數(shù)學(xué)第四章 三角函數(shù) 4.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、4.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換1.y=sin x(xR)的圖象:知識清單2.y=cos x(xR)的圖象:3.y=tan x的圖象: ,Z2xkk考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.三角函數(shù)的基本性質(zhì)2.正弦函數(shù)y=sin x圖象的對稱軸為直線 x=k+,kZ ,對稱函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x定義域RR 值域-1,1-1,1 R 周期性最小正周期為2最小正周期為2最小正周期為奇偶性奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)單調(diào)性在(kZ)上增,在(kZ)上減在2k-,2k(kZ)上增,在2k,2k+(

2、kZ)上減在(kZ)上增|,Z2xxkk2,2k22k32,222kk,22kk2中心為(k,0),kZ .3.余弦函數(shù)y=cos x圖象的對稱軸為直線 x=k,kZ ,對稱中心為 ,kZ .4.正切函數(shù)y=tan x圖象的對稱中心為,kZ,漸近線為直線x=k+,kZ.5.函數(shù)y=Asin(x+)和y=Acos(x+)(0)的周期都是T=.6.函數(shù)y=Atan(x+)(0)的周期是T=.7.三角函數(shù)的單調(diào)性,02k,02k22|(1)函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把x+看作一個整體,比如,由2k-x+2k+(kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2k+x+

3、2k+(kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.(2)圖象的對稱性y=Asin(x+)(A0,0)的圖象關(guān)于直線x=xk成軸對稱;關(guān)于點(diǎn)(xk,0)(xk+=k,kZ)成中心對稱.22232kx,Z2kk 三角函數(shù)圖象變換的解題策略三角函數(shù)圖象變換的解題策略1.在三角函數(shù)圖象的變換過程中,一定要弄清哪一個是起始函數(shù),哪一個是目標(biāo)函數(shù).2.在平移變換中,可以通過關(guān)鍵點(diǎn)的平移來判斷平移方向和距離.比如:由函數(shù)y=sin的圖象平移得到函數(shù)y=sin的圖象,可分別令2x-=0,2x+=0,即相當(dāng)于由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B,即向左平移了個單位.3.在伸縮變換中,對于橫坐標(biāo)的伸縮,可用三角函數(shù)的最小正周期來判斷伸

4、縮的倍數(shù);對于縱坐標(biāo)的伸縮,可用三角函數(shù)的最值來判斷伸縮的倍數(shù).23x23x33,06,063方法技巧方法1例1 (2017浙江名校協(xié)作體,4)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,可以將函數(shù)y=sin的圖象( )A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度26x23x661212D解題導(dǎo)引 把函數(shù)y=sin改寫成y=sin由平移變換得結(jié)論23x2126x解析因?yàn)閥=sin=sin,所以僅需將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度,即可得到函數(shù)y=sin的圖象,故選D.23x2126x23x1226x 三角函數(shù)性質(zhì)的解題策略三角函數(shù)性質(zhì)的解題策略1.周期性:

5、求三角函數(shù)的最小正周期時,一般地,先經(jīng)過恒等變換把三角函數(shù)化為“y=Asin(x+)”或“y=Acos(x+)”或“y=Atan(x+)”的形式,再利用周期公式即可.2.奇偶性:首先判斷定義域,若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于函數(shù)f(x)=Asin(x+),=k(kZ)時f(x)為奇函數(shù);=k+(kZ)時f(x)為偶函數(shù).對于函數(shù)f(x)=Acos(x+),=k(kZ)時f(x)為偶函數(shù),=k+(kZ)時f(x)為奇函數(shù).3.單調(diào)性:三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定,一般先將三角函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,然后通過同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解.對于復(fù)22方法2合函數(shù)單調(diào)性的確定,應(yīng)明確:由兩個函數(shù)復(fù)合

6、而成時,同增或同減則為增,一增一減則為減,即同增異減.4.圖象的對稱性:判斷函數(shù)f(x)=Asin(x+)(或g(x)=Acos(x+)(A0,0)的圖象對稱性的方法:當(dāng)x=x0時,若f(x)(或g(x)取到最值,則f(x)(或g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0軸對稱;若f(x0)=0(或g(x0)=0),則f(x)(或g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)中心對稱.例2 (2017浙江名校(紹興一中)交流卷一,18)已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos 2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸;(2)當(dāng)x時,求f(x)的取值范圍.30,2解題導(dǎo)引 (1)利用輔助角公式把函數(shù)化為f(x)=Asi

7、n(x+)的形式由三角函數(shù)的周期性和對稱性得結(jié)論(2)求出2x-的范圍結(jié)合三角函數(shù)圖象和性質(zhì)得結(jié)論6解析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2=2sin,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ),故函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x=+(kZ).(2)因?yàn)閤,所以2x-,所以sin,所以f(x)的取值范圍是-1,2.331sin2cos222xx26x622k32k30,265,6626x1,12評析 本題考查三角恒等變換,函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的圖象和性質(zhì),考查推理與運(yùn)算能力. 求函數(shù)求函數(shù)y y= =A Asin(sin(xx+ +)()

8、(A A0,0,0)0)的解析式的解題策略的解析式的解題策略由圖象求解析式y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0)的一般步驟:(1)由函數(shù)的最值確定A的值;(2)由函數(shù)的周期來確定的值;(3)由函數(shù)圖象最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的坐標(biāo)得到關(guān)于的方程,再由的范圍得的值,也可以由起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)得的值.例3 (2017浙江湖州、衢州、麗水聯(lián)考(4月),18)函數(shù)f(x)=2sin(x+)的部分圖象如圖所示,M為最高點(diǎn),該圖象與y軸交于點(diǎn)F(0,),與x軸交于點(diǎn)B,C,且MBC的面積為.0,022方法3(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若f=,求cos 2的值.42 55解題導(dǎo)引 (1)由三角形面積求得最小正周期,得的值利用f(0)=和的范圍,求得得f(x)解析式 (2)由條件得sin 的值由二倍角公式得結(jié)論 2解析(1)因?yàn)镾MBC=2BC=,所以T=2=,所以=1,由f(0)=2sin =,得sin =,因?yàn)?,所以=,所以f(x)=2sin.(2)由f =2sin = ,得sin =,所以cos 2=1-2sin2=.122222244x42 555535