《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(10月15日上午8001000)一選擇題(本題滿分30分,每小題5分): 1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(,) B, C(,) D, 3對任意的函數(shù)y=f(x),在同一個直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中,銳
2、角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D245若 M=z| z=+i,tR,t1,t0, N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D46集合M=u|u=12m+8n+4l,其中m,n,lZN=u|u=20p+16q+12r,其中p,q,rZ的關(guān)系為AM=N BMN,NM CMN DNM 三填空題(本題滿分30分,每小題5分)1若loga0,且 a=(aj)2求證:an=n第二試(上午10301230)一(本題滿分35分)ABCEF已知 在ABC中,ABAC,A的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E,過E作E
3、FAB,垂足為F求證 2AF=AB-AC 二(本題滿分35分)已知xiR(i=1,2,n;n2),滿足 |xi|=1,xi=0,求證: 三(本題滿分35分)有nn(n4)的一張空白方格表,在它的每一個方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個數(shù)中的一個,現(xiàn)將表內(nèi)n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個基本項試證明:按上述方式所填成的每一個方格表,它的全部基本項之和總能被4整除(即總能表示成4k的形式,其中kZ)1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一選擇題(本題滿分30分,每小題5分):1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面
4、內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解:0A、B90A+BA90B0,sinAcosB,cosAsinB故cosBsinA0點(diǎn)Z位于第二象限選B 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(,) B, C(,) D, 解:因x1,1,故arctanx,arcsinx,且f(1)=,f(1)= 選D3對任意的函數(shù)y=f(x),在同一個直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 解:令x1=t,則得f(t)=f(t),即f(t)關(guān)于t=0對稱
5、,即此二圖象關(guān)于x=1對稱選B4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中,銳角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D24 解:以不相鄰的4個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的8個面都是銳角三角形其余的三角形都不是銳角三角形選C5若 M=z| z=+i,tR,t1,t0, N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D4解:M的圖象為雙曲線xy=1(x0,x1)N的圖象為x2+y2=2(x0),二者無公共點(diǎn)選A6集合M=u|u=12m+8n+4l,其中m,n,lZN=u|u=20p+16q+12r,其中p,q,rZ的關(guān)系為
6、AM=N BMN,NM CMN DNM 解:u=12m+8n+4l=4(3m+2n+l),由于3m+2n+l可以取任意整數(shù)值,故M表示所有4的倍數(shù)的集合同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全體4的倍數(shù)的集合于是M=N三填空題(本題滿分30分,每小題5分)1若loga1,則a的取值范圍是 解:若0a1,則loga1,則得a故填(0,1)(,+)2已知直線l:2x+y=10,過點(diǎn)(10,0)作直線ll,則l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 解:直線l方程為(x+10)2y=0,解得交點(diǎn)為(2,6)3設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)1|,f2(x)= |f1(x)2|,則函
7、數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 .解 圖1是函數(shù)f0(x)=|x|的圖形,把此圖形向下平行移動1個單位就得到函數(shù)f0(x)=|x|1的圖形,作該圖形的在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得出圖2,其中在x軸上方的部分即是f1(x)=|f0(x)1|的圖象,再把該圖象向下平行移動2個單位得到f0(x)=|x|2的圖象,作該圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得到圖3,其中x軸上方的部分即是f2(x)= |f1(x)2|的圖象。易得所求面積為7。4一個正數(shù),若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列,則該數(shù)為 解 設(shè)其小數(shù)部分為(01),整數(shù)部分為n(nN*),則得,(n
8、+)=n2, n2n+n+1 n0,知,a= 原數(shù)為5如果從數(shù)1,2,3,14中,按由小到大的順序取出a1,a2,a3,使同時滿足a2a13,與a3a23,那么,所有符合上述要求的不同取法有 種 解:令a1=a1,a2=a22,a3=a34,則得1a1a20,且 a=(aj)2求證:an=n證明:由已知,a13=a12,a10, a1=1設(shè)nk(kN,且k1)時,由a =(aj)2成立可證ak=k成立當(dāng)n=k+1時,a=(aj)2=(aj)2+2ak+1(aj)+a 即 k2(k+1)2+a=k2(k+1)2+2ak+1k(k+1)+a aak+1k(k+1)=0,解此方程,得ak+1=k或a
9、k+1=k+1由an0知,只有ak+1=k+1成立即n=k+1時命題也成立由數(shù)學(xué)歸納原理知對于一切nN*,an=n成立第二試一(本題滿分35分)已知 在ABC中,ABAC,A的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E,過E作EFAB,垂足為F求證 2AF=AB-AC 證明:在FB上取FG=AF,連EG、EC、EB,于是AEG為等腰三角形,EG=EA又3=180EGA=180EAG=1805=41=2于是EGBEACBG=AC,故證二已知xiR(i=1,2,n;n2),滿足 |xi|=1,xi=0,求證: 證明:由已知可知,必有xi0,也必有xj0的數(shù),x,x,x為諸xi中所有時,=+xx=于是當(dāng)3,則基本項的個數(shù)為4的倍數(shù),設(shè)共有4m項其中每個數(shù)aij(=1)都要在(n1)!個基本項中出現(xiàn),故把所有基本項乘起來后,每個aij都乘了(n1)!次,而n3,故(n1)!為偶數(shù),于是該乘積等于1這說明等于1的基本項有偶數(shù)個,同樣,等于+1的基本項也有偶數(shù)個若等于1的基本項有4l個,則等于+1的基本項有4m4l個,其和為4m4l4l=4(m2l)為4的倍數(shù);若等于1的基本項有4l2個,則等于+1的基本項有4m4l+2個,其和為4m4l+24l+2=4(m2l+1)為4的倍數(shù)故證