數(shù)學(xué)第五章 平面向量 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 文

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1、第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示總綱目錄教材研讀1.平面向量的基本定理考點(diǎn)突破2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有有且只有一對實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底.教材研讀教材研讀2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(

2、x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標(biāo)的求法(i)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,則abx1y2-x2y1=0.1.如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.e1與e1+e2B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與

3、e1-e2D.e1+3e2與6e2+2e1D答案答案D選項(xiàng)A中,設(shè)e1+e2=e1,則無解;1,10,選項(xiàng)B中,設(shè)e1-2e2=(e1+2e2),則無解;選項(xiàng)C中,設(shè)e1+e2=(e1-e2),則無解;選項(xiàng)D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以兩向量是共線向量,不能作為平面內(nèi)所有向量的基底.1,22 , 1,1, 122.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)ACBC答案答案A根據(jù)題意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故選A.ABBCACABA3.已知點(diǎn)M(5,-6

4、)和向量a=(1,-2),若=-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)MNA答案答案A=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),設(shè)N(x,y),則=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0).MNMN53,66,xy 2,0.xy4.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,則c可用向量a,b表示為()A.a+bB.-a-bC.a+bD.a-b50,2121232123212A答案答案A設(shè)c=xa+yb,則=(2x-y,x+2y),所以解得則c=a+b.50,220,52,2xyxy1,21,xy125.向量a,b滿足a+

5、b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b=.(-3,4)答案答案(-3,4)解析解析由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)=(-3,4).126.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=.OAOBOC答案答案-23解析解析=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線,即與共線,所以=(k0),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC42kk7223典例典例1(1)在ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,CD平分ACB.若=a,=b,|a|=1,|b|=

6、2,則=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b(2)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),有=+,其中,R,則+=.CBCACD1323231335454535ACAEAF考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)B(2)43解析解析(1)由題意得|=2|,即有=(-)=(a-b).從而=+=b+(a-b)=a+b.故選B.(2)如圖.四邊形ABCD為平行四邊形,且E、F分別為CD、BC的中點(diǎn),=+=(-)+(-)ADDBAD23AB23CBCA23CDCAAD232313ACADABAEDEAFBF=(+)-(+)=(+

7、)-,=(+),=,+=.AEAF12DCBCAEAF12ACAC23AEAF2343規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底,并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該組基底的線性組合,再進(jìn)行向量的運(yùn)算.(2)在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便,另外,要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.提醒:零向量和共線向量不能作基底.1-1如圖所示,已知向量=2,=a,=b,=c,則下列等式中成立的是()A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-bABBCOAOBOC32123212A答案答案A由=2得+=2(+),即2=-+3,所以=-,即c

8、=b-a.故選A.ABBCAOOBBOOCOCOAOBOC32OB12OA32121-2如圖,正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),若=+,其中,R,則+等于()A.B.C.D.2ACAMBD4353158B答案答案B因?yàn)?+=(+)+(+)=+(-+)=(-)+,=+,所以解得+=.故選B.ACAMBDABBMBAAD12ABADABADAB12ADACABAD1,11,24,31,353考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算命題方向一已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算命題方向一已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算典例典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-

9、2b.求:(1)3a+b-3c;(2)滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).ABBCCACMCNMN解析解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).65,385

10、,mnmn 1,1.mn CMOMOCOMOCCNONOCONOCMN典例典例3(2017課標(biāo)全國,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2APABAD25命題方向二坐標(biāo)法在向量中的應(yīng)用命題方向二坐標(biāo)法在向量中的應(yīng)用A解析解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸,、的方向?yàn)閤軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos

11、=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.CBCD22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD2515251512答案答案A方法技巧方法技巧1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)進(jìn)行求解.2.向量問題的坐標(biāo)化當(dāng)題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標(biāo)系(如矩形、等腰三角形等)時,可建立平面直角坐標(biāo)系,向量坐標(biāo)化,將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,更便于計算求解.2-1已知向量a=(5,

12、2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,則c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)答案答案A由題意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).230,120,xy23,12,xy A2-2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c0),且|=2,若=+,其中,R,則+的值為.OCOCOAOB答案答案-13解析解析因?yàn)閨=2,所以|2=1+c2=4,因?yàn)閏0,所以c=.因?yàn)?+,所以(-1,)=(1,0)+(0,1),所以=-1,=,所以+=-1.OCO

13、C3OCOAOB3332-3給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為,如圖所示.點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動.若=x+y,其中x,yR,求x+y的最大值.OAOB23ABOCOAOB解析解析如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,的方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則可知A(1,0),B,設(shè)C(cos,sin),則有x=cos+sin,y=sin,所以x+y=cos+sin=2sin,所以當(dāng)=時,x+y取得最大值2.OA13,2220,3332 33363考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示典例典例4已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時,ka-b

14、與a+2b共線?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.ABBC解析解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b與a+2b共線,2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-.(2)A,B,C三點(diǎn)共線,=(R).即2a+3b=(a+mb),m=.12ABBC2,3,m32規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地,在求與一個已知向量a共線的向量時,可設(shè)所求向量為a(R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程,求出的值后代入a即

15、可得到所求的向量.(2)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.3-1已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是()A.-B.C.D.OAOBOC23431213答案答案A=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).A,B,C三點(diǎn)共線,共線,-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC23A3-2(2018山東濟(jì)寧質(zhì)檢)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則=.0答案答案0解析解析因?yàn)閙+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)(m-n),所以(2+3)(-1)=3(-1),解得=0.3-3已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(3,3)答案答案(3,3)解析解析由O,P,B三點(diǎn)共線,可設(shè)=(4,4),則=-=(4-4,4).又=-=(-2,6),與共線,所以(4-4)6-4(-2)=0,解得=,所以=(3,3),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).OPOBAPOPOAACOCOAAPAC34OP34OB