新編高三理科數(shù)學新課標二輪習題：專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練16 Word版含答案

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1、 專題能力訓練16　直線與圓 能力突破訓練 1.(20xx內(nèi)蒙古包頭一模)已知圓E經(jīng)過三點A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標準方程為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x-322+y2=254 B.x+342+y2=2516 C.x-342+y2=2516 D.x-342+y2=254 2.(20xx河南重點中學聯(lián)考)若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則△ECF的面積為(　　) A.32 B.25 C.355 D.34 3.已知直線y=kx+3與圓(x-1)2

2、+(y+2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥23,則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.-∞,-125 B.-∞,-125 C.-∞,125 D.-∞,125 4.已知實數(shù)a,b滿足a2+b2-4a+3=0,函數(shù)f(x)=asin x+bcos x+1的最大值記為φ(a,b),則φ(a,b)的最小值是(　　) A.1 B.2 C.3+1 D.3 5.(20xx中原名校聯(lián)考)已知兩條直線l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,則a=　　　　　.? 6.已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點,且直線3x+4y+2=0與該圓相切,則

3、該圓的方程為　　　　　　　　　　　　.? 7.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點F關于直線y=x對稱,直線4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,則圓C的方程為　.? 8.已知P是拋物線y2=4x上的動點,過點P作拋物線準線的垂線,垂足為點M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點,則|PM|+|PN|的最小值是　　　　　.? 9.在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-3y=4相切. (1)求圓O的方程; (2)若圓O上有兩點M,N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=23,求直線MN的方程; (3)設圓O與x軸相交于A,B兩點,若圓

4、內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求PA·PB的取值范圍. 10. 已知圓O:x2+y2=4,點A(3,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點B的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程; (2)直線AB交圓O于C,D兩點,當B為CD的中點時,求直線AB的方程. 11.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)若OM·ON=12,其中O為坐標原點,求|MN|.

5、 思維提升訓練 12.(20xx全國Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為(　　) A.3 B.22 C.5 D.2 13.已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是 (　　) A.(0,1) B.1-22,12 C.1-22,13 D.13,12 14.(20xx江蘇,13)在平面直角坐標系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,

6、則點P的橫坐標的取值范圍是　　　　　.? 15.已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=　　　　　.? 16. 如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4). (1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程; (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程; (3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范

7、圍. 17.已知以點Ct,2t(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點. (1)求證:△AOB的面積為定值; (2)設直線2x+y-4=0與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程; (3)在(2)的條件下,設P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點,求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標. 參考答案 專題能力訓練16　直線與圓 能力突破訓練 1.C　解析用排除法

8、,因為圓心在x軸的正半軸上,排除B;代入點A(0,1),排除A,D.故選C. 2.B　解析由題意,圓心為C(2,-3),半徑為r=3,則△ECF的高h=d=|2+2×3-3|1+(-2)2=5,底邊長為l=2r2-d2=29-5=4,所以S△ECF=12×4×5=25,故選B. 3.B　解析當|MN|=23時,在弦心距、半徑和半弦長構成的直角三角形中,可知圓心(1,-2)到直線y=kx+3的距離為4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|≥23,則k≤-125. 4.B　解析由題意知φ(a,b)=a2+b2+1,且(a,b)滿足a2+b2-4a+3=0,即

9、(a,b)在圓C:(a-2)2+b2=1上,圓C的圓心為(2,0),半徑為1,a2+b2表示圓C上的動點(a,b)到原點的距離,最小值為1,所以φ(a,b)的最小值為2.故選B. 5.0或12　解析當a=0時,l1⊥l2,當a≠0時,由-1a·2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=12. 6.(x-1)2+y2=1　解析因為拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),所以a=1,b=0.又根據(jù)|3×1+4×0+2|32+42=1=r,所以圓的方程為(x-1)2+y2=1. 7.x2+(y-1)2=10　解析拋物線y2=4x的焦點F(1,0)關于直線y=x的對稱點C(0,1)是圓心,C到

10、直線4x-3y-2=0的距離d=|4×0-3×1-2|5=1. ∵圓截直線4x-3y-2=0的弦長為6, ∴圓的半徑r=12+32=10. ∴圓方程為x2+(y-1)2=10. 8.26-1　解析拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離,進而推斷出當P,C,F三點共線時,點P到點C的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值為|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1. 9.解(1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-3y

11、=4的距離, 即r=41+3=2.所以圓O的方程為x2+y2=4. (2)由題意,可設直線MN的方程為2x-y+m=0. 則圓心O到直線MN的距離d=|m|5. 由垂徑定理,得m25+(3)2=22,即m=±5. 所以直線MN的方程為2x-y+5=0或2x-y-5=0. (3)設P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列, 得(x+2)2+y2·(x-2)2+y2=x2+y2, 即x2-y2=2. 因為PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1), 且點P在圓O內(nèi),所以0≤x2+y2<4,x2-y2=

12、2.由此得0≤y2<1.所以PA·PB的取值范圍為[-2,0). 10.解(1)設AB的中點為M,切點為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4. 取點A關于y軸的對稱點A',連接A'B, 則|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|. 所以點B的軌跡是以A',A為焦點,長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=3,b=1,故曲線Γ的方程為x24+y2=1. (2)因為B為CD的中點,所以OB⊥CD, 則OB⊥AB.設B(x

13、0,y0), 則x0(x0-3)+y02=0. 又x024+y02=1,解得x0=23,y0=±23. 則kOB=±22,kAB=?2,則直線AB的方程為y=±2(x-3), 即2x-y-6=0或2x+y-6=0. 11.解(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1. 因為l與C交于兩點,所以|2k-3+1|1+k2<1. 解得4-73

14、)1+k2,x1x2=71+k2. OM·ON=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8. 由題設可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1, 所以l的方程為y=x+1. 故圓心C在l上,所以|MN|=2. 思維提升訓練 12.A　解析建立如圖所示的平面直角坐標系, 則A(0,1),B(0,0),D(2,1). 設P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255, 即圓的方程是(x-2)2+y2=45. 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2

15、,0). 由AP=λAB+μAD, 得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y, 所以λ+μ=12x-y+1. 設z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因為點P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上, 所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離d≤r, 即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3, 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故選A. 13.B　解析 由題意可得,△ABC的面積為S=12·AB·OC=1, 由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M-ba,0,由-ba≤0可得點M在射線OA上. 設直線和BC的交點為N,又直線

16、BC的方程為x+y=1, 則由y=ax+b,x+y=1,可得點N的坐標為1-ba+1,a+ba+1. ①若點M和點A重合,則點N為線段BC的中點,則-ba=-1,且a+ba+1=12,解得a=b=13. ②若點M在點O和點A之間,則點N在點B和點C之間,由題意可得△NMB的面積等于12,即12·|MB|·yN=12,即12·1+ba·a+ba+1=12,解得a=b21-2b>0,則b<12. ③若點M在點A的左側,則-ba<-1,b>a,設直線y=ax+b和AC的交點為P,則由y=ax+b,y=x+1,求得點P的坐標為1-ba-1,a-ba-1, 此時,NP=1-ba+1-1-ba-

17、12+a+ba+1-a-ba-12 =-2(1-b)(a+1)(a-1)2+2a(b-1)(a+1)(a-1)2 =4(1+a2)(1-b)2(a+1)2(a-1)2=2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2, 此時,點C(0,1)到直線y=ax+b的距離為|0-1+b|1+a2=|b-1|1+a2, 由題意可得,△CPN的面積等于12, 即12·2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2·|b-1|1+a2=12, 化簡,得2(1-b)2=|a2-1|. 由于此時0

18、<12,即b>1-22, 綜合以上可得,b=13符合題意,且b<12,b>1-22,即b的取值范圍是1-22,12. 14.[-52,1]　解析 設P(x,y),由PA·PB≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20. 把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+5≤0表示的平面區(qū)域及P點在圓上,可得點P在圓弧EPF上,所以點P橫坐標的取值范圍為[-52,1]. 15.4　解析因為|AB|=23,且圓的半徑R=23, 所以圓心(0,0)到直線mx+y+3m-

19、3=0的距離為R2-|AB|22=3. 由|3m-3|m2+1=3,解得m=-33. 將其代入直線l的方程,得y=33x+23,即直線l的傾斜角為30°. 由平面幾何知識知在梯形ABDC中, |CD|=|AB|cos30°=4. 16.解 圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設N(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0

20、直線l的斜率為4-02-0=2. 設直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0, 則圓心M到直線l的距離 d=|2×6-7+m|5=|m+5|5. 因為BC=OA=22+42=25, 而MC2=d2+BC22, 所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)設P(x1,y1),Q(x2,y2). 因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ, 所以x2=x1+2-t,y2=y1+4. ① 因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. ② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(y

21、1-3)2=25. 于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點, 所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-221≤t≤2+221. 因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-221,2+221]. 17.(1)證明由題設知,圓C的方程為(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化簡,得x2-2tx+y2-4ty=0.當y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);當x=0時,y=0或4t,則B0,4t,故S△AOB=12|OA|·|OB|=1

22、2|2t|·4t=4為定值. (2)解∵|OM|=|ON|,∴原點O在MN的中垂線上. 設MN的中點為H,則CH⊥MN, ∴C,H,O三點共線,則直線OC的斜率k=2tt=2t2=12,∴t=2或t=-2. ∴圓心為C(2,1)或(-2,-1), ∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5. 由于當圓的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時不滿足直線與圓相交,舍去,故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. (3)解點B(0,2)關于直線x+y+2=0的對稱點為B'(-4,-2),則|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|. 又點B'到圓上點Q的最短距離為|B'C|-r=(-6)2+(-3)2-5=35-5=25, 所以|PB|+|PQ|的最小值為25,直線B'C的方程為y=12x,則直線B'C與直線x+y+2=0的交點P的坐標為-43,-23.