數(shù)學(xué)第一部分 方法、思想解讀 第3講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想（1） 理

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1、第第3 3講分類討論思想、講分類討論思想、 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想一、分類討論思想一、分類討論思想-3-從近五年高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),現(xiàn)已成為高考數(shù)學(xué)的一個熱點(diǎn),也是高考的難點(diǎn).高考中經(jīng)常會有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其導(dǎo)數(shù)與函數(shù))常有一道分類討論求解的把關(guān)題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題.-4-1.分類討論思想的含義分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,首先需要把研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.2.分類討論的原則(1)不重不漏;(2)標(biāo)準(zhǔn)

2、要統(tǒng)一,層次要分明;(3)能不分類的要盡量避免,決不無原則地討論.3.分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論;(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論;(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論;(6)由實(shí)際意義引起的討論.-5-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用一應(yīng)用一由數(shù)學(xué)的概念引起的分類討論由數(shù)學(xué)的概念引起的分類討論 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,則( D )A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0解析:當(dāng)0a1得ba.a1,ba1,b-a0,b-10,a-10,(a-1)(a-b)

3、0.排除A,B,C.當(dāng)a1時,由logab1得ba1.b-a0,b-10.(b-1)(b-a)0.故選D.-6-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三思維升華由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論有:絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.-7-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .解析: 若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,即函數(shù)g(x)=ax2+x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)a=0時,g(x)=x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意,-8-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用二

4、應(yīng)用二由數(shù)學(xué)運(yùn)算、性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論由數(shù)學(xué)運(yùn)算、性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論 例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S3+S6=2S9,則數(shù)列的公比q是( C )-9-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三思維升華1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結(jié)論,或者在一定的限制條件下才成立,應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的.比如除以一個數(shù)時,這個數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù)是零、是正數(shù)、還是負(fù)數(shù)的討論;二次方程運(yùn)算中對兩根大小的討論;差值比較中的差的正負(fù)的

5、討論;有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.-10-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練2若關(guān)于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40對一切xR恒成立,則a的取值范圍是( C )A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)解析:當(dāng)a-2=0即a=2時,不等式為-40,恒成立,所以a=2; 所以a的范圍是a|-2a2.-11-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用三應(yīng)用三根據(jù)字母的取值情況分類討論根據(jù)字母的取值情況分類討論 例3(2017河北衡水中學(xué)三調(diào),理12)已知a,bR,且exa(x-1)+b對xR恒成立,則ab的最大值是( A )-12-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三解析: 令f(x)=ex

6、-a(x-1)-b,則f(x)=ex-a,若a=0,則f(x)=ex-b-b0,得b0,此時ab=0;若a0,函數(shù)單調(diào)增,x-,此時f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得極小值點(diǎn)x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).思維升華含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.-13-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( D )-14-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三解析:函數(shù)f(x)=aex-x-2a的導(dǎo)函數(shù)f(x)=aex-1,當(dāng)a0時,f(x)0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調(diào),不可能有兩個零點(diǎn);-15-1.簡化分類討論的策略:(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形結(jié)合;(7)縮小范圍等.2.分類討論遵循的原則是:不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級討論.