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1、 直線形面積計算的五個模型
知識點精講
一、 等積變換模型
（1） 等底等高的兩個三角形面積相等；
（2） 兩個三角形的底相等，面積比等于他們高的比；（或者兩個三角形的高相等，面積比等于他們底的比）
AB為公共邊，所以
為公共的高，所以
（3） 兩個三角形面積的比等于這兩個三角形底與各自對應(yīng)高的乘積的比。
底和高均不同，所以
比如：兩個三角形的底的比是5:3，與各自底對應(yīng)的高的比是7:6，
那么他們的面積的比是（5×7）：（3×6）
二、 鳥頭模型（共角模型）
兩個三角形中有一個角相等或者互補，這兩個三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面積
2、比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩條夾邊的乘積之比。
互補，
推理過程：連接BE，運用等積變換模型證明。
三、 蝴蝶定理模型
1．任意四邊形中的比例關(guān)系（蝴蝶定理）
或者
蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以是不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)三角形相聯(lián)系；另一方面也可以得到與面積對應(yīng)的對角線被分割的兩段之間的比例關(guān)系。
2．梯形中比例關(guān)系（梯形蝴蝶定理）
整個梯形對應(yīng)的面積份數(shù)為：
四、 相似模型
3、相似三角形性質(zhì)：
（金字塔模型） （沙漏模型）
下面的比例關(guān)系適用如上兩種模型：
1、 2、
所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，他們都是相似的），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)以及定理如下：
（1） 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于他們的相似比；
（2） 相似三角形的面積比等于他們的相似比的平方。
五、 燕尾定理
課堂例題與練習(xí)
等積變換模型部分：
1. 如下圖,BC=3BE,AC=4CD．那么,三角形的面
4、積是6，那么三角形面積的是多少？
2.如下圖，四邊形ABCD是直角梯形。其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，請問陰影三角形DEF的面積是多少？
3.如下圖，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面積是3平方厘米．請問：三角形ABC的面積是多少平方厘米？
4．如下圖，E是BC上靠近C的三等分點，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面積是36平方厘米三角形BDE的面積是多少平方厘米？
5、
5．如下圖所示，已知三角形BEC的面積等于20平方厘米，E是AB邊上靠近B點的四等分點．三角形AED的面積是多少平方厘米？
6. 如下圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積為36，三角形AOD的面積為8．三角形BOC的面積為多少？
7.如下圖,正方形的邊長為12, 是邊上的任意一點,、、、分別是邊、上的三等分點,、、是邊上的四等分點,圖中陰影部分的面積是多少？
鳥頭模型部分：
1.如圖在中，分別是上的點，且，，平方厘米，求的面積．
6、
2.如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？
3.如圖在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．
4.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米．平行四邊形的面積是多少平方厘米？
5、已知的面積為平方厘米，，求的面積．
6、如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，，三角形的面積是多少？
7.如下圖所示，把三角形DEF的各邊向外延長一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面積為1。請問
7、：三角形DEF的面積是多少？
8.如下圖所示，把四邊形ABCD的各邊都延長一倍，得到一個新四邊形EFGH。如果ABCD的面積是5平方厘米，那么請問：EFGH的面積是多少平方厘米？
9.如圖BE=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，三角形ABC的面積為36，求陰影部分的面積。
10.如圖，點D、E、F與點G、H、N分別是三角形ABC與三角形DEF各邊的中點。如果三角形ABC的面積是48，那么，陰影部分的面積是多少？
其他部分：
1. 一個等腰直角三角形和一個正方形如圖擺放，①、②、③這三塊的面積分別是2、8、58，則④、⑤這兩塊的面
8、積差是 。
①
④
②
③
⑤
2. 右圖中平行四邊形的面積是1080m2，則平行四邊形的周長為 m。
3. 在長方形ABCD中，BE＝5, EC＝4, CF＝4, FD＝1,如圖所示，那么AEF的面積是_________.
F
E
4
A
B
5
4
C
D
1
4. 兩個正方形如圖放置，圖中的每個三角形都是等腰直角三角形．若其中較小正方形的邊長為12cm，那么較大正方形的面積是 cm 2．
9、
5. 如右圖，一個面積為2009平方厘米的長方形，被分割成了一個長方形、兩個等腰直角三角形、三個梯形．已知除了陰影長方形外，其它的五塊面積都相等，且B是AC的中點；那么陰影長方形的面積是多少平方厘米．
6. 如圖，等腰直角三角形DEF的斜邊在等腰直角三角形ABC的斜邊上，連接AE、AD、AF，于是整個圖形被分成五塊小三角形.圖中已標出其中三塊的面積，那么ABC面積是_________.
2
3
1
A
B
C
7. 直角邊長分別為18厘米、10厘米的直角△ABC和直角邊長分別為14厘米、4厘米的直角△ADE如圖擺放
10、．M為AE的中點，則△ACM的面積為______平方厘米。
A
B
C
D
E
M
14
4
4
10
課后復(fù)習(xí)與檢測
課后總結(jié)：
1. 等積變換模型為基礎(chǔ)和重點，要能夠熟練應(yīng)用；
2. 鳥頭定理提供了簡便的結(jié)論，能縮減思維過程，提高做題效率，也要熟知熟用；
3. 蝴蝶定理（包括四邊形和梯形），為五年級考試重點內(nèi)容，熟知熟用；
4. 相似模型與燕尾定理為附加內(nèi)容，難題中有可能用到。了解并能簡單應(yīng)用；
5. 解題時，應(yīng)從上述五個模型出發(fā)，予以檢驗，從而找出解題思路。
6. 四年級所學(xué)面積公式，正方形面積、割補法求面積等。
11、
練習(xí)題：
1.如下圖，E是BC上靠近C的三等分點，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面積是36平方厘米三角形BDE的面積是多少平方厘米？
2.如下圖所示，三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD是AE的3倍。請問：三角形ABE的面積是多少平方厘米？
3.下圖中,三角形的面積是30平方厘米,是的中點,的長是的長的2倍,那么三角形的面積是多少平方厘米？
4.如下圖所示，長方形ABCD的面積是96平方厘米，E是AD邊上靠近D
12、點的三等分點，F(xiàn)是CD邊上靠近C點的四等分點．陰影部分的面積是多少平方厘米？
5.如圖,長方形中, =24cm,=26cm,是的中點,、分別是、的四等分點, 為上任意一點,求陰影部分面積是多少？
6.如下圖所示，正方形ABCD的面積為1，把每條邊都3等分，然后將這8個等分點與正方形內(nèi)部的某一點P相連接，形成4個陰影的四邊形和4個空白的三角形．陰影部分的總面積是多少？
7.如下圖，，，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米．
8.如下圖所示，四邊形ABCD內(nèi)有一點O，O點到四條邊的垂線都是4厘米．四邊形的周長
13、是36厘米．四邊形的面積是多少平方厘米？
9. 如下圖，有9個小長方形，其中的5個小長方形的面積分別為4,8,12,16,20平方米。請問，其余4個小長方形的面積分別是多少平方米？
10. （1）如下圖所示，把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結(jié)果面積增加了50平方厘米（陰影部分）。請問：原正方形的面積為多少平方厘米？
（2）把一個正方形的相鄰兩邊分別減少3厘米和5厘米，結(jié)果面積減少了65平方厘米（陰影部分）。請問：原正方形的面積為多少平方厘米？
11. 如下圖所示，三角形ABC的每邊長都是96厘米，用折線把這個三角形分割成面積相等的四個三
14、角形．請求出CE和CF的長度之和？
12. 下圖中的長方形的長和寬分別是6厘米和4厘米,陰影部分的總面積是10平方厘米,四邊形的面積是多少平方厘米？
13. 如圖，四邊形ABCD中，E為BC的中點，AE與BD交于F，且F是BD的中點，O是AC，BD的交點，AF=2EF．三角形AOD的面積是3平方厘米，求四邊形ABCD的面積．
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