《簡單曲線的極坐標方程》教學設計(共16頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1.3 簡單曲線的極坐標方程簡單曲線的極坐標方程(谷楊華谷楊華)一、教學目標（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課學習，了解極坐標方程的意義、能在極坐標系中給出簡單曲線的方程，體會極坐標下方程與直角坐標系下曲線方程的互化，培養(yǎng)學生歸納類比推理、邏輯推理能力（二）學習目標1通過實例，了解極坐標方程的意義，了解曲線的極坐標方程的求法2掌握特殊情形的直線與圓的極坐標方程3能進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義（三）學習重點1掌握特殊情形的直線與圓的極坐標方程2進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化（四）學習難點1求曲線

2、的極坐標方程2對不同位置的直線和圓的極坐標方程的理解二、教學設計（一）課前設計1預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第 12 頁至第 15 頁，填空：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個至少有一個滿足方程0),(f， 并且坐標適合方程0),(f的點都在曲線C上， 那么方程0),(f叫做曲線C的極坐標方程2預習自測（1）下列點不在曲線cos上的是()A.)3,21(B.)32,21(C.)3,21(D.)32,21(【知識點】極坐標方程精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解題過程】將選項中點一一代入驗證可得選項 D 不滿足方程【思路點撥】由極坐標方程定義可得【答案

3、】D（2）極坐標系中,圓心在極點,半徑為 2 的圓的極坐標方程為()A.2B.4C.2cosD.1sin【知識點】極坐標方程【解題過程】任取圓上一點的極坐標為),(，依題意R, 2,所以選 A【思路點撥】根據(jù)題意尋找,的等量關系式【答案】A（3）將下列曲線的直角坐標方程化為極坐標方程：射線)0(3xxy；圓0222xyx【知識點】直角坐標方程與極坐標方程互化【解題過程】因為xcos，ysin代入可得3tan,cos3sin又因為0 x，所以射線在第三象限，故取43(0 )將xcos，ysin代入0222xyx，整理得cos2【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化可得【答案】43(0 )cos2（

4、4）極坐標系下，直線2)4cos(與圓 2的公共點個數(shù)是.【知識點】極坐標方程、直線與圓的位置關系【解題過程】直線方程cos)4( 2，即)sin22cos22( 2，所以直角坐標方程為 xy20.圓的方程 2，即22，所以直角坐標方程為 x2y22.因為圓心到直線的距離為 d|002|2 2r，所以直線與圓相切，即公共點個數(shù)是 1.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【思路點撥】將問題轉化為平面直角坐標系中的問題處理【答案】 1(二)課堂設計1知識回顧（1）極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及

5、其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系（2）極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：設M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對),(叫做點M的極坐標，記為M),(一般地，不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù)（3）把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度.設M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是),(yx，極坐標是),(，則：xcos，ysin222yx ，tan)0( xxy2問題探究探究一結合實例，類比認識極坐標方程活動類比推理概念在平面直角坐標系中，

6、平面曲線C可以用方程0),(yxf表示 曲線與方程滿足如下關系：(1)曲線C上點的坐標都是方程0),(yxf的解；(2)以方程0),(yxf的解為坐標的點都在曲線C上那么，在極坐標系中，平面曲線是否可以用方程0),(f表示呢？我們先看一個例子半徑為a的圓的圓心坐標為)0 ,(aC，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標),(滿足的條件嗎？類比直角坐標方程的求解過程，我們先建立極坐標系，如右圖所示，設圓經(jīng)過極點O,圓與極軸的另一個交點為A，則aOA2，設),(M為圓上除AO,以外的任意一點，則AMOM , 所 以 在AMORt中 ，MOAOAOMcos, 即x)0 ,(aC (,) Ax (,)

7、 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)cos2a.經(jīng)驗證，點)0 ,2(),2, 0(aAO的坐標滿足上式.于是上述等式為圓上任意一點的極坐標),(滿足的條件，反之，坐標適合上述等式的點都在這個圓上.所以我們類比直角坐標方程可以得到極坐標方程的定義，即：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程0),(f，并且坐標適合方程0),(f的點都在曲線C上，那么方程0),(f叫做曲線C的極坐標方程由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，即一條曲線上點的極坐標有多組表示形式，所以我們這里要求至少有一組能滿足極坐標方程則這個點在曲線上.【設計意圖】 利用類比的思想， 從

8、熟悉的概念得到新的數(shù)學概念， 體會概念的提煉、 抽象過程活動歸納梳理、理解提升分析上述實例，你能得出求解極坐標方程的一般步驟嗎？求曲線的極坐標方程的方法和步驟與求直角坐標方程的步驟類似， 就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡將已知條件用曲線上的點的極坐標,的關系式0),(f表示出來，就得到曲線的極坐標方程，具體如下：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設),(M是曲線上任意一點(2)連接OM,根據(jù)幾何條件建立關于極徑和極角之間的關系式(3)將列出的關系式進行整理，化簡，得出曲線的極坐標方程(4)檢驗并確認所得方程即為所求若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證明可以省略【設計意圖】通過實例類

9、比總結方法，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、歸類整理意識探究二探究直線的極坐標方程活動互動交流、初步實踐組織課堂討論：結合極坐標方程的定義及求解極坐標方程的步驟，我們動手求解：直線l經(jīng)過極點，從極軸到直線l的角為3的直線的極坐標方程.如右圖，以極點O為分界點,直線l上的點的極坐標分成射線3xOMM精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè),OM射線MO兩個部分， 射線OM上任意一點的極角都為3， 所以射線OM的極坐標方程為：)0(3；而射線MO上任意一點的極角都是34，所以射線MO的極坐標方程為：)0(34綜上：直線l的極坐標方程可以用)0(3和)0(34表示現(xiàn)在產(chǎn)生一個問題：能否用一個方程來表示呢？我們定

10、義：若0，則0，我們規(guī)定點),(M與),(P關于極點對稱.這樣就可以將的取值范圍推廣到全體實數(shù).于是在允許R，那么上述直線l的極坐標方程就可以寫為：)(3R或)(34R【設計意圖】得到特殊直線的極坐標方程，加深對極坐標方程內(nèi)涵與外延的理解，突破重點探究三探究極坐標方程與直角坐標方程的聯(lián)系活動 鞏固理解，加深認識在學習了極坐標方程及求解步驟后，動手做一做：在極坐標系中，圓心為)4, 1 (A,半徑為1 的圓的極坐標方程是多少呢？如右圖所示，設),(P為圓上任一點，當PAO,三點不共線是，在OPA中利用余弦定理可得222)4cos(2APOAOPOPOA1)4cos(212即)4cos(2當PAO

11、,三點共線時，點P的坐標為)43, 0(或)4, 2(，這兩點的坐標滿足上式，所以上式為所求的圓的極坐標方程.在找平面曲線的極坐標方程時,就要找極徑和極角之間的關系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知識以及利用三角形的面積相等來建立、之間的關系.【設計意圖】鞏固極坐標方程的求解，同時為極坐標方程與直角坐標方程的轉化作準備活動強化提升、靈活應用還有沒有其它方法來求解極坐標方程呢？x),(PO精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)根據(jù)上節(jié)的直角坐標與極坐標的互化，先把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度.，然后先求直角坐標系下的圓的方程；即由于

12、圓心在極坐標系下為)4, 1 (A，則在直角坐標系下圓心)22,22(A，半徑1r，所以圓的直角坐標方程為：1)22()22(22yx， 整理得：yxyx2222， 因為xcos，ysin，代入直角坐標方程得)4cos(2sin2cos22化簡得：)4cos(2【設計意圖】掌握極坐標方程與直角坐標方程的轉化，進一步認識極坐標系活動 鞏固基礎，檢查反饋例 1極坐標方程2表示()A直線B射線C圓D橢圓【知識點】曲線與極坐標方程【解題過程】44,222222yx，所以曲線表示的是圓【思路點撥】通過轉化為直角坐標方程來判斷【答案】C同類訓練極坐標方程)(21sinR表示的曲線是()A兩條相交直線B兩條

13、射線C一條直線D一條射線【知識點】曲線與極坐標方程【解題過程】sin21，)(26Zkk或)(265Zkk,又R，)(21sinR表示兩條相交直線【思路點撥】通過極坐標方程來判斷【答案】A例 2把下列直角坐標方程化成極坐標方程（1）0132 yx（2）0222yyx（3）1022 yx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【知識點】直角坐標方程化成極坐標方程【解題過程】 （1）由xcos，ysin，代入直角坐標方程0132 yx得，01sin3cos2，即01)sin3cos2(（2）由上同理可得：sin2（3）102cos2【思路點撥】利用直角坐標與極坐標互化公式求解【答案】 （1）01

14、)sin3cos2(； （2）sin2； （3）102cos2同類訓練把下列極坐標方程化為直角坐標方程（1）2sin（2）sin4cos2【知識點】直角坐標方程與極坐標方程互化【解題過程】（1） 由xcos，ysin， 代入極坐標方程2sin得，2y， 即02 y（2） 由sin4cos2， 等式兩邊同乘以得sin4cos22， 所以yxyx4222，即：5)2() 1(22yx【思路點撥】極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如sin，cos，2的形式，進行整體代換【答案】 （1）02 y；（2）5)2() 1(22yx.【設計意圖】鞏固極坐標方程的求解、判斷以及直角坐標方程與極坐標方

15、程的互化活動 4強化提升、靈活應用例 3已知直線的極坐標方程為22)4sin(，求點)47, 2(A到這條直線的距離【知識點】極坐標與直角坐標互化、點到直線的距離【解題過程】以極點為直角坐標原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標系，直線的極坐標方程22)4sin(化為直角坐標方程，得：1 yx.把點A的極坐標)47, 2(化為直角坐標，得：)2,2(精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)在平面直角坐標系下，由點到直線的距離公式，得點A到直線的距離222122d，所以點)47, 2(A到直線22)4sin(的距離為22【思路點撥】把極坐標問題轉化為直角坐標系中問題【答案】22同類訓練求極

16、點到直線2)cos(sin的距離【知識點】極坐標與直角坐標互化、點到直線的距離【解題過程】以極點為直角坐標原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標系，直線的極坐標方程2)cos(sin化為直角坐標方程，得：2 xy.把極點的極坐標)0 , 0(化為直角坐標，得：)0 , 0(在平面直角坐標系下，由點到直線的距離公式，得點A到直線的距離22200d，所以極點到直線2)cos(sin的距離為2【思路點撥】把極坐標問題轉化為直角坐標系中問題【答案】23.課堂總結知識梳理（1）一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程0),(f，并且坐標適合方程0),(f的點都在曲線

17、C上，那么方程0),(f叫做曲線C的極坐標方程（2）求曲線的極坐標方程的一般步驟：建立適當?shù)臉O坐標系，設),(M是曲線上任意一點連接OM,根據(jù)幾何條件建立關于極徑和極角之間的關系式將列出的關系式進行整理，化簡，得出曲線的極坐標方程檢驗并確認所得方程即為所求若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證明可以精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)省略（3）若0，則0，我們規(guī)定點),(M與),(P關于極點對稱重難點歸納（1）求解平面曲線的極坐標方程時,就要找極徑和極角之間的關系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知識以及利用三角形的面積相等來建立、之間的關系（2）極坐標方程化為直角坐標方程

18、要通過變形，構造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗（三）課后作業(yè)基礎型 自主突破1經(jīng)過極點，從極軸到直線l的夾角是4的直線l的極坐標方程是（）A)0(4B4C)0(4D)(4R【知識點】極坐標方程【解題過程】將直線l畫在極坐標系中，易得選項 D 正確.【思路點撥】根據(jù)根據(jù)圖像進行判斷【答案】D2直線33xy0 的極坐標方程(限定0)是()A6B76C6和76D56【知識點】極坐標方程與直角坐標方程互化【解題過程】由33xy0，得33cos sin 0，即 t

19、an 33，6和76又0，因此直線的方程可以用6和76表示【思路點撥】極坐標方程與直角坐標方程互化【答案】C3極坐標方程 cos 22(0)表示的曲線是()精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)A余弦曲線B兩條相交直線C兩條射線D一條射線【知識點】極坐標方程的求解【解題過程】cos 22，42k(kZ)又0，cos 22表示兩條射線【思路點撥】利用三角函數(shù)圖像可得【答案】C4圓的極坐標方程cos2sin對應的直角坐標方程為()A.45) 1()21(22yxB.45) 1()21(22yxC.45) 1()21(22yxD.45) 1()21(22yx【知識點】極坐標方程與直角坐標方程互化

20、【解題過程】sin2cos,sin2cos2，所以yxyx222即45) 1()21(22yx，所以選 B.【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化公式求解【答案】B5極坐標系內(nèi)，點)2, 1 (到直線cos 2 的距離是_【知識點】極坐標與直角坐標的轉化【解題過程】點)2, 1 (的直角坐標為(0，1)，直線cos 2 的直角坐標方程為 x2，故點(0，1)到直線 x2 的距離是 d2.【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解【答案】26在極坐標系中，A，B 分別是直線 3cos 4sin 50 和圓2cos 上的動點，則 A，B兩點之間距離的最小值是_【知識點】直線與圓的極坐標方程、點到

21、直線的距離【數(shù)學思想】分類討論思想【解題過程】 ：由題意，得直線的平面直角坐標方程為 3x4y50，圓的普通方程為(x1)2精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)y21，則圓心(1，0)到直線的距離 d|31405|324285，所以 A，B 兩點之間距離的最小值為 dr85135【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解【答案】35能力型 師生共研7在極坐標系中，圓2sin 的圓心的極坐標是()A.)2, 1 (B.)23, 1 (C)0 , 1 (D), 1 (【知識點】極坐標與直角坐標互化、圓的標準方程【解題過程】由2sin 得22sin ，化成直角坐標方程為 x2y22y，化成

22、標準方程為 x2(y1)21，圓心坐標為(0，1)，其對應的極坐標為)23, 1 (.【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解【答案】B8在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點，x 正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為1)3cos(，M，N 分別為 C 與 x 軸，y 軸的交點(1)寫出 C 的直角坐標方程，并求 M，N 的極坐標；(2)設 MN 的中點為 P，求直線 OP 的極坐標方程【知識點】極坐標與直角坐標互化、極坐標方程【解題過程】(1)由1)3cos(，得1)sin23cos21(又 xcos ，ysin ，曲線 C 的直角坐標方程為x232y1，即 x 3y2

23、0.當0 時，2，點 M(2,0)當2時，233，點 N)2, 332(.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(2)由(1)知，M 點的坐標(2,0)，點 N 的坐標)332, 0(.又 P 為 MN 的中點，點 P)33, 1 (，則點 P 的極坐標為)6,332(.所以直線 OP 的極坐標方程為6(R)【思路點撥】把極坐標化為直角坐標求解【答案】(1)M(2,0)，N)2, 332(；(2)6(R)探究型 多維突破9在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線l的極坐標方程為22)4cos(，曲線C的極坐標方程為),2(sin4，求

24、直線l與曲線C的交點的極坐標【知識點】極坐標方程的應用【數(shù)學思想】分類討論的思想【解題過程】由22)4cos(sin4得：1sincossin2，即：2coscossin（1）當0cos時，即2時，4（2）當0cos時，即2時，此時cossin，即,21tan，所以不成立.交點極坐標為)2, 4(【思路點撥】類比直角坐標系，聯(lián)立方程組求解【答案】)2, 4(10已知橢圓的中心在坐標原點O，橢圓的方程為：12222byax，BA,分別為橢圓上的兩點，且OBOA.（1）求證：2211OBOA為定值； （2）求AOB面積的最大值和最小值精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【知識點】極坐標方程的

25、應用【解題過程】將橢圓的直角坐標方程化為極坐標方程得（cos ）2a2（sin ）2b21，即2a2b2b2cos2a2cos2，由于 OAOB，可設 A(1，1)，B2，12 ，則21a2b2b2cos21a2sin21，22a2b2b2sin21a2cos21.于是1|OA|21|OB|2121122b2cos21a2sin21b2sin21a2cos21a2b2a2b2a2b2.所以1|OA|21|OB|2為定值(2)解析：依題意得到 SAOB12|OA|OB|121212a2b2（b2cos21a2sin21） （b2sin21a2cos21）12a2b2（a2b2）2sin2214a

26、2b2，當且僅當sin2211，SAOB有最小值為a2b2a2b2；當 sin2210，SAOB有最大值為ab2.【思路點撥】由于涉及到長度，所以將橢圓直角坐標方程轉化為極坐標方程求解【答案】 （1）1|OA|21|OB|2=a2b2a2b2； （2）SAOB有最小值為a2b2a2b2，SAOB有最大值為ab2.自助餐1過點)4, 2(A且平行于極軸的直線的極坐標方程是（）A2sinB2sinC2cosD2cos【知識點】極坐標方程的求解【解題過程】如圖所示，在直線l上任意取點),(M，過M作xMH 軸于H，)4, 2(A24sin2MH，,sinsin2Rt OMH MHOM，精選優(yōu)質(zhì)文檔-

27、傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)所以，選 B【思路點撥】利用根據(jù)所給的幾何條件，尋找,的關系式【答案】B2極坐標方程分別是=cos和=sin的兩個圓的圓心距是()A.22B.2C.1D.2【知識點】極坐標與直角坐標互化、兩圓的關系【解題過程】:將方程化為直角坐標方程.因為不恒為零,可以用分別乘方程兩邊,得2=cos和2=sin.x2+y2=x 和 x2+y2=y.它們的圓心分別是(21,0)、(0,21),圓心距是22.【思路點撥】先化為直角坐標方程，在按直角坐標求解【答案】A3在極坐標系中，曲線 C：2sin 上的兩點 A，B 對應的極角分別為23，3，則弦長|AB|_【知識點】極坐標與直角坐標

28、互化、兩點間的距離【解題過程】A，B 兩點的極坐標分別為)3, 3(),32, 3(，化為直角坐標為)23,23(),23,23(.故3)2323()2323(22AB【思路點撥】先化為直角坐標方程，在按直角坐標求解【答案】34曲線0，3(0)和4 所圍成圖形的面積是_【知識點】極坐標與直角坐標的互化、扇形的面積【數(shù)學思想】數(shù)形結合的思想【解題過程】將極坐標方程化為直角坐標系下的方程，分別為射線)0(3, 0 xxyy，圓1622 yx，他們圍成的是一個圓心角為3，半徑為4r的扇形，所以38212rS【思路點撥】先化為直角坐標方程，再在直角坐標系中畫出相應的圖形可得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專

29、心-專注-專業(yè)【答案】385把下列直角坐標方程與極坐標方程進行互化：(1)x2(y2)24；(2)9(sin cos )；(3)4；【知識點】極坐標與直角坐標互化【解題過程】(1)x2(y2)24，x2y24y，代入 xcos ，ysin 得24sin 0，即4sin .(2)9(sin cos )，29(sin cos )，x2y29x9y，即281)29()29(22yx(3)4，242，x2y216.【思路點撥】用公式 xcos ，ysin ，2x2y2進行直角坐標方程與極坐標方程的互化即可【答案】 （1）4sin ； （2）281)29()29(22yx； （3）x2y2166在直角坐

30、標系 xOy 中，直線 C1：x2，圓 C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求 C1，C2的極坐標方程；(2)若直線 C3的極坐標為4(R)，設 C2與 C3的交點為 M，N，求C2MN 的面積【知識點】極坐標與直角坐標互化、三角形的面積【解題過程】 ：(1)因為 xcos ，ysin ，所以 C1的極坐標方程為cos2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.(2)將4代入22cos 4sin 40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于 C2的半徑為 1，所以C2MN 的面積為12.【思路點撥】根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式求解，且把兩圓畫在極坐標系中，利用的幾何意義求三角形的面積【答案】 （1）C1cos2，C222cos 4sin 40； （2）12.