高中數(shù)學(xué) 231數(shù)學(xué)歸納法綜合測試 新人教B版選修2－2

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例一、選擇題1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（　　）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件答案：Ａ2．結(jié)論為：能被整除，令驗證結(jié)論是否正確，得到此結(jié)論成立的條件可以為（　?。粒? Ｂ．且 Ｃ．為正奇數(shù) Ｄ．為正偶數(shù)答案：Ｃ3．在中，，則一定是（　?。粒J角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．不確定答案：Ｃ4．在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類經(jīng)上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則的一個不等關(guān)系是（　?。粒? Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ5．（1）已知，求證，用反證法證明時，可假設(shè)，（2）已知，，求證方程的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設(shè)方程有一根的絕對值大于或等于1，即假設(shè)，以下結(jié)論正確的是（　?。粒c的假設(shè)都錯誤Ｂ．與的假設(shè)都正確Ｃ．的假設(shè)正確；的假設(shè)錯誤Ｄ．的假設(shè)錯誤；的假設(shè)正確答案：Ｄ6．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ7．如圖，在梯形中，．若，到與的距離之比為，則可推算出：．試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果．在上面的梯形中，延長梯形兩腰相交于點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為，且到與的距離之比為，則的面積與的關(guān)系是（　?。粒? Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｃ8．已知，且，則（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ9．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（　?。粒僭O(shè)都是偶數(shù)Ｂ．假設(shè)都不是偶數(shù)Ｃ．假設(shè)至多有一個是偶數(shù)Ｄ．假設(shè)至多有兩個是偶數(shù)答案：Ｂ10．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ11．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，，，其中，且，下面正確的運(yùn)算公式是（　?。?；②；③；④；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列1 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21則上起第2005行，左起第2006列的數(shù)應(yīng)為（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ二、填空題13．寫出用三段論證明為奇函數(shù)的步驟是　　　　．答案：滿足的函數(shù)是奇函數(shù)，　　　　　　　　大前提，　　小前提所以是奇函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　 結(jié)論14．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，等于　　　　?。鸢福?5．由三角形的性質(zhì)通過類比推理，得到四面體的如下性質(zhì)：四面體的六個二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心，那么原來三角形的性質(zhì)為　　　　?。鸢福喝切蝺?nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心16．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖： 設(shè)第個圖有個樹枝，則與之間的關(guān)系是　　　?。鸢福喝?、解答題17．如圖（1），在三角形中，，若，則；若類比該命題，如圖（2），三棱錐中，面，若點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)的射影為，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．解：命題是：三棱錐中，面，若點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)的射影為，則有是一個真命題．證明如下：在圖（2）中，連結(jié)，并延長交于，連結(jié)，則有．因為面，，所以．又，所以．于是．18．如圖，已知矩形所在平面，分別是的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）．證明：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)．分別為的中點(diǎn)．為的中位線，，，而為矩形，，且．，且．為平行四邊形，，而平面，平面，平面．（2）矩形所在平面，，而，與是平面內(nèi)的兩條直交直線，平面，而平面，．又，．19．求證：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大．證明：（分析法）設(shè)圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為．因此本題只需證明．要證明上式，只需證明，兩邊同乘以正數(shù)，得．因此，只需證明．上式是成立的，所以．這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積最大．20．已知實數(shù)滿足，，求證中至少有一個是負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)都是非負(fù)實數(shù)，因為，所以，所以，，所以，這與已知相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得中至少有一個是負(fù)數(shù)．21．設(shè)，（其中，且）．（1）請你推測能否用來表示；（2）如果（1）中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣．解：（1）由，又，因此．（2）由，即，于是推測．證明：因為，（大前提）．所以，，，（小前提及結(jié)論）所以．22．若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明結(jié)論．解：當(dāng)時，，即，所以．而是正整數(shù)，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．（1）當(dāng)時，已證；（2）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即．則當(dāng)時，有．因為，所以，所以．所以當(dāng)時不等式也成立．由（1）（2）知，對一切正整數(shù)，都有，所以的最大值等于25．高考資源網(wǎng)數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例一、選擇題1．下面使用的類比推理中恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。粒叭簦瑒t”類比得出“若，則”Ｂ．“”類比得出“”Ｃ．“”類比得出“”Ｄ．“”類比得出“”答案：Ｃ2．圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是（　?。粒?5 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四邊形；②梯形不是平行四邊形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應(yīng)取的項是（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ5．在證明命題“對于任意角，”的過程：“”中應(yīng)用了（　?。粒治龇? Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法和綜合法綜合使用 Ｄ．間接證法答案：Ｂ6．要使成立，則應(yīng)滿足的條件是（　　）Ａ．且 Ｂ．且Ｃ．且 Ｄ．且或且答案：Ｄ7．下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較為合適的是（　?。粒切? Ｂ．梯形 Ｃ．平行四邊形 Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是（　?。粒袃蓚€內(nèi)角是鈍角 Ｂ．有三個內(nèi)角是鈍角Ｃ．至少有兩個內(nèi)角是鈍角 Ｄ．沒有一個內(nèi)角是鈍角答案：Ｃ9．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被8整除時，當(dāng)時，對于可變形為（　?。粒? Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ａ10．已知扇形的弧長為，所在圓的半徑為，類比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可類比答案：Ｃ11．已知，，，則以下結(jié)論正確的是（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定答案：Ｂ12．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是（　?。粒拢茫模鸢福海赂呖假Y源網(wǎng)二、填空題13．已知，則中共有　　　　項．答案：14．已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：，，，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出對正實數(shù)成立的條件不等式　　　　　．答案：當(dāng)時，有15．在數(shù)列中，，，可以猜測數(shù)列通項的表達(dá)式為　　?。鸢福?6．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積　　　　　．答案：三、解答題17．已知是整數(shù)，是偶數(shù)，求證：也是偶數(shù)．證明：（反證法）假設(shè)不是偶數(shù)，即是奇數(shù)．設(shè)，則．是偶數(shù)，是奇數(shù)，這與已知是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知，一定是偶數(shù)．18．已知命題：“若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列．證明如下：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．高考資源網(wǎng)19．已知，且，求證：．證明：因為，且，所以，，要證明原不等式成立，只需證明r，即證，從而只需證明，即，因為，，所以成立，故原不等式成立．20．用三段論方法證明：．證明：因為，所以（此處省略了大前提），所以（兩次省略了大前提，小前提），同理，，，三式相加得．（省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：，，，，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明．解：根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第個不等式，即一般不等式為：．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時，，猜想成立；（2）假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，，即當(dāng)時，猜想也正確，所以對任意的，不等式成立．22．是否存在常數(shù)，使得等式對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：假設(shè)存在，使得所給等式成立．令代入等式得解得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對一切正整數(shù)都成立．（1）當(dāng)時，由以上可知等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，．由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù)都成立．高考資源網(wǎng)。