5、如集合{0}就不能用區(qū)間表示．
(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù)．以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時，這一端必須是小括號．
1．函數(shù)y＝的定義域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
C [由x＋1>0得x>－1.
所以函數(shù)的定義域為(－1，＋∞)．]
2．若f(x)＝，則f(3)＝________.
－ [f(3)＝＝－.]
3．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；
(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．
(1)[10,100] (2)(
6、1，＋∞) [結(jié)合區(qū)間的定義可知(1)為[10,100]，(2)為(1，＋∞)．]
函數(shù)的概念
【例1】 (1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
①f(x)＝與g(x)＝x；
②f(x)＝x與g(x)＝；
③f(x)＝x0與g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
(2)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．
①A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{
7、－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．
(1)C [①f(x)＝＝|x|與g(x)＝x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．
②g(x)＝＝|x|與f(x)＝x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．
③f(x)＝x0與g(x)＝都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)．
④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一函數(shù)．
由上可知是同一函數(shù)的是③④.
故選C.]
(2
8、)[解]?、賹τ贏中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．
②對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．
③對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)．
④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．]
1．判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件
(1)A，B必須是非空實數(shù)集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．
對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對
9、一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系．
2．判斷函數(shù)相等的方法
(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；
(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．
1．下列四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是( )
A B C D
B [根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點，對照選項，可知只有B不符合此條件．故選B.]
2．下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是( )
A．y＝x＋1與y＝
B．y＝x2＋1與s＝t2＋1
C．
10、y＝2x與y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2與y＝x2
B [A，C選項中兩函數(shù)的定義域不同，D選項中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯誤，選B.]
求函數(shù)值
【例2】 設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[思路點撥] (1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因為f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋1
11、2a＋20.因為g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
函數(shù)求值的方法
(1)已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1
12、)＋3)＝f(0)＝3.
求函數(shù)的定義域
[探究問題]
1．已知函數(shù)的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？
提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化簡，則f(x)＝，從而定義域與原函數(shù)不等價．
2．若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？
提示：[1,2]是自變量x的取值范圍．
函數(shù)y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]．
【例3】 求下列函數(shù)的定義域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
[思路點撥] 要求
13、函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可．
[解] (1)當且僅當x－2≠0，即x≠2時，
函數(shù)f(x)＝2＋有意義，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}．
(2)函數(shù)有意義，當且僅當
解得x>－1且x≠1，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1且x≠1}．
(3)函數(shù)有意義，當且僅當解得1≤x≤3，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}．
(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠－1，
即函數(shù)定義域為{x|x≤1且x≠－1}．
(變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域．
[解] 由1≤x
14、＋1≤3得0≤x≤2.
所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域為[0,2]．
求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.
(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.
(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合.
(4)若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集.
(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義.
1．對于用關(guān)系式表示的函數(shù)．如果沒有給出定義域，那么就認為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù)．
2．函數(shù)的定義
15、主要包括定義域和定義域到值域的對應(yīng)法則，因此，判定兩個函數(shù)是否相同時，就看定義域和對應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個函數(shù)才算相同．
3．函數(shù)符號y＝f(x)是學(xué)習(xí)的難點，它是抽象符號之一．首先明確符號“y＝f(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.
1．思考辨析
(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．( )
(2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．( )
(3)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了．( )
(4)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應(yīng)．( )
(5)函數(shù)的定義域和值域一定是無
16、限集合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D [函數(shù)y＝x的定義域為R；y＝()2的定義域為[0，＋∞)；y＝＝|x|，對應(yīng)關(guān)系不同；y＝|x|對應(yīng)關(guān)系不同；y＝＝x，且定義域為R.故選D.]
3．將函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________．
(－∞，0)∪(0,1] [由
解得x≤1且x≠0，
用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．]
4．已知函數(shù)f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，
∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)當a≠－1時，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
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