高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)例題

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 一， 導(dǎo)數(shù)的概念 1..已知的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 變式1：（ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 變式2： （ ） A． B． C． D． 導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié) 請同學(xué)們高度重視： 首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法： 1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法 5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關(guān)系 （2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在 其次，分析每種題型的本質(zhì)，你

2、會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后，同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ) 一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立； 1、此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決： 第一步：令得到兩個根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題， 2、常見處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0） 第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-----（已知誰的范圍就把誰作為

3、主元）； （請同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測2） 例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍； （2）若對滿足的任何一個實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值. 解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”， 則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法： ∵ 當(dāng)時, 恒成立, 當(dāng)時, 恒成立 等價于的最大值（）恒成立，

4、而（）是增函數(shù)，則 (2)∵當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當(dāng)時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題） -2 2 例2：設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）

5、令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） ∴當(dāng)x=a時，極小值= 當(dāng)x=3a時，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對任意的恒成立① 則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法） 即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。 上是增函數(shù). （9分） ∴ 于是，對任意，不等式①恒成立，等價于 又∴ 點(diǎn)評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型 例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為，

6、 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)時，求的值域； （Ⅲ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒成立，只需，即分離變量 思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值 二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型 解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上

7、是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集 例4：已知，函數(shù)． （Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值； （Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函數(shù)，∴ . 此時，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增

8、 可知：的極大值為， 的極小值為. （Ⅱ）∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)， ∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法 則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想 （I） 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=

9、”號，單調(diào)遞增。 2、 a-1 -1 單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間： （II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集： 1、時，單調(diào)遞增 符合題意 2、， 綜上，a的取值范圍是[0，1]。 三、題型二：根的個數(shù)問題 題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)======即方程根的個數(shù)問題 解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系； 第三步：解不等式（組

10、）即可； 例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)． （1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴在區(qū)間上恒成立（分離變量法） 即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為 （2）設(shè)， 令得或由（1）知， ①當(dāng)時，，在R上遞增，顯然不合題意… ②當(dāng)時，，隨的變化情況如下表： — ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由于，欲使與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，即方程有三個不同的實(shí)根，故需，即 ∴，解得 綜上，所求的取值范圍為 根的個數(shù)知道，

11、部分根可求或已知。 例7、已知函數(shù) （1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過原點(diǎn)，求的極值； （2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng) 解：（1）∵的圖像過原點(diǎn)，則 ， 又∵是的極值點(diǎn)，則 -1 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點(diǎn)， 等價于有含的三個根，即： 整理得： 即：恒有含的三個不等實(shí)根 （計(jì)算難點(diǎn)來了：）有含的根， 則必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分解， 十字相乘法分解：

12、恒有含的三個不等實(shí)根 等價于有兩個不等于-1的不等實(shí)根。 題2：切線的條數(shù)問題====以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個數(shù) 例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （1）由題意得： ∴在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ∴①，②，③ 由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點(diǎn)Q， 過 令， 求得：，方程有三個根。 需： 故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為： 題3：已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù) 解法：根分布或判別式法 例8、

13、 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋á瘢┊?dāng)m＝4時，f (x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得或. 令 ， 解得 可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為． （Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 1 要使函數(shù)y＝f (x)在（1，＋∞）有兩個極值點(diǎn),＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布問題： 則， 解得m＞3 例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點(diǎn)，求a的取值范圍． 解：（1） 當(dāng)時，令解得，令解得， 所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

14、. 當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. （2）有且僅有3個極值點(diǎn) =0有3個根，則或， 方程有兩個非零實(shí)根，所以 或 而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點(diǎn) 其它例題： 1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（Ⅰ） 令=0,得 因?yàn)?，所以可得下表? 0 + 0 - ↗ 極大 ↘

15、 因此必為最大值,∴因此， ， 即，∴，∴ （Ⅱ）∵，∴等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實(shí)數(shù)的取值范圍， 為此只需，即， 解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0，1]. 2、（根分布與線性規(guī)劃例子） （1）已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式； (Ⅱ) 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時有極值 , ∴

16、 ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴

17、所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則

18、 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點(diǎn)為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 3、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式；

19、（Ⅲ）若方程有三個不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由題知： （Ⅰ）由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f (

20、5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 － 所以 當(dāng)＜a＜3時，方程f ( x ) = 8a有三個不同的根。………… 12分 4、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點(diǎn)個數(shù)． 解：（1） ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分 （2）由題得 即 令………………

21、……6分 令得或……………………………………………7分 當(dāng)即時 此時，，，有一個交點(diǎn)；…………………………9分 當(dāng)即時， ＋ — , ∴當(dāng)即時,有一個交點(diǎn)； 當(dāng)即時，有兩個交點(diǎn)； 　 當(dāng)時，，有一個交點(diǎn)．………………………13分 綜上可知，當(dāng)或時，有一個交點(diǎn)； 當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)．…………………………………14分 5、（簡單切線問題）已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)． （Ⅰ） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式； （Ⅱ） 若函數(shù)在

22、區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 函數(shù)中任意性和存在性問題探究 高考中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合高考試題對此類問題進(jìn)行歸納探究 一、相關(guān)結(jié)論： 結(jié)論1：；【如圖一】 結(jié)論2：；【如圖二】 結(jié)論3：；【如圖三】 結(jié)論4：；【如圖四】 結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】 【例題1】：已知兩個函數(shù); (1) 若對,都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2) 若,使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3) 若對,都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，即。 ； 當(dāng)變化時，

23、的變化情況列表如下： -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 (x) + 0 － 0 + h(x) k-45 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) k-9 因?yàn)?所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞). 小結(jié)：①對于閉區(qū)間I，不等式f(x)k對x∈I時恒成立[f(x)]min>k, x∈I. ②此題常見的錯誤解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“[f(x)]max

24、≤[g(x)]min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價. （2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]時有解,故[h(x)]max≥0. 由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞). (3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3]. 由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得, x∈[-3,3]時, [f(x)]max=120－k. 仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x∈[-3,3]時, [g(x)]min=－21. 由120－k≥－21得k≥141,

25、即k∈[141,+∞). 說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨(dú)立變量. 從上面三個問題的解答過程可以看出,對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件,千萬不要稀里糊涂的去猜.. 二、相關(guān)類型題： 　〈一〉、型； 　　形如型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則在x∈D上恒成立，則”.許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型. 　　 例1 ：已知二次函數(shù)，若時，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 　　解：，∴；即； 　　當(dāng)時，不等式顯然成立

26、，　　∴a∈R. 　　當(dāng)時，由得：，而 　　.　∴.　　又∵，∴，綜上得a的范圍是。 　　〈二〉、型 　　例2 已知函數(shù)，若對，都有成立，則的最小值為____. 　　解 ∵對任意x∈R，不等式恒成立， 　　∴分別是的最小值和最大值. 　　對于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是π，即半個周期. 　　又函數(shù)的周期為4，∴的最小值為2. 　　〈三〉、.型 　　例3： (2005湖北)在這四個函數(shù)中，當(dāng)時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是(　　) 　　 A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3 　　解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)

27、是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知符合題意； 　　〈四〉、.型 　　例4 已知函數(shù)定義域?yàn)?，，若，時，都有，若對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍. 　　解：任取，則，由已知，又，∴f，即在上為增函數(shù). 　　∵，∴，恒有； 　　∴要使對所有，恒成立，即要恒成立， 　　故恒成立，令，只須且， 　　解得或或。 　　評注： 形如不等式或恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息. 　　〈五〉、.型： 　　例5： 已知，，若當(dāng)時，)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 　　解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零. 　　令，，∵ 　　∴，即在

28、[0,1]上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值. 　　∴，即。 　　〈六〉、型 　　例6：已知函數(shù)，若對任意，都有，求的范圍. 　　解：因?yàn)閷θ我獾模加谐闪ⅲ? 　　∴，∵，令得x＞3或x＜-1；得；∴在為增函數(shù)，在為減函數(shù). 　　∵，∴.∴，∴。 　　〈七〉、（為常數(shù)）型； 例7 ：已知函數(shù)，則對任意（）都有 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)=____，=____時取等號. 　　解：因?yàn)楹愠闪ⅲ? 　　由，易求得，，∴。 　　例8 ：已知函數(shù)滿足：(1)定義域?yàn)椋?2)方程至少有兩個實(shí)根和；(3)過圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率絕對值不大于1. 　　(1)證明|； 　　(2)證明：對任意，都有

29、. 　　證明 (1)略； 　　(2)由條件(2)知， 　　不妨設(shè)，由(3)知， 又∵ ；∴ 〈八〉、型 　　例9： 已知函數(shù)，對于時總有成立，求實(shí)數(shù)的范圍. 　　解 由，得， 　　當(dāng)時，，∵， ∴，　　∴　　 評注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，可以解決形如|或(m＞0)型的不等式恒成立問題. 考前寄語：①先易后難,先熟后生；②一慢一快：審題要慢,做題要快；③不能小題難做,小題大做,而要小題小做,小題巧做；④我易人易我不大意,我難人難我不畏難；⑤考試不怕題不會,就怕會題做不對；⑥基礎(chǔ)題拿滿分,中檔題拿足分,難題力爭多得分,似曾相識題力爭不失分；⑦對數(shù)學(xué)解題有困難的考生的建議：立足中下題目,力爭高上水平,有時“放棄”是一種策略. 專心---專注---專業(yè)