高中數(shù)學(xué)講義微專題17函數(shù)的極值

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1、微專題17 函數(shù)的極值 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、函數(shù)極值的概念： （1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作，其中是極大值點(diǎn) （2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作，其中是極小值點(diǎn) 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 2、在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)： （1）極值是一個(gè)局部概念：由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小 （2）函數(shù)的極值

2、不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè) （3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值 （4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 3、極值點(diǎn)的作用： （1）極值點(diǎn)為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn) （2）極值點(diǎn)是函數(shù)最值點(diǎn)的候選點(diǎn) 4、費(fèi)馬引理：在處可導(dǎo)，那么為的一個(gè)極值點(diǎn) 說明：①前提條件：在處可導(dǎo) ②單向箭頭：在可導(dǎo)的前提下，極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，但是導(dǎo)數(shù)不能推出為的一個(gè)極值點(diǎn)，例如：在處導(dǎo)數(shù)值為0，但不是極值點(diǎn) ③費(fèi)馬引理告訴我們，判斷極值點(diǎn)可以通過導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行，但是極值點(diǎn)的定義與

3、導(dǎo)數(shù)無關(guān)（例如：在處不可導(dǎo)，但是為函數(shù)的極小值點(diǎn)） 5、求極值點(diǎn)的步驟： （1）篩選： 令求出的零點(diǎn)（此時(shí)求出的點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)） （2）精選：判斷函數(shù)通過的零點(diǎn)時(shí)，其單調(diào)性是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn) （3）定性： 通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)：先增后減→極大值點(diǎn)，先減后增→極小值點(diǎn) 6、在綜合題分析一個(gè)函數(shù)時(shí)，可致力于求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)求出單調(diào)區(qū)間時(shí)，極值點(diǎn)作為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)也自然體現(xiàn)出來，并且可根據(jù)單調(diào)性判斷是極大值點(diǎn)還是極小指點(diǎn)，換言之，求極值的過程實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的過程。 7、對(duì)于在定義域中處處可導(dǎo)的函數(shù)，極值點(diǎn)是導(dǎo)

4、函數(shù)的一些零點(diǎn)，所以涉及到極值點(diǎn)個(gè)數(shù)或所在區(qū)間的問題可轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題。但要注意檢驗(yàn)零點(diǎn)能否成為極值點(diǎn)。 8、極值點(diǎn)與函數(shù)奇偶性的聯(lián)系： （1）若為奇函數(shù)，則當(dāng)是的極大（極?。┲迭c(diǎn)時(shí)，為的極小（極大）值點(diǎn) （2）若為偶函數(shù)，則當(dāng)是的極大（極?。┲迭c(diǎn)時(shí)，為的極大（極?。┲迭c(diǎn) 二、典型例題： 例1：求函數(shù)的極值. 解： 令解得： 的單調(diào)區(qū)間為： 極大值 的極大值為，無極小值 小煉有話說：（1）求極值時(shí)由于要判定是否為極值點(diǎn)以及極大值或極小值，所以可考慮求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而在表格中加入一列極值點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性即可進(jìn)行判斷 （2

5、）在格式上有兩點(diǎn)要求：第一推薦用表格的形式將單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)清晰地表示出來，第二在求極值點(diǎn)時(shí)如果只有一個(gè)極大（或極?。┲迭c(diǎn)，則需說明另一類極值點(diǎn)不存在 例2：求函數(shù)的極值。 解：，令解得： 的單調(diào)區(qū)間為： 極小值 的極小值為，無極大值 小煉有話說：本題若使用解極值點(diǎn)，則也滿足，但由于函數(shù)通過這兩個(gè)點(diǎn)時(shí)單調(diào)性沒有發(fā)生變化，故均不是極值點(diǎn)。對(duì)比兩個(gè)方法可以體會(huì)到求極值點(diǎn)歸根結(jié)底還是要分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例3：求函數(shù)在上的極值 思路：利用求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷極值情況 解： 令解得： 的單調(diào)區(qū)間為：

6、 的極小值為，極大值為 小煉有話說：在本題中如果僅令，則僅能解得這一個(gè)極值點(diǎn)，進(jìn)而丟解。對(duì)于與，實(shí)質(zhì)上在這兩點(diǎn)處沒有導(dǎo)數(shù)，所以在中才無法體現(xiàn)出來，由此我們可以得到以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn) （1）利用來篩選極值點(diǎn)的方法在有些特殊函數(shù)中會(huì)丟解，此類點(diǎn)往往是不存在導(dǎo)函數(shù)的點(diǎn)。例如：中的，是極值點(diǎn)卻不存在導(dǎo)數(shù) （2）在尋找極值點(diǎn)時(shí)，若能求出的單調(diào)區(qū)間，則利用單調(diào)區(qū)間求極值點(diǎn)是可靠的 例4：已知函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值，試確定的值，并求出的單調(diào)區(qū)間。 思路：，由極值點(diǎn)條件可得：，兩個(gè)條件可解出，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間 解： 在點(diǎn)取得極小值 ，令，解得或 的單調(diào)區(qū)間為：

7、 小煉有話說：關(guān)注“在點(diǎn)處有極小值”，一句話表達(dá)了兩個(gè)條件，作為極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零，作為曲線上的點(diǎn)，函數(shù)值為1，進(jìn)而一句話兩用，得到關(guān)于的兩個(gè)方程。 例5：若函數(shù)在時(shí)有極值，則_________ 思路：，依題意可得：，可解得： 或，但是當(dāng)時(shí)， 所以盡管但不是極值點(diǎn)，所以舍去。經(jīng)檢驗(yàn)：符合， 答案： 小煉有話說：對(duì)于使用極值點(diǎn)條件求參數(shù)值時(shí)，求得結(jié)果一定要代回導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，看導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 例6：在處有極小值，則實(shí)數(shù)為 . 思路：,為極小值點(diǎn)，，解得：或，考慮代入結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)：時(shí)，，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。進(jìn)而為極小值

8、點(diǎn)符合題意，而當(dāng)時(shí)，，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。進(jìn)而為極大值點(diǎn)，故不符合題意舍去 答案： 小煉有話說：在已知極值點(diǎn)求參數(shù)范圍時(shí)，考慮利用極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值等于零的條件，但在解完參數(shù)的值后要進(jìn)行檢驗(yàn)，主要檢驗(yàn)兩個(gè)地方：① 已知極值點(diǎn)是否仍為函數(shù)的極值點(diǎn) ② 參數(shù)的值能否保證極大值或極小值點(diǎn)滿足題意。 例7： （1）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________ （2）已知函數(shù)存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是_________ （1）思路：，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，從而只需，即或 答案：或 （2）思路：存在極值點(diǎn)即有實(shí)數(shù)根，，但是當(dāng)即時(shí), ，不存在極值點(diǎn)，所以方程

9、依然要有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，的范圍為或 答案：或 小煉有話說：本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn) （1）在考慮存在極值點(diǎn)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成為方程的根的問題，使得解決方法多樣化，可與函數(shù)零點(diǎn)和兩圖象的交點(diǎn)找到關(guān)系 （2）方程根的個(gè)數(shù)并不一定等于極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以要判斷函數(shù)在通過該點(diǎn)時(shí)單調(diào)性是否發(fā)生了變化 （3）本題兩問結(jié)果相同，是由導(dǎo)函數(shù)方程為二次方程，其時(shí)，其根不能作為極值點(diǎn)所致。 例8：設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．若函數(shù)的有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)； 思路：，定義域?yàn)椋艉瘮?shù)的有極值點(diǎn)，則有正根且無重根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，通過韋達(dá)定理刻畫根的符號(hào)，進(jìn)而確定的范圍 解：（1

10、），令即 有極值點(diǎn) 有正的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的根為 ① 有兩個(gè)極值點(diǎn)，即, ② 有一個(gè)極值點(diǎn)，即 綜上所述： （2）思路：利用第（1）問的結(jié)論根據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論 方程的兩根為： ① 當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)區(qū)間為： 的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為 ② 當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)區(qū)間為： 的極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn) 綜上所述： 當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn) 小煉有話說： （1）導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時(shí)，其極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)與參數(shù)的取值有關(guān)，一方面體現(xiàn)在參數(shù)的取值能否保證導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)

11、存在方程的解，另一方面體現(xiàn)在當(dāng)方程的解與參數(shù)有關(guān)時(shí)，參數(shù)會(huì)影響到解是否在定義域內(nèi)。只有符合這兩個(gè)條件的解才有可能成為極值點(diǎn)。這兩點(diǎn)也是含參函數(shù)中對(duì)參數(shù)分類討論的入手點(diǎn) （2）對(duì)于二次方程而言，可利用韋達(dá)定理或者實(shí)根分布來處理極值存在問題。韋達(dá)定理主要應(yīng)用于判定極值點(diǎn)的符號(hào)，而根分布的用途更為廣泛，能夠?qū)?shí)根分布區(qū)間與二次函數(shù)的判別式，對(duì)稱軸，端點(diǎn)值符號(hào)聯(lián)系起來。在本題中由于只需要判定根是否為正，從而使用韋達(dá)定理即可 例9：若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______________ 思路：,令.函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，又因?yàn)槭嵌x域的子區(qū)間，所以，綜上可得： 答案： 小煉有話說：本題雖然沒有提到極值點(diǎn)，但是卻體現(xiàn)了極值點(diǎn)的作用：連續(xù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。所以在連續(xù)函數(shù)中，“不單調(diào)”意味著極值點(diǎn)位于所給區(qū)間內(nèi)。 例10：設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 思路：，,， 由此可得： ，所解不等式化為： 所以 答案：C - 9 -