新版高考數學一輪復習學案訓練課件： 第3章 三角函數、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數的基本關系與誘導公式學案 理 北師大版

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2、 1 第二節(jié)　同角三角函數的基本關系與誘導公式 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． (對應學生用書第49頁) [基礎知識填充] 1．同角三角函數的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數關系

3、：tan α＝. 2．誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變 符號看象限 記憶規(guī)律 奇變偶不變，符號看象限 [知識拓展]　1.誘導公式的兩個應用：(1)求值：負化正，大化小，化到銳

4、角為終了． (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了． 2．“1”代換sin2α＋cos2α＝1. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)誘導公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的“奇、偶”是指的奇數倍、偶數倍，“變與不變”指函數名稱是否變化．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知α是第

5、二象限角，sin α＝，則cos α等于(　　) A．－　 B．－　　　C．　　　D． B　[∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－.] 3．cos－sin＝________. 　[cos－sin＝cos＋sin＝cos＋sin ＝cos ＋sin ＝＋＝.] 4．已知tan α＝2，則的值為________． 　[∵tan α＝2， ∴＝＝＝.] 5．已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)＝________. －　[因為sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.] (對應學生用書第50頁) 同角

6、三角函數基本關系式的應用 　(1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，則cos α－sin α的值為(　　) A．－　 B． C．－ D． (2)(20xx·全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A． B． C．1 D． (1)B　(2)A　[(1)∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. (2)∵tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝，故選A．]

7、[規(guī)律方法]　同角三角函數關系式及變形公式的應用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化. (2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. (3)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [跟蹤訓練]　(1)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　) 【導學號：7914010

8、5】 A． B．－ C． D．－ (2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為(　　) A． B．－ C． D．－ (1)D　(2)B　[(1)法一：因為α為第四象限的角，故cos α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－. 法二：因為α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的終邊上取一點P(12，－5)，則tan α＝＝－.故選D． (2)因為(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，則(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ

9、·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因為θ∈，所以sin θ＜cos θ， 即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－.] 誘導公式的應用 　(1)化簡sin(－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)·sin(－261°)的結果為(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 (2)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (1)C　(2)C　[(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·

10、sin 261° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. (2)當k為偶數時，A＝＋＝2； k為奇數時，A＝－＝－2.] [規(guī)律方法]　利用誘導公式的方法與步驟 (1)方法：利用誘導公式應注意已知角或函數名稱與所求角或函數名稱之間存在的關系，尤其是角之間的互余、互補關系，選擇恰當的公式，向所求角和三角函數進行化歸． (2)步驟： 易錯警示：利用誘導公式的關鍵是符號問題． [跟蹤訓練]　(1)(20xx·南昌一模)(1)若sin＝，則cos＝_____

11、___. (2)計算：＝________. (1)　(2)－1　[cos＝cos＝sin＝. (2)原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1.] 同角關系式與誘導公式的綜合應用 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. (2)(20xx·鄭州質檢)已知cos＝2sin，則的值為________. 【導學號：79140106】 (1)－　(2)　[(1)由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. tan＝tan＝－ ＝－＝－＝－. (2)∵cos＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，

12、則sin α＝2cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝. ＝ ＝＝cos2α－＝.] [規(guī)律方法]　三角函數求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝進行弦切互化. (2)和積轉換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉化. (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan等. (4)利用相關角的互補、互余等特殊關系可簡化解題步驟. [跟蹤訓練]　(1)已知sin α＝，α是第二象限角，則tan(π－α)＝________. (2)(20xx·湖北調考)已知tan＝5，則＝(　　) A． B．－ C．± D．－ (1)　(2)B　[(1)∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－， ∴tan α＝－，故tan(π－α)＝－tan α＝. (2)∵tan＝＝＝－＝5，∴tan x＝－，∴＝＝＝－，故選B．]