學(xué)案7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

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1、1.1.函數(shù)與方程的關(guān)系函數(shù)與方程的關(guān)系( (會借助圖象解決有關(guān)根個(gè)數(shù)的會借助圖象解決有關(guān)根個(gè)數(shù)的 問題問題).).2.2.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模( (把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題).).3.3.能熟練解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問題并能用二分法求相能熟練解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問題并能用二分法求相 應(yīng)方程的近似解應(yīng)方程的近似解. .4.4.數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用. . 學(xué)案學(xué)案7 7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(20091.(2009福建福建) )函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c

2、 c( (a a0)0)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 直線直線 對稱對稱. .據(jù)此可推測，對任意的非零實(shí)數(shù)據(jù)此可推測，對任意的非零實(shí)數(shù) a a, ,b b, ,c c, ,m m, ,n n, ,p p關(guān)于關(guān)于x x的方程的方程m m f f( (x x)2 2+ +nf nf( (x x)+)+p p=0=0的解集的解集 不可能是不可能是 （ ） A.1,2 B.1,4A.1,2 B.1,4 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64解析解析 本題用特例法解決簡潔快速本題用特例法解決簡潔快速, ,對方程對方程m m f f( (x x)2 2+ + nf

3、nf( (x x)+)+p p=0=0中中m m, ,n n, ,p p分別賦值求出分別賦值求出f f( (x x) )代入代入f f( (x x)=0)=0求出求出 檢驗(yàn)即得檢驗(yàn)即得. .abx2D D2.(20082.(2008安徽安徽) )若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )、g g( (x x) )分別為分別為R R上的奇函上的奇函 數(shù)、偶函數(shù)數(shù)、偶函數(shù), ,且滿足且滿足f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=ex x，則有，則有 （ ） A.A.f f(2)(2)f f(3)(3)g g(0) B.(0) B.g g(0)(0)f f(3)(3)f f(2)(2) C.

4、 C.f f(2)(2)g g(0)(0)f f(3) D.(3) D.g g(0)(0)f f(2)(2)f f(3)(3)解析解析 由題意得由題意得f f(-(-x x)-)-g g(-(-x x)=e)=e- -x x，又，又f f( (x x) )為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， g g( (x x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以上式可化為所以上式可化為- -f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=e- -x x, ,與已與已 知知f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=ex x聯(lián)立得聯(lián)立得 所以所以f f( (x x) )在定義域在定義域R R上上 為增函數(shù)為增函數(shù),

5、 ,所以所以0=0=f f(0)(0)f f(2)(2)f f(3).(3). 又又g g(0)=-1(0)=-10,0,所以所以g g(0)(0)f f(2)(2)f f(3(3）. . ,2ee)(,2ee)(xxxxxgxf,0)ee (21)( 恒成立而xxxfD D3.(20093.(2009北京北京) )已知函數(shù)已知函數(shù) 若若f f( (x x)=2,)=2, 則則x x=_.=_.解析解析 , 1, 1,3)(xxxxfxloglog3 32 2, 2log2313xxx.221無解xxx4.4.若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)時(shí), ,

6、f f( (x x)=-lg(-)=-lg(-x x)+)+x x+3,+3, 已知已知f f( (x x)=0)=0有一個(gè)根為有一個(gè)根為x x0 0，且，且x x0 0(n n, ,n n+1),+1),n nNN* *, ,則則 n n的值為的值為_._.解析解析 設(shè)設(shè)x x0,0,則則- -x x0,0,所以所以f f(-(-x x)=-lg )=-lg x x- -x x+3,+3,又因?yàn)橛忠驗(yàn)?函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,所以所以f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x),),則則x x0 0時(shí)時(shí), , f f( (x x)=lg )=lg x x

7、+ +x x-3,-3,又又f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), , 由由f f(2)=lg 2-1(2)=lg 2-10,0,f f(3)=lg 3(3)=lg 30, 0, 所以所以x x0 0(2,3)(2,3)，則，則n n=2. =2. 2 2題型一題型一 函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)【例【例1 1】(2009(2009山東山東) )已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f f( (x x) )， 且滿足且滿足f f( (x x-4)=-4)=-f f( (x x),),且在區(qū)間且在區(qū)間0,20,2上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,若若 方程方程f f( (

8、x x)=)=m m ( (m m0)0)在區(qū)間在區(qū)間-8,8-8,8上有四個(gè)不同的根上有四個(gè)不同的根 x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,則則x x1 1+ +x x2 2+ +x x3 3+ +x x4 4=_.=_.解析解析 因?yàn)槎x在因?yàn)槎x在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,滿足滿足f f( (x x-4)=-4)=-f f( (x x),),所所 以以f f( (x x-4)=-4)=f f(-(-x x),),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x x=-2=-2對稱且對稱且 f f(0)=0,(0)=0,由由f f( (x x-4)=-4)

9、=-f f( (x x) )知知f f( (x x-8)=-8)=f f( (x x),),所以函數(shù)是以所以函數(shù)是以 8 8為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒 f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間0,20,2上是增上是增 函數(shù)函數(shù), ,所以所以f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2，00上也是增函數(shù)上也是增函數(shù). .如圖所示，那么方程如圖所示，那么方程f f( (x x)=)=m m ( (m m0)0)在區(qū)間在區(qū)間-8,8-8,8上上有四個(gè)不同的根有四個(gè)不同的根x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,不妨設(shè)不妨設(shè)x x1 1x x2 2x

10、x3 3x x4 4，由對稱性知，由對稱性知，x x1 1+ +x x2 2=-12,=-12,x x3 3+ +x x4 4=4,=4,所以所以x x1 1+ +x x2 2+ +x x3 3+ +x x4 4=-12+4=-8.=-12+4=-8.答案答案 -8-8【探究拓展探究拓展】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系， 可以求解有關(guān)一元二次方程的根的分布問題可以求解有關(guān)一元二次方程的根的分布問題, ,也可利也可利 用零點(diǎn)的存在性定理來確定用零點(diǎn)的存在性定理來確定, ,即判斷某個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn)即判斷某個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn) 的函數(shù)值的符號來斷定零點(diǎn)的存在及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的函

11、數(shù)值的符號來斷定零點(diǎn)的存在及零點(diǎn)的個(gè)數(shù). .數(shù)數(shù) 形結(jié)合也是處理這一類型問題的好方法形結(jié)合也是處理這一類型問題的好方法. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 設(shè)定義域?yàn)樵O(shè)定義域?yàn)镽 R的函數(shù)的函數(shù) 若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程f f2 2( (x x)+)+af af( (x x)+)+b b=0=0有三個(gè)不同的實(shí)根有三個(gè)不同的實(shí)根x x1 1, , x x2 2, ,x x3 3, ,則則 的值為的值為_._.解析解析 由圖象可知若方程由圖象可知若方程f f2 2( (x x)+)+af af( (x x)+)+b b=0=0有三個(gè)不同有三個(gè)不同 的實(shí)根只須的實(shí)根只須f f( (x x)=1,)=

12、1,所以必有一根為所以必有一根為2,2,另兩根是方程另兩根是方程 的根的根, ,這兩根分別是這兩根分別是1 1和和3.3.,)2(1)2(|2|1)(xxxxf1|2|1x232221xxx.14232221xxx所以1414題型二題型二 函數(shù)思想的應(yīng)用函數(shù)思想的應(yīng)用【例【例2 2】已知二次函數(shù)】已知二次函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c, , (1) (1)若若a a b b c c, ,且且a a+ +b b+ +c c=0,=0,試證明試證明f f( (x x)=0)=0必有兩個(gè)實(shí)根必有兩個(gè)實(shí)根; ; (2) (2)若對若對x x1 1，x x2 2R

13、R且且x x1 1x x2 2，f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),試證明方程試證明方程 f f( (x x)= )= f f( (x x1 1)+)+f f( (x x2 2)有兩不等實(shí)根有兩不等實(shí)根, ,且必有一個(gè)實(shí)根且必有一個(gè)實(shí)根 屬于屬于( (x x1 1, ,x x2 2).).證明證明 (1)(1)若若a ab bc c, ,a a+ +b b+ +c c=0,=0, 則則a a0,0,c c0,0,且且b b=-(=-(a a+ +c c),),所以方程所以方程f f( (x x)=0)=0可化為可化為: : axax2 2-(-(a a+ +c c) )x

14、 x+ +c c=0,=0, 即即a a( (x x-1)(-1)(x x - )=0,- )=0, 則則f f( (x x)=0)=0有兩根有兩根x x1 1=1,=1,x x2 2= =21ac.ac(2)(2)令令g g( (x x)=)=f f( (x x)- )- f f( (x x1 1)+)+f f( (x x2 2),),由題意可知由題意可知: :g g( (x x) )是開口向上的二次函數(shù)是開口向上的二次函數(shù), ,又又g g( (x x1 1)= )= f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2),),g g( (x x2 2)= )= f f( (x x2 2

15、)-)-f f( (x x1 1), ), 且且x x1 1 x x2 2, ,f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),所以所以g g( (x x1 1) )g g( (x x2 2)= )= f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)2 20,0,)0,xm,2mx;2mx;1)1 (11)1 (2)1 (442)(11, 0;1)1 (11)1 (2)1 (442)(,11, 0kkmkkmxkxxfy，mkmkkmkkmxkxxfymkm有兩個(gè)零點(diǎn)故函數(shù)則若有兩個(gè)零點(diǎn)故函數(shù)則若 當(dāng)當(dāng)k k11時(shí)時(shí), ,方程方程( (* *) )有一解有一解=4-4=4-

16、4m m(1-(1-k k)=0,)=0,【探究拓展探究拓展】此題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、最值、一元二】此題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、最值、一元二 次方程等基礎(chǔ)知識，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方次方程等基礎(chǔ)知識，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方 法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整合的數(shù)學(xué)思想方 法法. .11)(,11kxkxxfymk有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 已知定義域?yàn)橐阎x域?yàn)镽 R的函數(shù)的函數(shù)f f( (x x) )滿足滿足 f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . (

17、1) (1)若若f f(2)=3,(2)=3,求求f f(1);(1);又若又若f f(0)=(0)=a a, ,求求f f( (a a);); (2) (2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)根設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)根x x0 0, ,使得使得f f( (x x0 0)=)=x x0 0, ,求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) ) 的解析表達(dá)式的解析表達(dá)式. .解解 (1)(1)因?yàn)閷θ我庖驗(yàn)閷θ我鈞 xR,R, 有有f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . 所以所以f f( (f f(2)-2(2)-22 2+2)=+2)=f f

18、(2)-2(2)-22 2+2.+2. 又由又由f f(2)=3,(2)=3,得得f f(3-2(3-22 2+2)=3-2+2)=3-22 2+2,+2, 即即f f(1)=1,(1)=1,若若f f(0)=(0)=a a, , 則則f f( (a a-0-02 2+0)=+0)=a a-0-02 2+0,+0,即即f f( (a a)=)=a a. .(2)(2)因?yàn)閷θ我庖驗(yàn)閷θ我鈞 xR,R,有有f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . 又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x x0 0, ,使

19、得使得f f( (x x0 0)=)=x x0 0. . 所以對任意所以對任意x xR,R,有有f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x= =x x0 0. . 在上式中令在上式中令x x= =x x0 0, ,有有f f( (x x0 0)- +)- +x x0 0= =x x0 0. . 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒 f( (x x0 0)=)=x x0 0, ,所以所以x x0 0- =0,- =0, 故故x x0 0=0=0或或x x0 0=1,=1, 若若x x0 0=0,=0,則則f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x=0,=0,即即f f( (x x)=)=x x2 2-

20、 -x x. . 但方程但方程x x2 2- -x x= =x x有兩個(gè)不相同實(shí)根有兩個(gè)不相同實(shí)根, ,與題設(shè)條件矛盾與題設(shè)條件矛盾. . 故故x x0 00.0. 若若x x0 0=1,=1,則有則有f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x=1,=1, 即即f f( (x x)=)=x x2 2- -x x+1.+1.易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件. . 綜上綜上, ,所求函數(shù)所求函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2- -x x+1 (+1 (x xR).R). 20 x20 x題型四題型四 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例【例4 4】(2009(2009山

21、東山東) )兩縣城兩縣城A A和和B B相距相距20 km,20 km,現(xiàn)計(jì)劃現(xiàn)計(jì)劃 在兩縣城外以在兩縣城外以ABAB為直徑的半圓弧為直徑的半圓弧 上選擇一點(diǎn)上選擇一點(diǎn)C C建建 造垃圾處理廠造垃圾處理廠, ,其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市 的距離有關(guān)的距離有關(guān), ,對城對城A A和城和城B B的總影響度為對城的總影響度為對城A A與對城與對城 B B的影響之和的影響之和, ,記記C C點(diǎn)到城點(diǎn)到城A A的距離為的距離為x x km, km,建在建在C C處的處的 垃圾處理廠對城垃圾處理廠對城A A和城和城B B的總影響度為的總影響度為y y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)

22、調(diào)查表 明明: :垃圾處理廠對城垃圾處理廠對城A A的影響度與所選地點(diǎn)到城的影響度與所選地點(diǎn)到城A A的距的距 離的平方成反比，比例系數(shù)為離的平方成反比，比例系數(shù)為4;4;對城對城B B的影響度與所的影響度與所 選地點(diǎn)到城選地點(diǎn)到城B B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k k, ,當(dāng)當(dāng) 垃圾處理廠建在弧垃圾處理廠建在弧 的中點(diǎn)時(shí)，對城的中點(diǎn)時(shí)，對城A A和城和城B B的總影的總影 響度為響度為0.065.0.065. (1)(1)將將y y表示成表示成x x的函數(shù)的函數(shù); ;(2)(2)討論討論(1)(1)中函數(shù)的單調(diào)性中函數(shù)的單調(diào)性, ,并判斷弧并判斷弧 上是否存

23、在上是否存在 一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A A和城和城B B的總影的總影 響度最小響度最小? ?若存在若存在, ,求出該點(diǎn)到城求出該點(diǎn)到城A A的距離的距離; ;若不存在若不存在, , 說明理由說明理由. .解解 (1)(1)如圖所示如圖所示, ,由題意知由題意知ACAC BCBC, ,即即ACBACB=90=90, , ACAC= =x x km km，BCBC2 2=400-=400-x x2 2, ,其中當(dāng)其中當(dāng) 時(shí)時(shí), ,y y=0.065,=0.065,所以所以k k=9.=9.所以所以y y表示成表示成x x的函數(shù)為的函數(shù)為).200(4004

24、22xxkxy210 x).200(4009422xxxy1818x x4 4=8(400-=8(400-x x2 2) )2 2, ,所以所以x x2 2=160,=160,x x= ,= ,當(dāng)當(dāng)0 0 x x 時(shí)時(shí),18,18x x4 48(400-8(400-x x2 2) )2 2, ,即即y y0,0,所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù), ,當(dāng)當(dāng) x x2020時(shí)時(shí),18,18x x4 48(400-8(400-x x2 2) )2 2, ,即即y y0,0,所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù). .)400()400(818)400()2(98),200(40094)2(

25、22322422322xxxxxxxyxxxy10410464所以當(dāng)所以當(dāng)x x= = 時(shí)時(shí), ,即當(dāng)即當(dāng)C C點(diǎn)到城點(diǎn)到城A A的距離為的距離為 時(shí)時(shí), ,【探究拓展探究拓展】本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)】本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng) 用用, ,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用換運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用換 元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題. .104104.)200(4009422有最小值函數(shù)xxxy變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 (2009 (2009湖南湖南) )某地建一座橋某地建一座橋, ,兩端的橋墩兩端的橋墩 已

26、建好已建好, ,這兩墩相距這兩墩相距m m米米, ,余下工程只需建兩端橋墩之余下工程只需建兩端橋墩之 間的橋面和橋墩間的橋面和橋墩, ,經(jīng)預(yù)測經(jīng)預(yù)測, ,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256256 萬元萬元, ,距離為距離為x x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為 (2+(2+ ) )x x萬元萬元. .假設(shè)橋墩等距離分布假設(shè)橋墩等距離分布, ,所有橋墩都視為所有橋墩都視為 點(diǎn)點(diǎn), ,且不考慮其他因素且不考慮其他因素, ,記余下工程的費(fèi)用為記余下工程的費(fèi)用為y y萬元萬元. .(1)(1)試寫出試寫出y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式; ;(2

27、)(2)當(dāng)當(dāng)m m=640=640米時(shí)米時(shí), ,需新建多少個(gè)橋墩才能使需新建多少個(gè)橋墩才能使y y最小最小? ?x解解 (1)(1)設(shè)需要新建設(shè)需要新建n n個(gè)橋墩個(gè)橋墩,(,(n n+1)+1)x x= =m m, ,.2562256)2() 1(256)2)(1(256)(mxmxmxxxmxmxxnnxfy所以, 1xmn即).512(221256)( ,) 1 ()2(232212xxmmxxmxf知由令令f f(x x)=0,)=0,得得 所以所以x x=64.=64.當(dāng)當(dāng)0 0 x x6464時(shí)，時(shí)，f f(x x) )0,0,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,64)(0,

28、64)內(nèi)為減內(nèi)為減函數(shù)函數(shù); ;當(dāng)當(dāng)6464x x640640時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0,0,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(64,640)(64,640)內(nèi)為增函數(shù)內(nèi)為增函數(shù), ,所以所以f f( (x x) )在在x x=64=64處取得最小值處取得最小值, ,此時(shí)此時(shí), ,故需新建故需新建9 9個(gè)橋墩才能使個(gè)橋墩才能使y y最小最小. . ,51223x. 91646401xmn【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009江西江西) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- - x x2 2+6+6x x- -a a. . (1) (1)對于任意實(shí)數(shù)對于任意實(shí)

29、數(shù)x x, ,f f(x x)m m恒成立恒成立, ,求求m m的最大值的最大值; ; (2) (2)若方程若方程f f( (x x)=0)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根有且僅有一個(gè)實(shí)根, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. .【解題示范解題示范】 解解 (1)(1)f f(x x)=3)=3x x2 2-9-9x x+6=3(+6=3(x x-1)(-1)(x x-2),-2), 2 2分分 因?yàn)橐驗(yàn)閤 x(-,+),(-,+),f f(x x)m m, , 即即3 3x x2 2-9-9x x+(6-+(6-m m)0)0恒成立恒成立, , 4 4分分 所以所以=81-12(6-=81-12(6-m

30、 m)0,)0,得得m m 即即m m的最大值為的最大值為 6 6分分,43.4329(2)(2)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x x1 1時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0;0;當(dāng)當(dāng)1 1x x2 2時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0;0;當(dāng)當(dāng)x x2 2時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0;0;所以當(dāng)所以當(dāng)x x=1=1時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )取極大值取極大值f f(1)= -(1)= -a a; ; 9 9分分當(dāng)當(dāng)x x=2=2時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )取極小值取極小值f f(2)=2-(2)=2-a a; ; 1010分分故當(dāng)故當(dāng)f f(2)(2)0 0或或f f(1)(1)0 0時(shí)時(shí), ,方

31、程方程f f( (x x)=0)=0僅有一個(gè)實(shí)根僅有一個(gè)實(shí)根. . 解得解得a a2 2或或a a 1212分分25.251.1.若連續(xù)函數(shù)若連續(xù)函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上滿足上滿足f f( (a a)f f( (b b) )0,0, 則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上上, ,至少有一個(gè)零點(diǎn)至少有一個(gè)零點(diǎn). .但還應(yīng)但還應(yīng) 注意當(dāng)曲線與注意當(dāng)曲線與x x軸相切時(shí)軸相切時(shí), ,函數(shù)存在零點(diǎn)但不滿足該函數(shù)存在零點(diǎn)但不滿足該 點(diǎn)附近左右兩點(diǎn)函數(shù)值的積小于零；切記點(diǎn)附近左右兩點(diǎn)函數(shù)值的積小于零；切記. .2.2

32、.在解決數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問題時(shí)，一定要弄清題意，在解決數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問題時(shí)，一定要弄清題意， 分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關(guān)系理順數(shù)量關(guān)系; ;將文字語言翻譯成將文字語言翻譯成 數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言, ,再變換成符號語言再變換成符號語言, ,進(jìn)而根據(jù)題意列出相進(jìn)而根據(jù)題意列出相 應(yīng)的等式求解應(yīng)的等式求解, ,將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際 問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實(shí)際問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實(shí)際. .3.3.常見重要的數(shù)學(xué)模型有：常見重要的數(shù)學(xué)模型有：二次函數(shù)解決有關(guān)最值二次函數(shù)解決有關(guān)最值 問題；問題；分式函數(shù)模型：分式函數(shù)模型：y y= =

33、x x + (+ (x x0)0)給定區(qū)間上給定區(qū)間上 結(jié)合單調(diào)性解決最值問題結(jié)合單調(diào)性解決最值問題; ;應(yīng)用應(yīng)用y y= =N N( (H H+ +p p) )x x的模型的模型 解決有關(guān)增長率及利息等問題解決有關(guān)增長率及利息等問題. .4.4.在解決函數(shù)與方程的有關(guān)問題時(shí)，常常利用數(shù)形結(jié)在解決函數(shù)與方程的有關(guān)問題時(shí)，常常利用數(shù)形結(jié) 合思想進(jìn)行解答合思想進(jìn)行解答. . x1一、選擇題一、選擇題1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=log)=loga a( (x x+ +b b) () (a a0,0,a a1)1)的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn)(2,(2, 1), 1),其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)其反函數(shù)

34、的圖象過點(diǎn)(2,8),(2,8),則則a a+ +b b等于等于 （ ） A.6 B.5 C.4 D.3A.6 B.5 C.4 D.3解析解析 函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=log)=loga a( (x x+ +b b) () (a a0,0,a a1)1)的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn) (2,1),(2,1),其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,8),(2,8),則原函數(shù)圖象過則原函數(shù)圖象過 點(diǎn)點(diǎn)(8,2).(8,2). a a=3=3或或a a=-2(=-2(舍舍),),b b=1.=1.a a+ +b b=4.=4.,82,2)8(log1)2(log2abababaaC C2.2.客車從

35、甲地以客車從甲地以60 km/h60 km/h的速度行駛的速度行駛1 1小時(shí)到達(dá)乙地，小時(shí)到達(dá)乙地， 在乙地停留了半小時(shí)，然后以在乙地停留了半小時(shí)，然后以80 km/h80 km/h的速度行駛的速度行駛1 1 小時(shí)到達(dá)丙地小時(shí)到達(dá)丙地. .下列描述客車從甲地出發(fā)下列描述客車從甲地出發(fā), ,經(jīng)過乙地經(jīng)過乙地, , 最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s s與時(shí)間與時(shí)間t t之間的關(guān)系圖象之間的關(guān)系圖象 中中, ,正確的是正確的是 （ ）解析解析 由題意可知客車在整個(gè)過程中的路程函數(shù)由題意可知客車在整個(gè)過程中的路程函數(shù)s s( (t t) ) 的表達(dá)式為的表達(dá)式為: : 對比各選項(xiàng)的曲

36、線知應(yīng)選對比各選項(xiàng)的曲線知應(yīng)選B. B. 答案答案 B B)2523(6080)231 (60) 10(60)(tttttts3.(20083.(2008遼寧遼寧) )設(shè)設(shè)f f( (x x) )是連續(xù)的偶函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù), ,且當(dāng)且當(dāng)x x0 0時(shí)是時(shí)是 單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù), ,則滿足則滿足 的所有的所有x x之和為之和為 ( )( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 A.-3 B.3 C.-8 D.8解析解析 因?yàn)橐驗(yàn)閒 f( (x x) )是連續(xù)的偶函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù), ,且且x x0 0時(shí)是單調(diào)函時(shí)是單調(diào)函 數(shù)數(shù), ,由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若 只有兩種情只有兩種情

37、況況: : 由由知知x x2 2+3+3x x-3=0,-3=0,故兩根之和為故兩根之和為x x1 1+ +x x2 2=-3.=-3. 由由知知x x2 2+5+5x x+3=0+3=0，故其兩根之和為，故其兩根之和為x x3 3+ +x x4 4=-5.=-5. 因此滿足條件的所有因此滿足條件的所有x x之和為之和為-8. -8. )43()(xxfxf),43()(xxfxf;43xxx; 043xxxC C4.4.若函數(shù)若函數(shù)y y= =f f( (x x) () (x xR)R)滿足滿足f f( (x x+2)=+2)=f f( (x x),),且且x x-1,1-1,1 時(shí)時(shí), ,

38、f f( (x x)=|)=|x x|,|,則函數(shù)則函數(shù)F F( (x x)=)=f f( (x x)-|log)-|log5 5| |x x|的零點(diǎn)的個(gè)的零點(diǎn)的個(gè) 數(shù)是數(shù)是 （ ） A.5 B.6 C.10 D.12A.5 B.6 C.10 D.12解析解析 因因f f( (x x+2)=+2)=f f( (x x),),所以所以f f( (x x) )是以是以2 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), , 且且x x-1,1-1,1時(shí)時(shí), ,f f( (x x)=|)=|x x|,|,在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù) f f( (x x) )及函數(shù)及函數(shù)y y=|log=|log5 5|

39、 |x x|的圖象，則兩圖象的交點(diǎn)個(gè)的圖象，則兩圖象的交點(diǎn)個(gè) 數(shù)數(shù), ,即為函數(shù)即為函數(shù)F F( (x x)=)=f f( (x x)-|log)-|log5 5| |x x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). . C C5.(20085.(2008陜西陜西) )定義在定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)f f( (x x) )滿足滿足f f( (x x+ +y y)=)=f f( (x x) ) + +f f( (y y)+2)+2xyxy( (x x, ,y yR),R),f f(1)=2,(1)=2,則則f f(-3)(-3)等于等于 ( )( ) A.2 B.3 C.6 D.9 A.2 B.3 C.6

40、 D.9解析解析 f f(1)=(1)=f f(0+1)=(0+1)=f f(0)+(0)+f f(1)+2(1)+20 01 1 = =f f(0)+(0)+f f(1),(1),f f(0)=0.(0)=0. f f(0)=(0)=f f(-1+1)=(-1+1)=f f(-1)+(-1)+f f(1)+2(1)+2(-1)(-1)1 1 = =f f(-1)+(-1)+f f(1)-2,(1)-2,f f(-1)=0.(-1)=0. f f(-1)=(-1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-2)+(-2)+f f(1)+2(1)+2(-2)(-2)1 1 = =f f(-2)

41、+(-2)+f f(1)-4,(1)-4,f f(-2)=2. (-2)=2. f f(-2)=(-2)=f f(-3+1)=(-3+1)=f f(-3)+(-3)+f f(1)+2(1)+2(-3)(-3)1 1 = =f f(-3)+(-3)+f f(1)-6,(1)-6,f f(-3)=6. (-3)=6. C C6.6.已知圓已知圓C C: :x x2 2+ +y y2 2=4 (=4 (x x00，y y0)0)與函數(shù)與函數(shù)f f( (x x)=log)=log2 2x x， g g( (x x)=2)=2x x的圖象分別交于的圖象分別交于A A( (x x1 1, ,y y1 1)

42、,),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),則則 等于等于 ( )( ) A.16 B.8 C.4 D.2 A.16 B.8 C.4 D.2解析解析 由題意可知由題意可知: :其函數(shù)圖象其函數(shù)圖象 如右圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)如右圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)f f( (x x) )， g g( (x x) )互為反函數(shù)所以其圖象關(guān)互為反函數(shù)所以其圖象關(guān) 于直線于直線l l: :x x- -y y=0=0對稱，因交點(diǎn)為對稱，因交點(diǎn)為 A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),所以所以x x2 2= =y y1 1. . 即即2221xx . 42

43、1212221yxxxC C二、填空題二、填空題7.7.已知函數(shù)已知函數(shù) 且且f f(2)=(2)=f f(0),(0),f f(3)(3) = 9,= 9,則關(guān)于則關(guān)于x x的方程的方程f f( (x x)=)=x x的解的個(gè)數(shù)為的解的個(gè)數(shù)為_._.解析解析 由由f f(2)=(2)=f f(0),(0),得得b b=-4,=-4,再由再由f f(3)=9,(3)=9,得得c c=3,=3,當(dāng)當(dāng)x x00時(shí)時(shí), ,f f( (x x)=)=x x, ,即即2 2x x2 2-5-5x x+3=0,+3=0,解得解得x x= = 或或x x=1;=1;當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)時(shí),3=,3=x x方程

44、無解方程無解. . ,)0(3)0(2)(2xxcbxxxf,)0(3)0(342)(2xxxxxf232 28.8.關(guān)于關(guān)于x x方程方程| |x x2 2-4-4x x+3|-+3|-a a= =x x有有3 3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí) 數(shù)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.解析解析 因原方程可整理為因原方程可整理為|(|(x x-2)-2)2 2-1|=-1|=x x+ +a a，在同一坐，在同一坐 標(biāo)系下畫出函數(shù)標(biāo)系下畫出函數(shù)f f( (x x)=|()=|(x x-2)-2)2 2-1|-1|及及y y= =x x+ +a a的圖象，由的圖象，由 圖象可知：圖象可

45、知： 當(dāng)當(dāng)a a=-1=-1時(shí)，原方程有時(shí)，原方程有3 3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 消去消去y y，令，令=0,=0,得得 綜上可知綜上可知: :a a=-1=-1或或)34(2xxyaxy由;43a.43a43, 19.9.某地區(qū)預(yù)計(jì)某地區(qū)預(yù)計(jì)20092009年的前年的前x x個(gè)月內(nèi)對某種商品的需求個(gè)月內(nèi)對某種商品的需求 總量總量f f( (x x)()(萬件萬件) )與月份與月份x x的近似關(guān)系式是的近似關(guān)系式是f f( (x x)=)= x x( (x x+1)(19-+1)(19-x x) () (x xNN* *,1,1x x12),12),若若20092009年的第年的第

46、x x月份的需求量月份的需求量g g( (x x)()(萬件萬件) )最大最大, ,則則x x的值是的值是_._.解析解析 由題意可知：由題意可知： g g( (x x)=)=f f( (x x)-)-f f( (x x-1)-1) = = x x( (x x+1)(19-+1)(19-x x)-()-(x x-1)-1)x x(20-(20-x x) 此時(shí)此時(shí)x x=6=6或或7. 7. 751751,1001692)13(251)13(2512xxxx6 6或或7 710.10.f f( (x x) )是定義在是定義在R R上的以上的以3 3為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù), ,且且f f(2

47、)=0,(2)=0, 則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最小值是內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最小值是 _._.解析解析 由題意可得由題意可得: :f f(4)=(4)=f f(1)=(1)=f f(-2)=(-2)=f f(2)=(2)=f f(5)(5)， f f(0)=(0)=f f(3)=(3)=f f(6)=0,(6)=0, 即在區(qū)間即在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)內(nèi)f f( (x x)=0)=0的解的個(gè)數(shù)是的解的個(gè)數(shù)是5 5； 又又f f( (x x+3)=+3)=f f( (x x),),令令x x= = 所以在區(qū)間所以在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)解

48、的個(gè)數(shù)的最小值是內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是7. 7. ,23, 0)29(. 0)23(),23()23()23(fffff則即則7 7三、解答題三、解答題11.11.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c, ,且且f f(1)= ,3(1)= ,3a a22c c22b b, ,求證求證: :(2)(2)設(shè)設(shè)x x1 1，x x2 2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的兩個(gè)零點(diǎn)，則的兩個(gè)零點(diǎn)，則證明證明 (1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閒 f(1)= ,(1)= ,則則3 3a a+2+2b b+2+2c c=0,=0, 又又3 3a a22c c22b b, ,所以

49、所以2a;4330) 1 (aba且.457|221xx2a.00,0609baba即.4330,043026abababa且所以同理(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閤 x1 1, ,x x2 2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的兩個(gè)零點(diǎn)的兩個(gè)零點(diǎn), , 即即x x1 1, ,x x2 2是方程是方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的兩根的兩根, , .457|2,433,2)2()23(4)(|,4)()(|.23,21222121221221212121xxababababxxxxxxxxxxabacxxabxx所以又所以又所以12.12.（20082008江蘇）某地有三家工廠，分

50、別位于矩形江蘇）某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCDABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A A，B B及及CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn)P P處，已知處，已知ABAB=20 km,=20 km, CBCB=10 km=10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形 ABCDABCD的區(qū)域上的區(qū)域上( (含邊界含邊界),),且與且與A A，B B等距離的一點(diǎn)等距離的一點(diǎn)O O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AOAO，BOBO， OPOP，設(shè)排污管道的總長為，設(shè)排污管道的總長為y y km. km. (1) (1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：按下

51、列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)設(shè)BAOBAO= = （radrad），將），將y y表示成表示成 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 設(shè)設(shè)OPOP= =x x(km),(km),將將y y表示成表示成x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 (2)(2)請你選用請你選用(1)(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處 理廠的位置，使三條排污管道總長度最短理廠的位置，使三條排污管道總長度最短. . 解解 (1)(1)由條件知由條件知PQPQ垂直平分垂直平分ABAB, ,).40(10cossin1020,tan1010cos10cos10,tan1010.cos10,cos10cos),rad(

52、yOPOBOAyOPOBBAOAQOABAO故所求函數(shù)關(guān)系式為所以又故則若若若OPOP= =x x (km), (km),則則OQOQ=(10-=(10-x x) (km),) (km),故所求函數(shù)關(guān)系式為故所求函數(shù)關(guān)系式為(2)(2)選擇函數(shù)模型選擇函數(shù)模型, , .2002010)10(222xxxOBOA所以).100(2002022xxxxy.6,40,21sin, 0,cos) 1sin2(10cos)sin)(sin1020(coscos1022所以因?yàn)榈昧顈y這時(shí)點(diǎn)這時(shí)點(diǎn)O O位于線段位于線段QBQB中垂線上中垂線上, ,且距離且距離ABAB邊邊 kmkm處處. .).km)(10310(1023211020,6;, 0,)4,6(;, 0,)6, 0(minyyyyy時(shí)所以當(dāng)?shù)脑龊瘮?shù)是時(shí)當(dāng)?shù)臏p函數(shù)是時(shí)當(dāng)3310返回