數(shù)學(xué)第一部分 數(shù)與代數(shù) 第十四課時 二次函數(shù)

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1、第第1414課時課時二次函數(shù)二次函數(shù)-2-3-1.二次函數(shù):概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).利用配方法可化為y=a(x-h)2+k的形式,利用因式分解可化為y=a(x-x1)(x-x2)的形式.圖象:二次函數(shù)的圖象是一條拋物線.2.拋物線的性質(zhì):函數(shù)形式:y=ax2+bx+c;y=a(x-h)2+k開口方向:a0,向上;a0,向上;a0時,與x軸有兩個交點(diǎn),(x1,0),(x2,0);b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點(diǎn)(x,0);b2-4ac0,c0B.b0,c0C.b0,c0D.b0-9-考點(diǎn)考點(diǎn)1拋物線的性質(zhì)拋物線的性質(zhì)【例1】(

2、2015深圳)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如右圖所示,下列說法正確的個數(shù)是 ()a0b0c0A.1B.2C.3D.4【名師點(diǎn)撥】 此題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合圖象開口方向,坐標(biāo)軸交點(diǎn),對稱軸,可得結(jié)果.【我的解法】 解:由圖象可知,開口向下,a0;與y軸交于x軸上方,c0;與x軸有兩交點(diǎn),b2-4ac0;故選答案B.【題型感悟】 熟記拋物線與a、b、c的取值,拋物線與x軸的交點(diǎn)情況是解決此問題的關(guān)鍵.-10-【考點(diǎn)變式】1.(2016廣州)對于二次函數(shù)y=- x2+x-4,下列說法正確的是 ( B )A.當(dāng)x0時,y隨x的增大而增大B.當(dāng)x=2時,y有最大值-3C.圖象的頂點(diǎn)

3、坐標(biāo)為(-2,-7)D.圖象與x軸有兩個交點(diǎn)2.(2016永州)拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同的交點(diǎn),則m的取值范圍是 ( A )A.m2C.0m2 D.m0;ac;4a-2b+c0,其中正確的個數(shù)有 ( C )A.1個B.2個 C.3個D.4個-11-4.(2017廣安)如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為B(-1,3),與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(-3,0)和(-2,0)之間,以下結(jié)論:b2-4ac=0;a+b+c0;2a-b=0;c-a=3其中正確的有 ( B )A.1B.2C.3D.4-12-考點(diǎn)考點(diǎn)2拋物線的解析式拋物線的解析式【例2】(2015岳陽)已知拋物線y=ax

4、2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).求拋物線的解析式.【名師點(diǎn)撥】 此題考查的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式構(gòu)成方程組求解即可.【題型感悟】 利用已知點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)剡x用二次函數(shù)的解析式,可使運(yùn)算簡便.-13-【考點(diǎn)變式】1.(2017襄陽)將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度,平移后所得拋物線的解析式為 ( A )A.y=2x2+1B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-32.(2017淄博)將二次函數(shù)y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個單位長度,得到的函數(shù)表

5、達(dá)式是 ( D )A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-2-14-3.(2013廣東)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)時,求二次函數(shù)的解析式;(2)如圖,當(dāng)m=2時,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,求C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD最短?若P點(diǎn)存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若P點(diǎn)不存在,請說明理由.-15-解:(1)拋物線經(jīng)過(0,0),m=1或-1,二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2-2x或y=x2+2x(2)當(dāng)m=2時,拋物線為y=x2-4x+3,與y軸

6、交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(2,-1),(3)存在,直線CD與x軸的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P,設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,由直線CD經(jīng)過C(0,3)、D(2,-1),直線CD的解析式為y=-2x+3, -16-一、選擇題1.(2017長沙)拋物線y=2(x-3)2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( A )A.(3,4) B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)2.(2017常德)將拋物線y=2x2向右平移3個單位,再向下平移5個單位,得到的拋物線的表達(dá)式為 ( A )A.y=2(x-3)2-5B.y=2(x+3)2+5C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5-17-3.(2017煙臺)二次

7、函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,對稱軸是直線x=1,下列結(jié)論:ab4ac;a+b+c0;3a+c0.其中正確的是 ( C )A.B.C. D.4.(2017南充)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),且a0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論錯誤的是 ( D )A.4acb2B.abc3aD.ab-18-5.(2017廣州)a0,函數(shù)y= 與y=-ax2+a在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是 ( D )-19-6.(2017上海)已知一個二次函數(shù)的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),那么這個二次函數(shù)的解析式可以是y=2x2-1.7.(2017廣州)當(dāng)x=1時,二次函數(shù)y=x2

8、-2x+6有最小值5.-20-8.(2017泰安)如圖,是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線,其對稱軸為x=1,與x軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0),另一交點(diǎn)為B,與y軸交點(diǎn)為C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn),且BCNC,求點(diǎn)N的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q是一次函數(shù)y= 的圖象上一點(diǎn),若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點(diǎn)P、Q是否存在?若存在,分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由. -21-解:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=-(x-1)2+k.把(-1,0)代入得0=-(-1-1)2+k,解得k=4,則拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;(2)在y=-x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標(biāo)是(0,3),OC=3.B的坐標(biāo)是(3,0),OB=3,OC=OB,則OBC是等腰直角三角形.OCB=45,過點(diǎn)N作NHy軸,垂足是H.NCB=90,NCH=45,NH=CH,HO=OC+CH=3+CH=3+NH,設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)是(a,-a2+2a+3).a+3=-a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1,N的坐標(biāo)是(1,4);-22-(3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,