高三數(shù)學(xué)高考一本通立體幾何第一輪復(fù)習(xí)課件 第9課時(shí) 多面體與球

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1、考考 點(diǎn)點(diǎn) 詮詮 釋釋知知 識識 整整 合合基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 再再 現(xiàn)現(xiàn) 例例 題題 精精 析析精精 彩彩 小小 結(jié)結(jié)第第9 9課時(shí)課時(shí) 正多面體、歐拉公式和球 考點(diǎn)詮釋 了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。公式。高考對簡單多面體，球的考查要求不高，以考查基礎(chǔ)知高考對簡單多面體，球的考查要求不高，以考查基礎(chǔ)知識為主，簡單多面體的性質(zhì)，球面距離與球有關(guān)的組合識為主，簡單多面體的性質(zhì)，球面距離與球有關(guān)的組合體是主要考查對象。體是主要考查對象。球的體積和表面

2、積是高考中年年出現(xiàn)的題型，但不是單球的體積和表面積是高考中年年出現(xiàn)的題型，但不是單一知識，往往是與其他多面體綜合的試題，如正方體的一知識，往往是與其他多面體綜合的試題，如正方體的外接球、內(nèi)切球、球內(nèi)接正三棱錐、正四面體、正三棱外接球、內(nèi)切球、球內(nèi)接正三棱錐、正四面體、正三棱柱、長方體等等，形成了組合體的問題，估計(jì)高考試題柱、長方體等等，形成了組合體的問題，估計(jì)高考試題中還會(huì)出現(xiàn)。中還會(huì)出現(xiàn)。知識整合 多面體：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫多面體：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。它的基本元素有：面、棱、頂點(diǎn)。做多面體。它的基本元素有：面、棱、頂點(diǎn)。特別地，把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，

3、特別地，把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其它各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這如果所有其它各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體；而表面能經(jīng)過連樣的多面體叫做凸多面體；而表面能經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體，叫做簡單多面體。續(xù)變形為球面的多面體，叫做簡單多面體。棱柱、正多面體及凸多面體都是簡單多面體。棱柱、正多面體及凸多面體都是簡單多面體。知識整合 2、正多面體、正多面體 每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，且以每每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體。正多面體只有五種：面體，叫做正多面體。正多面體只有五種

4、：正四面體、正六面體、正八面體、正十二正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體、正二十面體的面是正三角形；正六面體、正二十面體的面是正三角形；正六面體的面是正方形，正十二面體的面是正面體的面是正方形，正十二面體的面是正五邊形。五邊形。知識整合 3、歐拉公式、歐拉公式 如果簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為如果簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，棱數(shù)為，棱數(shù)為E，那么那么V+F-E=2，這個(gè)公式叫做歐拉公式。，這個(gè)公式叫做歐拉公式。 注：注：(1)歐拉公式的適用范圍為簡單多面體。歐拉公式的適用范圍為簡單多面體。 (2)弄清楚五種正多

5、面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)。弄清楚五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)。FVE過頂點(diǎn)過頂點(diǎn)數(shù)的數(shù)的棱數(shù)棱數(shù)各面邊各面邊數(shù)數(shù)面的特面的特征征正四面體正四面體 44633正三角正三角形形正六面體正六面體 681234正方形正方形正八面體正八面體 861243正三角正三角形形正十二面正十二面體體12203035正五邊正五邊形形正二十面正二十面體體20123053正三角正三角形形（3）對于簡單多面體來說最少的頂點(diǎn)數(shù)，最少的面數(shù)，）對于簡單多面體來說最少的頂點(diǎn)數(shù)，最少的面數(shù)，最少的棱數(shù)分別是：最少的棱數(shù)分別是：4，4，6 知識整合 4、球的概念、球的概念 與定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做與定點(diǎn)的距離

6、等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱為球，這里應(yīng)注意球面與球體是兩個(gè)球體，簡稱為球，這里應(yīng)注意球面與球體是兩個(gè)不同的概念。其中，定點(diǎn)叫球的球心，定長稱為不同的概念。其中，定點(diǎn)叫球的球心，定長稱為球的半徑。球的半徑。 5、球的截面性質(zhì)、球的截面性質(zhì) （1）球的截面是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面）球的截面是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，不經(jīng)過球心的截面截得的圓截得的圓叫做大圓，不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫小圓。叫小圓。 （2）球心和截面圓心的連線垂直于截面。）球心和截面圓心的連線垂直于截面。 （3）球心到截面的距離）球心到截面的距離d與球半徑與球半徑R及截面圓半及截面圓半徑徑r的關(guān)系

7、是的關(guān)系是 。22dRr知識整合 6、兩點(diǎn)的球面距離、兩點(diǎn)的球面距離 （1）球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離；就是）球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離；就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)之間的一段劣弧經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)之間的一段劣弧的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離。注的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離。注意必須是在球面上的過兩點(diǎn)的大圓中所對應(yīng)意必須是在球面上的過兩點(diǎn)的大圓中所對應(yīng)的劣弧的長度，而不能在過此兩點(diǎn)的球的小的劣弧的長度，而不能在過此兩點(diǎn)的球的小圓中求。圓中求。 （2）當(dāng)把地球看作一個(gè)球時(shí)，經(jīng)線是球面）當(dāng)把地球看作一個(gè)球時(shí)，經(jīng)線是球面上從北極到南極的半個(gè)大圓，赤道是一個(gè)大上從北極到南極的半個(gè)大圓，

8、赤道是一個(gè)大圓，其余緯線都是一個(gè)小圓。圓，其余緯線都是一個(gè)小圓。 （3）在實(shí)際生活中，飛機(jī)、輪船都是盡可）在實(shí)際生活中，飛機(jī)、輪船都是盡可能以大圓弧為航線航行，因?yàn)檫@樣走或飛行能以大圓弧為航線航行，因?yàn)檫@樣走或飛行時(shí)，路線最短，用的時(shí)間最少。時(shí)，路線最短，用的時(shí)間最少。知識整合 7、經(jīng)度與緯度、經(jīng)度與緯度 數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（平面與本初子午線（00經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與赤道

9、面所成的角的度數(shù)。赤道面所成的角的度數(shù)。知識整合 如圖所示，如圖所示，0經(jīng)線也叫本初子午線，東經(jīng)經(jīng)線也叫本初子午線，東經(jīng)180和西經(jīng)和西經(jīng)180同在一條經(jīng)線上，那就是同在一條經(jīng)線上，那就是180經(jīng)線。經(jīng)線。 圖（圖（1）：經(jīng)度）：經(jīng)度P點(diǎn)的經(jīng)度，也是點(diǎn)的經(jīng)度，也是AB的弧長或的弧長或AOB的度數(shù)。的度數(shù)。 圖（圖（2）：緯度）：緯度P點(diǎn)的緯度，也是點(diǎn)的緯度，也是 PB的弧長的弧長 或或POB的度數(shù)。的度數(shù)。知識整合 8、球的體積與表面積、球的體積與表面積 球的體積公式球的體積公式V 球的表面積公式球的表面積公式S 它們都是球半徑它們都是球半徑R的函數(shù)，這兩個(gè)公式的推導(dǎo)，運(yùn)的函數(shù)，這兩個(gè)公式的推

10、導(dǎo)，運(yùn)用了用了“分割分割求近似和求近似和化成準(zhǔn)確值化成準(zhǔn)確值”的方法，的方法，這是非常重要的方法，應(yīng)能理解推導(dǎo)的思路，體會(huì)這是非常重要的方法，應(yīng)能理解推導(dǎo)的思路，體會(huì)這種推導(dǎo)方法中包含有這種推導(dǎo)方法中包含有“化不足為零，又積零為整化不足為零，又積零為整”的的“無限細(xì)分，化曲為平，逼近精確值無限細(xì)分，化曲為平，逼近精確值”的數(shù)學(xué)思的數(shù)學(xué)思想。想。基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 1、給出下列命題：、給出下列命題：正四棱柱是正多面體；正四棱柱是正多面體；直直四棱柱是簡單多面體；四棱柱是簡單多面體；簡單多面體是凸多面體；簡單多面體是凸多面體；以正四面體各個(gè)面的中心為項(xiàng)點(diǎn)的四面體仍是以正四面體各個(gè)面的中心為項(xiàng)點(diǎn)的四面

11、體仍是正四面體，其中真命題的個(gè)數(shù)為（正四面體，其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A：1個(gè)個(gè) B：2個(gè)個(gè) C：3個(gè)個(gè) D：4個(gè)個(gè)l l l l31arccos B2、已知一個(gè)簡單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都有三、已知一個(gè)簡單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，則頂點(diǎn)數(shù)條棱，則頂點(diǎn)數(shù)V與面數(shù)與面數(shù)F滿足的關(guān)系是（滿足的關(guān)系是（ ）A：2FV4 B：2FV4 C：2FV2 D：2FV2基礎(chǔ)再現(xiàn)B基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 3、我國北極考察隊(duì)的考察船位于北緯、我國北極考察隊(duì)的考察船位于北緯30，東經(jīng)，東經(jīng)125處，則此時(shí)離南極極點(diǎn)的球面距離為（設(shè)地半處，則此時(shí)離南極極點(diǎn)的球面距離為（設(shè)地半徑為徑為R）（）（ ） A： B：2 C： D：

12、l l l llDRR21R32R基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 4、（、（2004年江蘇高考，年江蘇高考，4）一平面截一球得到直徑是）一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球，則該球的體積是（的體積是（ ） A： B： C： D：l l l ll33100cm 33208cm33500cm3313416cmC例題精析 例例1、正四棱柱、長方體、正方體、正多面體、凸多面體、正四棱柱、長方體、正方體、正多面體、凸多面體、簡單多面體之間有什么關(guān)系？簡單多面體之間有什么關(guān)系？ 分析：要搞清楚這些概念之間的關(guān)系，必須嚴(yán)格按照定義分析：要搞清楚這些概念之間

13、的關(guān)系，必須嚴(yán)格按照定義 評注：掌握多面體、正多面體、簡單多面體的概念是判斷多面評注：掌握多面體、正多面體、簡單多面體的概念是判斷多面體有關(guān)問題的關(guān)鍵體有關(guān)問題的關(guān)鍵。例題精析 已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)。數(shù)。 分析；以棱數(shù)為主線，確定棱數(shù)與面數(shù)、棱數(shù)與頂分析；以棱數(shù)為主線，確定棱數(shù)與面數(shù)、棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，再用歐拉公式求出棱數(shù)。點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，再用歐拉公式求出棱數(shù)。 評注：設(shè)某正多面體的每個(gè)面都是正評注：設(shè)某正多面體的每個(gè)面都是正n邊形，以每個(gè)邊形

14、，以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有m條，頂點(diǎn)數(shù)為條，頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)是棱數(shù)是E，面數(shù)是，面數(shù)是F，則有，則有E 。22mVEnF，例題精析 已知銅的單晶的外形是簡單幾何體，單晶銅有已知銅的單晶的外形是簡單幾何體，單晶銅有三角形和八邊形兩種晶面，如果銅的單晶有三角形和八邊形兩種晶面，如果銅的單晶有24個(gè)個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三條棱，計(jì)算單晶銅的兩頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三條棱，計(jì)算單晶銅的兩種晶面的數(shù)目。種晶面的數(shù)目。 分析；從面數(shù)和棱數(shù)入手，尋找分析；從面數(shù)和棱數(shù)入手，尋找V、F、E的關(guān)系，的關(guān)系，再運(yùn)用歐拉公式求解。再運(yùn)用歐拉公式求解。 評注：本題利用了棱數(shù)評注：本題利用了棱數(shù)E，一方面滿

15、足歐拉公式，一方面滿足歐拉公式，另一方面棱數(shù)另一方面棱數(shù)E等于各頂點(diǎn)引出的棱數(shù)和的一半，等于各頂點(diǎn)引出的棱數(shù)和的一半，也等于各面的邊數(shù)之和的一半，列出了兩個(gè)含有也等于各面的邊數(shù)之和的一半，列出了兩個(gè)含有未知數(shù)的方程，體現(xiàn)了方程的思想。未知數(shù)的方程，體現(xiàn)了方程的思想。例題精析 例例2、(1)已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是5和和8，且在，且在球心同側(cè)相距為球心同側(cè)相距為1，求這個(gè)球的表面積和體積。，求這個(gè)球的表面積和體積。 分析：由于球的表面積和體積都是關(guān)于球半徑分析：由于球的表面積和體積都是關(guān)于球半徑R的函數(shù)，的函數(shù)，所以應(yīng)利用已知條件列出關(guān)于球半徑所以應(yīng)利用已

16、知條件列出關(guān)于球半徑R的方程。的方程。 評注：球的截面問題關(guān)鍵是利用球的截面圓半徑、球心到評注：球的截面問題關(guān)鍵是利用球的截面圓半徑、球心到截面的距離、球半徑三者之間的關(guān)系建立等式。截面的距離、球半徑三者之間的關(guān)系建立等式。例題精析 （2）已知過球面上三點(diǎn)）已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的面到球心的距離等于的面到球心的距離等于球半徑的一半，且球半徑的一半，且ACBC6，AB4。求球面積與球。求球面積與球的體積。的體積。 （3）一個(gè)倒置的等邊圓錐形容器中裝滿水，放一個(gè)半徑）一個(gè)倒置的等邊圓錐形容器中裝滿水，放一個(gè)半徑為為R的鐵球，有水溢出，若該球又恰與圓錐底面相切，取的鐵球，有水溢出，若該球又恰與圓

17、錐底面相切，取出球后，水面距底面距離是多少？剩下的水是原來的幾分出球后，水面距底面距離是多少？剩下的水是原來的幾分之幾？之幾？例題精析 例例3、如圖在北緯、如圖在北緯45的緯度圈上有的緯度圈上有A、B兩點(diǎn)，它們分別兩點(diǎn)，它們分別在東徑在東徑70與東徑與東徑160的經(jīng)度圈上，設(shè)地球的半徑為的經(jīng)度圈上，設(shè)地球的半徑為R，求求A、B兩點(diǎn)的球面距離。兩點(diǎn)的球面距離。 分析：求分析：求A、B兩地的球面距離，主要是求兩地的球面距離，主要是求A、B兩地的球兩地的球心角的大小。心角的大小。例題精析 評注：（評注：（1）為求）為求A、B兩點(diǎn)間球面的距離，要把它轉(zhuǎn)移到兩點(diǎn)間球面的距離，要把它轉(zhuǎn)移到AOB中去分析，

18、只要求得中去分析，只要求得AOB的度數(shù)便可求得球面距離，的度數(shù)便可求得球面距離，注意余弦定理的應(yīng)用。注意余弦定理的應(yīng)用。 （2）變題）變題1：把地球當(dāng)作半徑為：把地球當(dāng)作半徑為R的球，地球上的球，地球上A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在北緯都在北緯45的緯線上，的緯線上，A、B兩點(diǎn)的球面距離是兩點(diǎn)的球面距離是 R，A在東經(jīng)在東經(jīng)20，求，求B點(diǎn)的位置。點(diǎn)的位置。 分析：分析：本題本題B點(diǎn)的位置可能有兩種點(diǎn)的位置可能有兩種 要明確球面上要明確球面上A、B兩點(diǎn)的直線距離和球面距離，本題兩點(diǎn)的直線距離和球面距離，本題中中AB的直線距離為的直線距離為R，球面距離為，球面距離為 R；33例題精析（3）變題）變題2：球面

19、上有：球面上有3個(gè)點(diǎn)，其個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的周長的 ，經(jīng)過這，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為的周長為 ，那么這個(gè)球的半，那么這個(gè)球的半徑為（徑為（ ）A： B： C：2 D：61434323B例題精析 例例4、（、（2004年連云港市高考模擬題）如圖，正八面年連云港市高考模擬題）如圖，正八面體的棱長為體的棱長為a , (1 )求求PQ的長；的長； （2）求二面角）求二面角PBCQ的大??；的大小； （3）求證：平面）求證：平面PBC平面平面ADQ； （4）求平面）求平面PAB與平面與平面QCD之間之間 的距離；的距離； （5）求正八面體

20、的內(nèi)切球的體積。）求正八面體的內(nèi)切球的體積。 （6）若一個(gè)正四面體邊長為）若一個(gè)正四面體邊長為a，使，使 正四面體的一個(gè)面與正八面體正四面體的一個(gè)面與正八面體 的一個(gè)面重合，則組合體一共的一個(gè)面重合，則組合體一共 有幾個(gè)面。有幾個(gè)面。例題精析 例例5、（、（1）如圖，三棱錐）如圖，三棱錐ABCD的兩條棱的兩條棱AB、CD滿足滿足ABCD6，其余各棱長均為，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的半，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑，徑，例題精析 分析：（分析：（1）內(nèi)切球與三棱錐各個(gè)面都相切，內(nèi)切球的）內(nèi)切球與三棱錐各個(gè)面都相切，內(nèi)切球的半徑即為球心半徑即為球心O到各個(gè)面的距離，而各個(gè)面是全等的等到各個(gè)面的

21、距離，而各個(gè)面是全等的等腰三角形，所以三棱錐腰三角形，所以三棱錐ABCD可被分割成以球心可被分割成以球心O為為頂點(diǎn)，各面為底的四個(gè)等體積的三棱錐，利用割前后幾頂點(diǎn)，各面為底的四個(gè)等體積的三棱錐，利用割前后幾何體體積相等，即可求出半徑。何體體積相等，即可求出半徑。例題精析 （2）如圖，正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為）如圖，正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為36 的一的一個(gè)球面上，求這個(gè)正四面體的高。個(gè)球面上，求這個(gè)正四面體的高。例題精析 分析：（分析：（2）因?yàn)檎拿骟w的所有棱長都相等，則正四面）因?yàn)檎拿骟w的所有棱長都相等，則正四面體中有關(guān)的量都可以用棱長體中有關(guān)的量都可以用棱長 的代數(shù)式來表示，

22、所以通的代數(shù)式來表示，所以通過觀察幾何圖形，列出關(guān)于過觀察幾何圖形，列出關(guān)于 的方程式即可求解。的方程式即可求解。xx例題精析 （3）已知半徑為）已知半徑為R的半球內(nèi)，有一個(gè)內(nèi)接正四棱柱，正方的半球內(nèi)，有一個(gè)內(nèi)接正四棱柱，正方形的底面在半球的底面圓上，求內(nèi)接正四棱柱的最大體積形的底面在半球的底面圓上，求內(nèi)接正四棱柱的最大體積之值。之值。例題精析 分析：（分析：（3）畫出直觀圖，設(shè)正四棱柱底面邊長為）畫出直觀圖，設(shè)正四棱柱底面邊長為 ，高為高為 ，建立，建立 關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，用均值不等式求出最值的函數(shù)關(guān)系式，用均值不等式求出最值xxxyy例題精析 評析：（評析：（1）解決點(diǎn)面距離的問題，

23、常通過研究三棱錐的）解決點(diǎn)面距離的問題，常通過研究三棱錐的體積，用等積法來解，（體積，用等積法來解，（2）解決幾何體中長度問題，常）解決幾何體中長度問題，常通過尋找待求量與已知量之間的關(guān)系，列出方程來解通過尋找待求量與已知量之間的關(guān)系，列出方程來解精彩小結(jié) 棱柱、棱錐都是凸多面體，研究多面體時(shí)，不要脫離棱柱、棱棱柱、棱錐都是凸多面體，研究多面體時(shí)，不要脫離棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)，而要以它們?yōu)榛A(chǔ)去認(rèn)識多面體，并討論多錐的概念和性質(zhì)，而要以它們?yōu)榛A(chǔ)去認(rèn)識多面體，并討論多面體的特點(diǎn)和性質(zhì)，四面體是立體幾何中的基本圖形，它既可面體的特點(diǎn)和性質(zhì)，四面體是立體幾何中的基本圖形，它既可以從一個(gè)多面體中分

24、割出來，也可以由它補(bǔ)形成一個(gè)相關(guān)的多以從一個(gè)多面體中分割出來，也可以由它補(bǔ)形成一個(gè)相關(guān)的多面體。面體。2、利用歐拉公式推導(dǎo)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)、棱數(shù)時(shí)，、利用歐拉公式推導(dǎo)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)、棱數(shù)時(shí)，先根據(jù)已知條件找出三個(gè)數(shù)中兩個(gè)和第三個(gè)的關(guān)系，然后代入先根據(jù)已知條件找出三個(gè)數(shù)中兩個(gè)和第三個(gè)的關(guān)系，然后代入歐拉公式求第三個(gè)數(shù)，最后求出其他兩數(shù)。歐拉公式求第三個(gè)數(shù)，最后求出其他兩數(shù)。精彩小結(jié) 3、對于簡單多面體，其棱數(shù)、對于簡單多面體，其棱數(shù)E有以下三種計(jì)算方法：有以下三種計(jì)算方法： （1）利用歐拉公式；）利用歐拉公式；EVF2 （2）利用各面的邊數(shù)：即各面多邊形的邊數(shù)之和的一半，當(dāng)各）

25、利用各面的邊數(shù)：即各面多邊形的邊數(shù)之和的一半，當(dāng)各面邊數(shù)都為面邊數(shù)都為n時(shí)，時(shí)，E （3）利用過項(xiàng)點(diǎn)的棱數(shù)：即各項(xiàng)點(diǎn)引出的棱數(shù)之和的一半，當(dāng)）利用過項(xiàng)點(diǎn)的棱數(shù)：即各項(xiàng)點(diǎn)引出的棱數(shù)之和的一半，當(dāng)各項(xiàng)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)都是各項(xiàng)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)都是n時(shí)，時(shí)，E 2nF2nV精彩小結(jié) 4、“球球”是平面圖形是平面圖形“圓圓”在空間的引伸，因此在學(xué)習(xí)在空間的引伸，因此在學(xué)習(xí)“球球”的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)聯(lián)系的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)聯(lián)系“圓圓”的性質(zhì)作類比。如將兩球外切（內(nèi)切）的性質(zhì)作類比。如將兩球外切（內(nèi)切）與兩圓外切（內(nèi)切）作類比，即知連心線過切點(diǎn)，連心線之長等與兩圓外切（內(nèi)切）作類比，即知連心線過切點(diǎn)，連心線之長等于兩球半徑之

26、和（兩求半徑之差的絕對值）。于兩球半徑之和（兩求半徑之差的絕對值）。 5、計(jì)算球面上、計(jì)算球面上A、B兩點(diǎn)間的球面距離的一般步驟：（兩點(diǎn)間的球面距離的一般步驟：（1）計(jì)算）計(jì)算線段線段AB的長；（的長；（2）計(jì)算）計(jì)算A、B對球心對球心O的張角的張角AOB；（；（3）計(jì)算）計(jì)算大圓劣弧的長大圓劣弧的長 精彩小結(jié) 6、與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時(shí)、與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體量關(guān)系并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑，球外接于正方體，各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑，球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的對角線等于球的直徑，球與正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的對角線等于球的直徑，球與多面體的組合體，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或多面體的組合體，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)切點(diǎn)”、“接點(diǎn)接點(diǎn)”作出一個(gè)截面圖。作出一個(gè)截面圖。