《東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)2(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0c一、已知矩陣,的子集1、證明:V是的子空間;2、求V的一組基及V的維數(shù);3、證明,并求A在上小題所提基下的坐標(biāo);4、試給出的兩個(gè)不同的子空間及,使得解:1、設(shè),所以,V對(duì)加法和數(shù)乘封閉,故V是的子空間。2、設(shè) ,所以V的基為,2維。3、,在下的坐標(biāo)為。4、擴(kuò)充V的基為上的基,擴(kuò)充出來的向量生成的子空間即為的基。V的基為,找兩組與、線性無關(guān)的向量。容易看出,中的四個(gè)列向量線性無關(guān),故中的四個(gè)列向量也線性無關(guān),故二、假設(shè)3維線性空間V上的線性變換在V的基下的矩陣為。問:當(dāng)滿足什么條件時(shí),存在V的一組基,使得的矩陣是?解:、為同一線性變換下的矩陣,故,有相同的jordan標(biāo)
2、準(zhǔn)形,相同的特征值,相同的跡,相同的秩。根據(jù)、跡相同(即主對(duì)角元素的和相同)得:,時(shí),求得時(shí), 或,三、設(shè)矩陣,上的變換定義如下:1、證明:是線性變換;2、求在的基下的矩陣M;3、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù);4、試求M的jordan標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出的最小多項(xiàng)式;5、問:能否找到的基,使得的矩陣為對(duì)角陣?為什么?解:1、證明:設(shè)故關(guān)于加法和數(shù)乘封閉,為線性變換。2、 3、,的基,2維。 ,的基,2維。4、 5、不能找到四、求下列矩陣的廣義逆矩陣:1、;解: 2、,其中,。解:故對(duì)B進(jìn)行滿秩分解,五、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等,均為,給出可能的jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解: 根據(jù)矩陣A
3、的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等,均為,可得: 當(dāng),則: 令, 求出代入,求出: 令, 求出代入,求出六、矩陣函數(shù):1、設(shè),求矩陣函數(shù),并給出的特征多項(xiàng)式。解:求: 令, 求的特征多項(xiàng)式:的特征值為,的特征值即為,故的特征值為,。2、設(shè),試將表示成關(guān)于A的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式,并求。解:,當(dāng)時(shí), 令 求出代入,求出七、設(shè)的子空間,求使得。該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第三題類似,為找正投影問題。八、證明題:1、證明:若酉矩陣A滿足,則。 證明:令 ,為的化零多項(xiàng)式,的特征值一定是的根,(重?cái)?shù)未知),(重?cái)?shù)未知),設(shè) (可能為0,也可能為1)為酉矩陣,一定相似于,即,由此得的重?cái)?shù)為0,(只可能為0), 得證。2、設(shè)H陣A,B均是正定的,證明:AB的特征值均為正實(shí)數(shù)。 該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第七題第二小題相同。