《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(10月15日上午8001000)一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)： 1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(，) B， C(，) D， 3對任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳
2、角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D245若 M=z| z=+i，tR，t1，t0， N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost)，tR，|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D46集合M=u|u=12m+8n+4l，其中m，n，lZN=u|u=20p+16q+12r，其中p，q，rZ的關(guān)系為AM=N BMN，NM CMN DNM 三填空題(本題滿分30分，每小題5分)1若loga0，且 a=(aj)2求證：an=n第二試(上午10301230)一(本題滿分35分)ABCEF已知 在ABC中，ABAC，A的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作E
3、FAB，垂足為F求證 2AF=AB-AC 二(本題滿分35分)已知xiR(i=1，2，n；n2)，滿足 |xi|=1，xi=0，求證： 三(本題滿分35分)有nn（n4)的一張空白方格表，在它的每一個方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個數(shù)中的一個，現(xiàn)將表內(nèi)n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個基本項試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部基本項之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中kZ）1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)：1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面
4、內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：0A、B90A+BA90B0，sinAcosB，cosAsinB故cosBsinA0點(diǎn)Z位于第二象限選B 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(，) B， C(，) D， 解：因x1，1，故arctanx，arcsinx，且f(1)=，f(1)= 選D3對任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 解：令x1=t，則得f(t)=f(t)，即f(t)關(guān)于t=0對稱
5、，即此二圖象關(guān)于x=1對稱選B4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D24 解：以不相鄰的4個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的8個面都是銳角三角形其余的三角形都不是銳角三角形選C5若 M=z| z=+i，tR，t1，t0， N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost)，tR，|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D4解：M的圖象為雙曲線xy=1(x0，x1)N的圖象為x2+y2=2(x0)，二者無公共點(diǎn)選A6集合M=u|u=12m+8n+4l，其中m，n，lZN=u|u=20p+16q+12r，其中p，q，rZ的關(guān)系為
6、AM=N BMN，NM CMN DNM 解：u=12m+8n+4l=4(3m+2n+l)，由于3m+2n+l可以取任意整數(shù)值，故M表示所有4的倍數(shù)的集合同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全體4的倍數(shù)的集合于是M=N三填空題(本題滿分30分，每小題5分)1若loga1，則a的取值范圍是 解：若0a1，則loga1，則得a故填(0，1)(，+)2已知直線l：2x+y=10，過點(diǎn)(10，0)作直線ll，則l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 解：直線l方程為(x+10)2y=0，解得交點(diǎn)為(2，6)3設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)1|，f2(x)= |f1(x)2|，則函
7、數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 .解 圖1是函數(shù)f0(x)=|x|的圖形，把此圖形向下平行移動1個單位就得到函數(shù)f0(x)=|x|1的圖形，作該圖形的在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得出圖2，其中在x軸上方的部分即是f1(x)=|f0(x)1|的圖象，再把該圖象向下平行移動2個單位得到f0(x)=|x|2的圖象，作該圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得到圖3，其中x軸上方的部分即是f2(x)= |f1(x)2|的圖象。易得所求面積為7。4一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 解 設(shè)其小數(shù)部分為(01)，整數(shù)部分為n(nN*)，則得，(n
8、+)=n2， n2n+n+1 n0，知，a= 原數(shù)為5如果從數(shù)1，2，3，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時滿足a2a13，與a3a23，那么，所有符合上述要求的不同取法有 種 解：令a1=a1，a2=a22，a3=a34，則得1a1a20，且 a=(aj)2求證：an=n證明：由已知，a13=a12，a10， a1=1設(shè)nk(kN，且k1)時，由a =(aj)2成立可證ak=k成立當(dāng)n=k+1時，a=(aj)2=(aj)2+2ak+1(aj)+a 即 k2(k+1)2+a=k2(k+1)2+2ak+1k(k+1)+a aak+1k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=k或a
9、k+1=k+1由an0知，只有ak+1=k+1成立即n=k+1時命題也成立由數(shù)學(xué)歸納原理知對于一切nN*，an=n成立第二試一(本題滿分35分)已知 在ABC中，ABAC，A的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB，垂足為F求證 2AF=AB-AC 證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB，于是AEG為等腰三角形，EG=EA又3=180EGA=180EAG=1805=41=2于是EGBEACBG=AC，故證二已知xiR(i=1，2，n；n2)，滿足 |xi|=1，xi=0，求證： 證明：由已知可知，必有xi0，也必有xj0的數(shù)，x，x，x為諸xi中所有時，=+xx=于是當(dāng)3，則基本項的個數(shù)為4的倍數(shù)，設(shè)共有4m項其中每個數(shù)aij(=1)都要在(n1)!個基本項中出現(xiàn)，故把所有基本項乘起來后，每個aij都乘了(n1)!次，而n3，故(n1)!為偶數(shù)，于是該乘積等于1這說明等于1的基本項有偶數(shù)個，同樣，等于+1的基本項也有偶數(shù)個若等于1的基本項有4l個，則等于+1的基本項有4m4l個，其和為4m4l4l=4(m2l)為4的倍數(shù)；若等于1的基本項有4l2個，則等于+1的基本項有4m4l+2個，其和為4m4l+24l+2=4(m2l+1)為4的倍數(shù)故證
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9
