【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻(xiàn)綜述 開(kāi)題報(bào)告】幾類(lèi)常微分方程典型的解法

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1、【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】幾類(lèi)常微分方程典型的解法 （20屆）本科畢業(yè)論文幾類(lèi)常微分方程典型的解法摘要:自然界中很多事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用微分方程來(lái)刻畫(huà),微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法.在我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在著各式各樣的微分方程,常微分方程是其比較重要的存在形式.常微分方程作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具,因此對(duì)常微分方程進(jìn)行求解有一定的必要性.本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及相關(guān)應(yīng)用.關(guān)鍵詞:常微分方程;變量分離;積分因子;伯努利方程The Solution to Several Kin

2、ds of Differential Equations Abstract: Many things in natures law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the dif

3、ferential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool that people solve practical problems. Therefor

4、e it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications. Key words: Ordinary Differential Equations; Separation of Variables; Integrating Factor; Bernoulli Equation目 錄1 緒論11.1 論文選題的背景

5、、意義11.2 常微分方程的發(fā)展動(dòng)態(tài)22 幾類(lèi)常微分方程的一般解法52.1 微分方程及其解的定義52.2 變量分離法72.3 變量代換法92.4 常數(shù)變易法153 幾類(lèi)常微分方程的特殊解法193.1 湊全微分法193.2 積分因子法214 幾類(lèi)解法在伯努利方程中的應(yīng)用254.1 伯努利方程的由來(lái)254.2 伯努利方程的求解264.2.1 變量分離法264.2.2 變量代換法274.2.3 常數(shù)變易法284.2.4 部分湊微分法295 結(jié)束語(yǔ)306 致謝317 參考文獻(xiàn)32緒論論文選題的背景、意義自然界中很多事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用常微分方程來(lái)刻畫(huà),常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)

6、的演變規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法.常微分方程理論研究已經(jīng)有300百年的歷史,當(dāng)牛頓 Newton,1642-1727 、萊布尼茲 Leibniz,1646-1716 創(chuàng)立了微積分以后,數(shù)學(xué)家便開(kāi)始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來(lái)愈多的物理問(wèn)題,但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對(duì)付一類(lèi)新的更復(fù)雜的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決,要解決這類(lèi)問(wèn)題需要專(zhuān)門(mén)的技術(shù),這樣,微分方程這門(mén)學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.微分方程,是一個(gè)有長(zhǎng)期歷史,而又正在不斷發(fā)展的學(xué)科;是一個(gè)既有理論研究意義,又有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科;是一個(gè)既得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持,又為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù)的學(xué)科,是一個(gè)表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科,又是一

7、個(gè)數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科.“300年來(lái)分析是數(shù)學(xué)里首要的分支,而微分方程又是分析的心臟.這是初等微積分的天然后繼課,又是為了了解物理科學(xué)的一門(mén)最重要的數(shù)學(xué),而且在它所產(chǎn)生的較深的問(wèn)題中,它又是高等分析里最大部分思想和理論的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此評(píng)價(jià)微分方程在數(shù)學(xué)中的地位1.常微分方程的發(fā)展極大地推動(dòng)了自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的發(fā)展.到今天它已廣泛地滲透到了物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域,反過(guò)來(lái)這些領(lǐng)域中提出的實(shí)際問(wèn)題也推動(dòng)了微分方程的進(jìn)一步深化,使之成為當(dāng)今經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步所不可或缺的一門(mén)技術(shù).數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常

8、微分方程的發(fā)展以深刻的影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.現(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等.這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題. 但是,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的“求通解”到“求解定解問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出微分方程的解是十分重要的.應(yīng)該說(shuō),應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就,但是,它的現(xiàn)有的理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足需要,還有待于進(jìn)一步的發(fā)展,使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善2.本文主要總結(jié)了幾種

9、常微分方程的典型解法及其相關(guān)應(yīng)用.常微分方程的發(fā)展動(dòng)態(tài)常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門(mén)理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.常微分的發(fā)展主要可以分為四個(gè)階段:常微分的經(jīng)典階段-以通解為主要研究?jī)?nèi)容、常微分方程的適定性理論階段-以定解問(wèn)題的適定性理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的解析理論階段-以解析理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的定性理論階段-以定性與穩(wěn)定性理論為研究?jī)?nèi)容3.盡管在耐皮爾 John Napier,1550-1617 所創(chuàng)立的對(duì)數(shù)理論及達(dá)芬奇提出的餓狼撲兔問(wèn)題中都已涉及到微分方程發(fā)展的思想萌芽,但微分方程作為一門(mén)學(xué)科是伴隨著微積分的形成而產(chǎn)生的. 1676年,萊布尼茲在給牛頓的通信中

10、,第一次提出“微分方程”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞.17世紀(jì)到18世紀(jì)是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典階段,以求通解為主要內(nèi)容. 牛頓和萊布尼茲在建立微分方程與積分運(yùn)算時(shí)就指出了它們的互逆性,實(shí)際上是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程的求解問(wèn)題.此外,牛頓、萊布尼茲也都應(yīng)用了無(wú)窮級(jí)數(shù)和待定系數(shù)法解出了某些初等微分方程3.萊布尼茲最早使用變量分離法解微分方程.他用這種方法解決了形如的方程,同一年,他又用變量分離法解出了一階齊次方程.在17世紀(jì),作為微積分的一部分,微分方程跟微積分彼此不分.到了18世紀(jì),由于天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)的需要,同時(shí)也因?yàn)橐鉀Q許多較為復(fù)雜的問(wèn)題,需要專(zhuān)門(mén)的技術(shù),這樣,微分方程開(kāi)始成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科而存在.在

11、1734-1735年的論文中,歐拉提出了全微分方程,即方程中的是某個(gè)函數(shù)的恰當(dāng)微分,并給出所給方程的全微分條件.他確立了可采用積分因子的方程類(lèi)型,證明了凡是分離變量的方程,均可以用積分因子方法求解,還證明了如果知道了任何一個(gè)常微分方程的兩個(gè)積分因子,那么令他們的比等于常數(shù),就是微分方程的一個(gè)通解. 1743-1751年,歐拉又將積分因子法推廣到高階方程,并通過(guò)特征方程法和降階法解決了常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程和非齊次的階線(xiàn)性常微分方程,并利用變換提出歐拉方程4.19世紀(jì)是微分方程嚴(yán)格理論的奠定時(shí)期,此階段為常微分方程發(fā)展的適定性理論階段,人們從求通解的熱潮轉(zhuǎn)向研究常微分方程的適定性理論.18世紀(jì)以后不

12、斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問(wèn)題,如里卡蒂方程求解問(wèn)題,使數(shù)學(xué)家招架不住了,于是轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥?wèn)題的思考.第一個(gè)考慮微分方程解的存在性的是柯西 A.Cauchy,1789-1857 ,19世紀(jì)20年代,他建立了柯西問(wèn)題解的存在唯一性定理.1873年,德國(guó)數(shù)學(xué)家李普希茲 Rudolph Lipschitz.1832-1903 提出著名的“李普希茲條件”,對(duì)柯西的存在唯一性定理做了改進(jìn).在適定性理論的研究中,與柯西、李普希茲同一時(shí)期的還有皮亞拿與皮卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求在點(diǎn)領(lǐng)域連續(xù)的條件下證明了柯西問(wèn)題解的存在性.后來(lái)這方面的理論有了很大

13、的發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性和可微性、奇解等,這些問(wèn)題是微分方程的一般基礎(chǔ)理論問(wèn)題3.19世紀(jì)為常微分方程發(fā)展的解析理論階段,這一階段的主要理論結(jié)果是微分方程的解析理論,運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和廣義冪級(jí)數(shù)解法,求出一些重要的二階線(xiàn)性方程的級(jí)數(shù)解,并得到及其重要的一些函數(shù).1826年,貝塞爾研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí),開(kāi)始系統(tǒng)地研究貝塞爾方程,貝塞爾得出了此方程的兩個(gè)級(jí)數(shù)解,分別稱(chēng)為第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)和第二類(lèi)貝塞爾函數(shù).另一個(gè)重要內(nèi)容是勒讓德方程的級(jí)數(shù)解和勒讓德多項(xiàng)式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒讓德方程,并且給出了冪級(jí)數(shù)解的

14、形式.高斯研究了高斯幾何方程,并且得到了級(jí)數(shù)解,同時(shí),他還建立了公式,并指出對(duì)不同值,此級(jí)數(shù)包括了幾乎所有的初等函數(shù)和類(lèi)似貝塞爾函數(shù)的特征函數(shù).在19世紀(jì)后半葉,天體力學(xué)及其他技術(shù)科學(xué)提出的一些問(wèn)題中,需要研究比較復(fù)雜的微分方程的解的局部和全局性質(zhì).但由于絕大多數(shù)的這種方程不能用初等函數(shù)的積分表達(dá)通解,因此學(xué)者們考慮直接根據(jù)微分方程的結(jié)構(gòu)來(lái)研究微分方程解的屬性.為此,法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊 Henri Poincare,1854-1912 就開(kāi)始了微分方程的定性研究,從1881年起,龐加萊獨(dú)創(chuàng)出微分方程的定性理論.此后,為了尋求只通過(guò)考察微分方程本身就可以問(wèn)答關(guān)于穩(wěn)定性等問(wèn)題的方法,他從非線(xiàn)性方程出

15、發(fā),發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)起關(guān)鍵作用,并把奇點(diǎn)分為四類(lèi) 焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心 ,討論了解在各個(gè)奇點(diǎn)附近的性狀.龐加萊關(guān)于常微分方程定性理論的一系列課題,成為動(dòng)力系統(tǒng)地開(kāi)端.常微分方程定性理論中另一個(gè)重要領(lǐng)域是1892年由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫 1857-1918 創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論.李雅普諾夫在他的博士論文運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題中創(chuàng)造了兩種新方法;首創(chuàng)了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一半理論.到1937年數(shù)學(xué)家龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念,且嚴(yán)格證明了其充要條件,使動(dòng)力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化.穩(wěn)定性理論在美國(guó)迅速地變成訓(xùn)練自動(dòng)控制方面的工程師的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)部分.目前,穩(wěn)定性理論的方法結(jié)果已經(jīng)推廣到泛函微分方程、隨機(jī)微分

16、方程、偏微分方程以及動(dòng)力系統(tǒng)中去.同時(shí),在自動(dòng)控制系統(tǒng)、電子技術(shù)、衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)、大型動(dòng)力系統(tǒng)以及生態(tài)學(xué)等新技術(shù)、新領(lǐng)域中均有重要的應(yīng)用.二十世紀(jì)自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的發(fā)展,一個(gè)顯著的特點(diǎn)是多學(xué)科的互相滲透,數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透更為普遍和突出.常微分方程作為數(shù)學(xué)模型廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、生理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域,如:傳染病模型5、兩生物種群生態(tài)模型6、人口模型6等.與此同時(shí),國(guó)內(nèi)一些定性理論工作者在80年代迅速轉(zhuǎn)向生物學(xué),開(kāi)展生物微分方程的研究,做出了有意義的成果6,一些穩(wěn)定性理論工作者在70年代末期開(kāi)展了泛函微分方程的研究,李森林等著的泛函微分方程總結(jié)了他們近期的工作.同時(shí)還

17、有不少人從事研究離散動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性、大型控制系統(tǒng)等.微分方程是一門(mén)十分有用又十分有魅力的學(xué)科,自1693年微分方程概念的提出到動(dòng)力系統(tǒng)地長(zhǎng)足發(fā)展,常微分方程經(jīng)歷漫長(zhǎng)而又迅速地發(fā)展,極大豐富了數(shù)學(xué)家園的內(nèi)容.物理、化學(xué)、航空航天、經(jīng)濟(jì)、天文、自動(dòng)控制和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以用微分方程來(lái)描述,如萬(wàn)有引力定律、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反過(guò)程穩(wěn)定性的研究、人口發(fā)展規(guī)律、疾病傳染、股票的漲跌趨勢(shì)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等,對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究.因此,常微分方程的理論研究和方法不

18、僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué),而且越來(lái)越多地應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.隨著社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和需求,常微分方程會(huì)有更大的發(fā)展,比如偏微分方程的迅速發(fā)展.可以預(yù)測(cè):隨著依賴(lài)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展,常微分方程還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展.幾類(lèi)常微分方程的一般解法微分方程及其解的定義在初等數(shù)學(xué)里已經(jīng)學(xué)過(guò)方程，形如 ,等都是方程，其中是未知量，它們的解是某個(gè)特定的值也見(jiàn)過(guò)另一類(lèi)方程，例如， ，等，這里若為自變量，則和就是未知函數(shù)，它們的解是的函數(shù)，這種方程稱(chēng)為函數(shù)方程本文研究的是另一類(lèi)方程，是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，這種方程稱(chēng)為微分方程其中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如 ， 2-1 ， 2-2 ， 2-3

19、 ， 2-4 ， 2-5 ， 2-6 ， 2-7 等等都是微分方程7定義2.18在微分方程中，自變量個(gè)數(shù)只有一個(gè)的方程為常微分方程 ordinary differential equation,ODE 定義2.28在微分方程中，自變量個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程為偏微分方程 partial differential equation,PDE 所以，在以上的微分方程中， 2-1 2-5 式是常微分方程，自變量只有一個(gè)， 2-1 式、 2-1 式、 2-5 式的自變量為,是未知函數(shù)； 2-3 式的自變量為，是未知函數(shù)； 2-4 式的自變量為，為未知函數(shù) 2-6 式、 2-7 式是偏微分方程,自變

20、量有兩個(gè)及兩個(gè)以上，在 2-6 中自變量是，在 2-7 中自變量是,未知函數(shù)均為定義2.38微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階數(shù)例如方程 2-1 、 2-2 、 2-3 都是一階方程, 2-4 、 2-6 、 2-7 都是二階方程， 2-5 是階方程定義2.4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且有一直到階的各階導(dǎo)數(shù)，使得 2-8 則稱(chēng)函數(shù)為方程 2-9 的解8定義把含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱(chēng)為階方程 2-9 的通解為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通常給出這個(gè)解鎖必須的條件,這就是所謂的定解條件常見(jiàn)的定解條件是初值條件和邊值條件所謂階微分方程 2-9 的初值條件是指如下個(gè)條件：當(dāng)時(shí)，, 2-

21、10 這里是給定的個(gè)常數(shù)初值條件 2-10 有時(shí)可以寫(xiě)為. 2-11 滿(mǎn)足初值條件的解稱(chēng)為微分方程的特解8變量分離法形如 2-12 的方程，稱(chēng)為變量可分離方程，其特點(diǎn)是右端為僅含有的函數(shù)和僅含有的函數(shù)的乘積9例如方程，都是變量分離方程設(shè)，分別是，的連續(xù)函數(shù)，我們分兩種情況進(jìn)行討論若，先分離變量，方程兩邊同除以，乘以，把方程 2-12 化為 2-13 然后，兩邊分別對(duì)和積分，得 2-14 令，則式 2-14 可寫(xiě)成， 2-15 這里是任意常數(shù)等式 2-15 是方程 2-12 的通解 通積分 2 若有實(shí)數(shù)，使得，則把函數(shù) 常值函數(shù) 代入方程 2-12 直接驗(yàn)證，可知也是方程 2-12 的解上述討論

22、說(shuō)明，為了求解方程 2-12 ，關(guān)鍵在于使變量和分離出來(lái)，使得的系數(shù)僅是的函數(shù)，的系數(shù)僅是的函數(shù)，從而就可以通過(guò)各自積分求得其通積分，這種方法就是變量分離法9這里需要指出的是：當(dāng)時(shí)，方程 2-12 與隱函數(shù)方程 2-15 是等價(jià)的，即方程 2-12 和 2-15 的解集相同由此,我們可以看出，變量分離方程的求解思路主要分為三步： 1 分離變量， 2 對(duì)方程兩邊同時(shí)積分并整理得通解， 3 由初始條件求方程的特解10求解方程 . 2-16 解 由題可知原方程時(shí)變量可分離方程 1 當(dāng)時(shí)，變量分離可得等式兩邊積分，有整理得 ， 2-17 其中是任意非零常數(shù) 2 另外，經(jīng)檢查，也是方程 2-16 的解而

23、只要我們?cè)试S上式中的可取零值，則就可被包含在上式 2-17 中 它對(duì)應(yīng) 的解，因此，方程 2-16 的通解為，為任意常數(shù)求解方程解 由題可知原方程是變量可分離方程將方程變形為變量分離可得等式兩邊積分，有整理得即，這里是任意常數(shù)變量代換法一些方程，常?？梢酝ㄟ^(guò)引入適當(dāng)變量代換，化為變量已分離型方程或是其他已知解法的方程我們通過(guò)兩種方程來(lái)介紹變量代換法：我們稱(chēng)形如 2-18 的方程為齊次方程，其中為的連續(xù)函數(shù)顯然作為的函數(shù)是零次齊次的，例如方程，都是齊次方程求解齊次方程的關(guān)鍵是對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行變量替換，亦即用一個(gè)新的未知函數(shù)代替原來(lái)的未知函數(shù)，將方程 2-18 化成變量分離方程利用變量替換來(lái)?yè)Q來(lái)解微

24、分方程是一種常用的技巧對(duì)于方程 2-18 ，我們做如下的變量替換 ， 2-19 亦即，這里是用新未知函數(shù)來(lái)代替原來(lái)的未知函數(shù)，故也是的函數(shù)，于是 2-20 將 2-19 ， 2-20 代入方程 2-18 即得；由此推出 2-21 這是一個(gè)變量分離方程，其通解為 2-22 再利用變換 2-19 可得原方程 2-18 的通解這時(shí)若存在使得，則也是 2-18 的解11求解方程解 此方程是齊次方程令，代入原方程，得即 2-23 當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩邊積分，得到整理得 2-24 另外，由，即，知方程 2-23 還有解，若在式 2-24 中允許，則這些解包含在式 2-24 之中再用換回原變量，就得到原

25、方程的通積分為，是任意常數(shù)求解方程解 方程可以改寫(xiě)為，故它是齊次方程令，則，代入原方程，得整理得 2-25 若，分離變量，得等式兩邊積分，得到 2-26 由，知方程 2-25 還有解，但是，若在式 2-26 中允許，則解包含在式 2-26 之中再用代入式 2-26 ，得到原方程的通積分為，為任意常數(shù)另外，由可得解形如 2-27 的方程也可經(jīng)過(guò)變量替換化為變量分離方程，這里均為常數(shù)對(duì)于這種方程，我們分三種情形來(lái)討論： 常數(shù) 情形這時(shí)方程化為，有通解為， c為任意常數(shù) 情形即，令，這時(shí)有，這是一個(gè)變量分離方程，我們可以用變量分離法求得它的解 情形即，若不全為0，這時(shí)可做變換，從而所求方程變?yōu)?，這也

26、是一個(gè)變量分離方程，可通過(guò)變量分離法求解若，則可取變換，再用變量分離法求得8求解方程 2-28 解 容易看出，方程 2-28 是屬于上面的情形，因此先求出方程組，的解為令，代入方程 2-28 ，則有 ， 2-29 再令，即，則 2-29 化為，等式兩邊積分，得，因此，記，并代回原變量，得，此外，容易驗(yàn)證，即也是方程 2-29 的解，因此方程 2-28 的通解為，其中為任意常數(shù)求解方程 2-30 解 解方程組，得令，代入方程 2-30 ，則有 2-31 再令，即，則方程 2-31 化為解此方程，得將換成，得故原方程的通積分為，為任意常數(shù)常數(shù)變易法一階線(xiàn)性微分方程 ， 2-32 其中，在考慮的區(qū)間

27、內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)若 0，則 2-32 式變?yōu)?， 2-33 為一階齊次線(xiàn)性微分方程若，則 2-32 為一階非齊次線(xiàn)性微分方程 1 首先對(duì)齊次線(xiàn)性微分方程 2-33 式進(jìn)行求解，其中是連續(xù)函數(shù)將 2-33 式變量分離，得到 ，兩邊積分，得 為任意常數(shù) 由對(duì)數(shù)定義，即有 ，即 ，令，得到 2-34 2 再討論非齊次線(xiàn)性微分方程 2-32 式通解的求法不難看出， 2-33 是 2-32 的特殊情形，可以設(shè)想：在 2-34 中,將常數(shù)變易為的待定函數(shù)令 ， 2-35 對(duì)其求導(dǎo)，得 2-36 以 2-35 ， 2-36 代入 2-32 ，得到 ，即，積分后得到 ， 為任意常數(shù) 將上式代入 2-35 ，得到

28、方程 2-32 的通解 2-37 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法,我們通常稱(chēng)為常數(shù)變易法8求解方程，這里是常數(shù)解 將方程改寫(xiě)為 2-38 先求解齊次線(xiàn)性微分方程的通解，從得到齊次線(xiàn)性微分方程的通解 2 應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊次線(xiàn)性微分方程的通解為此，在上式中把看成為的待定函數(shù)，即 ， 2-39 微分之，得到 2-40 以 2-39 及 2-40 代入 2-38 ，得到，積分之,求得因此，以所求的代入 2-39 ，即得原方程的通解，這里是任意常數(shù)求解方程解 將方程改寫(xiě)為 2-41 先求齊次線(xiàn)性微分方程的通解分離變量并積分之，得令是方程 2-41 的解，將它代入方程 2-41 ，得到即，積分之，得因

29、此，原方程的通解為,是任意常數(shù)幾類(lèi)常微分方程的特殊解法湊全微分法我們可以將一階方程寫(xiě)成微分的形式，或把平等看待，寫(xiě)成下面具有對(duì)稱(chēng)形式的一階微分方程 ， 3-1 這里假設(shè)在某矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)這樣的形式有時(shí)便于探求方程的通解如果方程 3-1 的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即 ， 3-2 則稱(chēng) 3-1 為恰當(dāng)微分方程 全微分方程 容易驗(yàn)證， 3-1 的通解就是，這里是任意常數(shù)方程 3-1 是恰當(dāng)方程的充要條件是 ， 3-3 且方程 3-1 的通解就是6.對(duì)一些恰當(dāng)微分方程，為了求出相應(yīng)的全微分方程的原函數(shù)，可以采用分組湊微分法來(lái)求解即把方程左端的各項(xiàng)重新進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合

30、，使得每組的原函數(shù)容易由觀察求得，從而求得，這種方法更為簡(jiǎn)便“湊全微分”這一步驟，要求我們非常熟悉一些常用的全微分公式，例如：，試用湊微分法求解方程解 因?yàn)?，所以此方程是恰當(dāng)微分方程將方程重新“分項(xiàng)組合”，得到，即，于是，即所以，方程的通解為這里是任意常數(shù)試用湊微分法求解方程解 因?yàn)?，所以此方程是恰?dāng)微分方程將方程重新“分項(xiàng)組合”，得到，即，即，所以，方程的通解為這里是任意常數(shù)積分因子法我們已經(jīng)知道了全微分方程的解法，某些例如的方程雖然不是全微分方程，但是可以設(shè)法將它們化為全微分方程例如，方程不是全微分方程，但用函數(shù)乘該方程后，它變?yōu)榱巳⒎址匠?，其左端的原函?shù)為一般來(lái)說(shuō)，若方程 3-1 不

31、是全微分方程，但是存在連續(xù)可微函數(shù)，用它乘以方程 3-1 后，能使方程 ， 3-4 成為全微分方程，則稱(chēng)為方程 3-1 的一個(gè)積分因子這時(shí)，是 3-4 的通解，因而也是 3-1 的通解需要注意的是，一個(gè)方程的積分因子不是唯一的根據(jù)3.1，函數(shù)為 3-1 的積分因子的充要條件是，即 ， 3-5 這是一個(gè)以為未知函數(shù)的一階線(xiàn)性偏微分方程要想通過(guò)解方程 3-5 來(lái)求積分因子，從而得到方程 3-1 的解，在一般情況下，將比求解方程 3-1 本身更難但是，在特殊情形中，求方程 3-5 的一個(gè)特解還是很容易的例如，對(duì)于方程 3-1 ，如果存在只與有關(guān)的積分因子，則，這時(shí)方程 3-5 變成，即 3-6 由此

32、可知，方程 3-1 有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是 ， 3-7 這里僅為的函數(shù)假如條件 3-7 成立，則根據(jù)方程 3-6 ，可以求得方程 3-1 的一個(gè)積分因子 3-8 同樣， 3-1 有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里僅為的函數(shù)從而求得方程 3-1 的積分因子8試用積分因子法求解方程解 因?yàn)?，兩者不等，它不是恰當(dāng)方程注意到，它只與有關(guān)，所以方程只有積分因子以乘原方程，整理得，這顯然是一個(gè)恰當(dāng)方程，通積分是試用積分因子法求解方程解 因?yàn)?，兩者不等，它不是恰?dāng)方程注意到它只與有關(guān)，所以方程只有積分因子以乘以原方程，整理得，這顯然是一個(gè)恰當(dāng)方程，通積分是幾類(lèi)解法在伯努利方程中的應(yīng)用伯努利方

33、程的由來(lái)17世紀(jì)由牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學(xué)的研究提供了強(qiáng)有力的工具此后的大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意力，都被這有著無(wú)限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引盡管微積分興起的初期還存在著一些邏輯上的缺陷，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家則暫時(shí)擱下邏輯基礎(chǔ)不顧，勇往直前地去開(kāi)辟新的園地，如伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏爾斯特拉斯等人自從微積分被創(chuàng)立,很多數(shù)學(xué)家就用微積分這一工具去解決問(wèn)題但是，他們發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決，而是需要其他的技術(shù)，所以，微分方程也就誕生了對(duì)于微分方程的產(chǎn)生于發(fā)展，伯努利家族做出了巨大的貢獻(xiàn)在引言中提到的“等時(shí)問(wèn)題”，雅各布?伯努利將其歸結(jié)為求一個(gè)微分方程的解，他認(rèn)為這個(gè)微分等式兩端的積

34、分必須相等，并給出解答，這是一條擺線(xiàn)在給出這個(gè)問(wèn)題解答的同一篇論文中，雅各布?伯努利提出了一個(gè)新的問(wèn)題：一根柔軟而不能伸長(zhǎng)的弦自由懸掛于兩固定點(diǎn)，求這個(gè)弦所形成的曲線(xiàn)萊布尼茲稱(chēng)此曲線(xiàn)為懸鏈線(xiàn)問(wèn)題提出一年后，萊布尼茲、惠根斯和約翰?伯努利分別給出了解答對(duì)此，約翰感到莫大的驕傲，他認(rèn)為這是勝過(guò)哥哥的一個(gè)重要標(biāo)志，因?yàn)樗母绺绫M管提出這個(gè)問(wèn)題，但不能解決在這兩兄弟的互相競(jìng)賽中，在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性軟繩以及在每一點(diǎn)上的作用力都指向一個(gè)固定中心的細(xì)繩所形成的問(wèn)題在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，他們總結(jié)出了解微分方程的變量分離法12著名的伯努利微分方程

35、， 4-1 是由雅各布?伯努利于1695年提出的其中為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)而另一個(gè)伯努利方程 ， 4-2 其中為壓強(qiáng)，為流體的密度，為高度，為流速，為常數(shù)本文主要研究的是雅各布?伯努利提出的伯努利微分方程13伯努利方程的求解伯努利 Bernoulli 方程是一種特殊的一階非線(xiàn)性常微分方程，在機(jī)械工程等方面有非常廣泛的應(yīng)用對(duì)求伯努利方程通解的研究具有重要的理論意義很廣泛的應(yīng)用價(jià)值求伯努利方程解法也比較多本文主要從伯努利方程的變量分離法、變量代換法、常數(shù)變易法、湊微分法對(duì)伯努利方程進(jìn)行求解定義 形如 ， 4-3 的方程，稱(chēng)為伯努利 Bernoulli 方程14其中為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)變量分離法伯努利

36、方程是一種一階非線(xiàn)性常微分方程，變量分離法是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后將它化為一階線(xiàn)性非齊次微分方程即對(duì)于， 1 將方程 4-3 兩邊同乘以，得到 ， 4-4 變量代換 ， 4-5 從而 ， 4-6 將 4-5 ， 4-6 帶入 4-4 ，得到 ， 4-7 這是線(xiàn)性微分方程 2 所以可以求對(duì)應(yīng)齊次方程 ， 4-8 的解可得 ， 4-9 3 通過(guò)常數(shù)變易法求得一階線(xiàn)性非齊次方程 4-7 的通解，把上式中的看成為關(guān)于的待定函數(shù)，令 ， 4-10 對(duì)方程 4-10 兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得 ， 4-11 將方程 4-10 ， 4-11 代入到 4-7 并化解，得 ，對(duì)上式兩邊積分，得 ， 為任意常數(shù) 4-12 把

37、方程 4-12 代入 4-10 ，得 ， 4-13 4 最后經(jīng)變量代換得原方程的通解15，把 4-5 代入 4-13 得到原方程的解 為任意常數(shù) 此外,當(dāng)時(shí)，方程還有解變量代換法16設(shè)是伯努利方程的解，則對(duì)其求導(dǎo)得，代入伯努利方程得 ， 4-14 令，得 ， 4-15 將 4-15 代入 4-14 ，得，即，故伯努利方程的通解為常數(shù)變易法16伯努利方程對(duì)應(yīng)的一階齊次線(xiàn)性微分方程即為 2-33 式，所以其通解為所以根據(jù)上面可設(shè)， 4-16 為伯努利方程的解,有 ， 4-17 將 2-34 ， 2-37 代入伯努利方程得，即，兩端取積分，故伯努利方程的通解為部分湊微分法15現(xiàn)在給出利用部分湊微分法

38、的直接解法，此法的關(guān)鍵在于對(duì)方程中的系數(shù)的討論當(dāng)時(shí)，方程即為，為變量可分離方程,易于求解當(dāng)時(shí)，若存在函數(shù)使得方程兩端同乘以后左端成為某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則兩端積分可得伯努利方程的通解：將方程兩端同乘以乘以，得到，若存在，從而有其中，所以有，所以， ，故原方程的通解為結(jié)束語(yǔ)數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)不僅擁有真理，而且擁有至高無(wú)上的美常微分方程是指包含一個(gè)自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的微分的等式常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)都有著非常重要的作用，比如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的

39、問(wèn)題本文主要是對(duì)部分常微分方程的求解方法做一個(gè)綜述本文首先介紹了常微分方程的背景、發(fā)展歷史、基本概念,再對(duì)常微分方程的幾種典型解法進(jìn)行歸納，即變量分離法、變量代換打、常數(shù)變易法、湊全微分法、積分因子法，然后再將這些求解方法應(yīng)用于伯努利方程的求解當(dāng)中由于時(shí)間倉(cāng)促，水平有限，文中所討論的內(nèi)容也僅停留在已有的成果基礎(chǔ)上，希望在以后的實(shí)踐中能夠逐漸加深對(duì)常微分方程求解的有關(guān)問(wèn)題的研究，懇請(qǐng)老師能夠教導(dǎo)、指正參考文獻(xiàn)美塞蒙斯GF.微分方程.張理京譯.北京:人民教育出版社,1981.羅亞平,陳坤.微分方程M.南京:南京大學(xué)出版社,1987.張良勇,董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展J.高等函授學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版

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42、的目的,介紹有關(guān)概念、綜述范圍,扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn) 常微分方程,是一個(gè)有長(zhǎng)期歷史,而又正在不斷發(fā)展的學(xué)科;是一個(gè)既有理論研究意義,又有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科;是一個(gè)既得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持,又為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù)的學(xué)科,是一個(gè)表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科,又是一個(gè)數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科.常微分方程的形成于發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展相互促進(jìn)和相互推動(dòng)的.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的發(fā)展已深刻地影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.現(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置

43、的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等.這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題.但是,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的”求通解”到”求解定解問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出問(wèn)分方程的解是十分重要的.本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及其相關(guān)應(yīng)用.二、主題部分 闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向,以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述 當(dāng)牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以后,數(shù)學(xué)家便開(kāi)始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來(lái)愈多的物理問(wèn)題,但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對(duì)付一類(lèi)新的更復(fù)雜的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決,要解決這類(lèi)問(wèn)題需要專(zhuān)

44、門(mén)的技術(shù),這樣,微分方程這門(mén)學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門(mén)理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.常微分的發(fā)展主要可以分為四個(gè)階段: 常微分的經(jīng)典階段-以通解為主要研究?jī)?nèi)容、常微分方程的適定性理論階段-以定解問(wèn)題的適定性理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的解析理論階段-以解析理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的定性理論階段-以定性與穩(wěn)定性理論為研究?jī)?nèi)容1.盡管在耐皮爾 John Napier,1550-1617 所創(chuàng)立的對(duì)數(shù)理論及達(dá)芬奇提出的餓狼撲兔問(wèn)題中都已涉及到微分方程發(fā)展的思想萌芽,但微分方程作為一門(mén)學(xué)科是伴隨著微積分的形成而產(chǎn)生的.就像微積分在17世紀(jì)后期與18世紀(jì)前期的著作

45、一樣,常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家門(mén)的彼此通信中,1676年,萊布尼茲在給牛頓的通信中,第一次提出”微分方程”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞.17世紀(jì)到18世紀(jì)是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典階段,以求通解為主要內(nèi)容.牛頓和萊布尼茲在建立微分方程與積分運(yùn)算時(shí)就指出了它們的互逆性,實(shí)際上是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程的求解問(wèn)題.此外,牛頓、萊布尼茲也都應(yīng)用了無(wú)窮級(jí)數(shù)和待定系數(shù)法解出了某些初等微分方程1.伯努利一家 這個(gè)非凡的瑞士家族在三代時(shí)間里出了八個(gè)數(shù)學(xué)家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的兒子Daniel Bernoulli,1700-17

46、82的工作較突出 對(duì)變量分離法和換元法;歐拉 Euler,1707-1783 對(duì)降階法、積分因子法和求常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的通解;達(dá)郎帕爾 DAllmbert,1717-1783 關(guān)于非齊次線(xiàn)性方程通解的疊加原理;拉格朗日 Lagrange,1716-1813 有齊次線(xiàn)性方程通解經(jīng)常數(shù)變易法得出非齊次方程的特解;克萊洛 Clarant,1713-1765 關(guān)于全微分方程的充要條件和奇解的概念2,以及十九世紀(jì)末引進(jìn)算子方法和拉普拉斯 Laplace,1749-1827 變換等,都是求通解時(shí)期的成就3.萊布尼茲最早使用變量分離法解微分方程.他用這種方法解決了形如的方程,因?yàn)橹灰阉鼘?xiě)成就能在兩邊進(jìn)行

47、積分.但萊布尼茲沒(méi)有建立一般的方法.可以用變量分離法求解的方程的特點(diǎn)是右端為僅含有的函數(shù)和僅含有的函數(shù)的乘積,焦寶聰?shù)葘⒋祟?lèi)方程分成了當(dāng)以及存在實(shí)數(shù),使得兩種情況進(jìn)行討論4.同時(shí),在文獻(xiàn)5、6、7、8、9中同樣也詳細(xì)介紹了變量分離法,且舉了些例子幫助讀者進(jìn)行理解.文獻(xiàn)5除了介紹類(lèi)型的方程用變量分離法求解之外,還介紹了這一類(lèi)型的方程用變量分離法求解.由此,我們可以看出,變量分離方程的求解思路主要分為三步: 1 分離變量, 2 對(duì)方程兩邊同時(shí)積分并整理得通解, 3 由初始條件求方程的特解10.在萊布尼茲使用變量分離法求解出形如微分方程的同一年,他又解出了一階齊次方程.他令代入方程,即可使用變量分離

48、法求解方程.而過(guò)了50余年之后,歐拉用自變量代換把歐拉方程線(xiàn)性化而求得的通解,其中是常數(shù).一些方程,常?？梢酝ㄟ^(guò)引入適當(dāng)變量代換,化為變量已分離型方程或是其他已知解法的方程.文獻(xiàn)9介紹了齊次方程用變量代換法求解.求解齊次方程的關(guān)鍵是對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行變量替換,用一個(gè)新的未知函數(shù)代替原來(lái)的未知函數(shù),得出一個(gè)變量分離方程,故可以通過(guò)變量分離法求得它的解.文獻(xiàn)7介紹了形如的方程用變量代換法來(lái)求解,作者針對(duì)的不同取值,分了三種情況進(jìn)行討論.文獻(xiàn)4、5、6、9、10、11、12也詳細(xì)介紹了上述兩種類(lèi)型的方程用變量代換法求解.除此之外,還有一些文獻(xiàn)介紹了其他類(lèi)型的方程用變量代換法求解,例如:文獻(xiàn)5還介紹了類(lèi)型

49、的方程,文獻(xiàn)12介紹了諸如 為的齊次函數(shù),次數(shù)可以不同 用變量代換法求解.文獻(xiàn)13通過(guò)對(duì)一階常微分方程中的齊次方程的推廣形式-齊次型方程進(jìn)行研究,并將齊次方程使用”變量代換”求解推廣應(yīng)用到齊次型方程,從而證明了齊次型方程是可積方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一階微分方程的幾種新的可積類(lèi)型.可以看出,變量分離和變量代換的結(jié)合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一開(kāi)始就可以用變量分離法求解的,而是要通過(guò)變量代換之后才可以使用.1693年惠更斯在教師學(xué)報(bào)中明確提到了微分方程,而萊布尼茲同年則在另一家雜志的另一篇文章中稱(chēng)微分方程為特征三角形的邊的函數(shù),并給出了線(xiàn)性方程的通解表達(dá)式,其中是任意常數(shù).對(duì)于上述類(lèi)型的方程,我們通常采用常數(shù)變易法來(lái)求解.常數(shù)變易法是前人專(zhuān)門(mén)針對(duì)一階線(xiàn)性方程和高階線(xiàn)性方程、線(xiàn)性方程組,創(chuàng)造、總結(jié)出來(lái)的一種特定的方法,它能規(guī)范化地求出線(xiàn)性方程的通解,還能寫(xiě)出線(xiàn)性方程的通解公式5.已知一階齊次線(xiàn)性方程的通解 為任意常數(shù) ,將常數(shù)變易為的待定函數(shù),即,對(duì)其進(jìn)行積分、代入,并可求得一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解7.文獻(xiàn)8介紹了兩種類(lèi)型方程的常數(shù)變易法解法.針對(duì)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程求解的現(xiàn)有方法的局限性,文獻(xiàn)14中給出了常數(shù)變易法求二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分