福建省長泰一中高中數(shù)學(xué) 3.1.2《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》課件 新人教A版選修11

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1、新人教版選修1-1全套課件3.1.2導(dǎo)數(shù)的幾導(dǎo)數(shù)的幾何意義何意義先來復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念先來復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念 定義定義：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處及其附近有定義處及其附近有定義,當(dāng)當(dāng)自變量自變量x在點在點x0處有改變量處有改變量x時函數(shù)有相應(yīng)的改變量時函數(shù)有相應(yīng)的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)如果當(dāng)x0 時時,y/x的極限的極限存在存在,這個極限就叫做函數(shù)這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(或變化或變化率率)記作記作 即即:,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 瞬時速度就是位移函數(shù)瞬時速度就是

2、位移函數(shù)s(t)對時間對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 是函數(shù)是函數(shù)f(x)在以在以x0與與x0+x 為端點的區(qū)間為端點的區(qū)間x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均變化平均變化率率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f(x)在點在點x0 處的處的變化率變化率,它反映了函它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度 xxfxxfxy )()(00 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點在點x=x0存在導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù),就說函數(shù)就說函數(shù)y=f(x)在點在點x0處處可導(dǎo)可導(dǎo),如果極限不存在如果極限不存在,就說函數(shù)就說函數(shù) f(x)在點在點x0處處不可導(dǎo)不可導(dǎo).0000( )()()limx

3、xf xf xfxxx思考一下，導(dǎo)數(shù)可以用下式表示嗎？ 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

4、y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上的上的任意一點任意一點,Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近一點鄰近一點,PQ為為C的割線的割線,PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的傾斜角傾斜角.tan,: xyyMQxMP則則yx請問：是割線PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T請看當(dāng)點請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點P接近時接近時,割線割線PQ繞著點繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x

5、0時時,割線割線PQ有一個極限位置有一個極限位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲稱為曲線在點線在點P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線PQ的的斜率斜率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.

6、QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點處的切線方程的基本步驟的基本步驟:先利用切線斜率先利用切線斜率的定義求出切線的斜率的定義求出切線的斜率,然后然后利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上上一一點點 yx-2-112-2-112

7、34OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 數(shù)在 點處 的 導(dǎo) 數(shù)等 于 函 數(shù)的 導(dǎo) 函 數(shù)在 點

8、處 的 函 數(shù) 值 什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)當(dāng)時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx

9、看一個例子:下面把前面知識小結(jié)下面把前面知識小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物學(xué)表達(dá)式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了解認(rèn)識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全理意義了解認(rèn)識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全 過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。 b.要切實掌握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：要切實掌握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增）求函數(shù)的增 量；量；（2）求平均變化率；）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。）取極限，得導(dǎo)數(shù)。（3）函

10、數(shù)）函數(shù)f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點求函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變

11、數(shù)。c.弄清弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點）求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：小結(jié): 無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解基本思想，丟掉極限思想就無法理解導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)概念。數(shù)概念。作業(yè):P87 A組 4,5,6.(其中6題作在書上)第二教材 P72 4,5,6