目類型體會題目所蘊含的數(shù)學思想方法如數(shù)形結合的思想；方程與注意歸納題目類型體會題目所蘊含的數(shù)學思想方法如數(shù)形結合的思想；方程與函數(shù)的思想；分類討論的思想函數(shù)的思想；分類討論的思想. (本小題滿分本小題滿分12分分)在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中，已知矩形已知矩形ABCD的長為的長為2，寬為寬為1，AB、AD邊分

14、別在邊分別在x軸軸、y軸的正半軸上軸的正半軸上，A點與坐標原點重合點與坐標原點重合(如圖所示如圖所示)將將矩形折疊矩形折疊，使使A點落在線段點落在線段DC上上 (1)若折痕所在直線的斜率為若折痕所在直線的斜率為k k，試寫出折痕所在直線的方程試寫出折痕所在直線的方程； (2)求折痕的長的最大值求折痕的長的最大值【答題模板答題模板】 解答：解答：(1)設折疊設折疊后后A在在DC邊上對應的點為邊上對應的點為A，則折痕，則折痕EF所在直線的斜率所在直線的斜率 k k0.當當k k0時，時，A與與D重合，重合，EF所在直線方程為所在直線方程為y 當當k k0時，線段時，線段EF垂直平分垂直平分OA.故

15、直線故直線OA的方程為的方程為y x. 則當則當A與與C重合時重合時k k2，設，設OA交交EF于于G點，則點，則G點坐標為點坐標為( )， 得得EF所在直線的方程為所在直線的方程為yk kx (2)由由(1)知線段知線段EF的方程為的方程為yk kx (2k k0) 當當E與與D重合時，重合時，E點坐標為點坐標為(0,1)，由，由式得式得k k1. 當當F與與B重合時，重合時，F(xiàn)點坐標為點坐標為(2,0)，由，由式得式得k k2 令令f(k k)|EF|2， 則則 當當k k2 ，0時，時，f(k k)遞減，遞減，f(k k)的最大值為的最大值為f(2 )3216 ； 當當k k1，2 )時

16、，可證時，可證f(k k)在在1， 上遞減；上遞減； 在在 ，2 )上遞增，上遞增，f(1)2f(2 )3216 . 當當k k2，1)時，時，f(k k)遞增，遞增，f(k k)f(1)2， 綜上可知綜上可知f(k k)的最大值為的最大值為3216 則則|EF|的最大值為的最大值為 【分析點評分析點評】 本題對直線方程，兩點間的距離公式和分段函數(shù)問題進行了綜合考查，在考查本題對直線方程，兩點間的距離公式和分段函數(shù)問題進行了綜合考查，在考查 直線方程時是以折疊為背景，實質是考查對稱問題直線方程時是以折疊為背景，實質是考查對稱問題 (1)點與點關于點對稱，圖形與圖形關于點對稱，主要利用中點坐標公式解決點與點關于點對稱，圖形與圖形關于點對稱，主要利用中點坐標公式解決 (2)圖形與圖形對稱問題可轉化為點與點對稱解決，對于點與點關于直線圖形與圖形對稱問題可轉化為點與點對稱解決，對于點與點關于直線x0， y0，yx，yx對稱，要記憶對稱點之間坐標的關系，對于點與點關于一對稱，要記憶對稱點之間坐標的關系，對于點與點關于一 般直線對稱可通過解般直線對稱可通過解“垂直平分線垂直平分線”方程得到對稱點坐標之間的關系方程得到對稱點坐標之間的關系 (3)對于光的反射，三角形的內角平分線和折疊等問題可考慮利用對于光的反射，三角形的內角平分線和折疊等問題可考慮利用“對稱對稱”求解求解.