新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練44　雙曲線

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1、 1 1課時(shí)規(guī)范練44雙曲線一、選擇題1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線B.雙曲線左邊一支C.雙曲線右邊一支D.一條射線答案:C解析:|PM|-|PN|=3|PN|,故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支.2.與橢圓+y2=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=1答案:B解析:橢圓+y2=1的焦點(diǎn)為(,0).因?yàn)殡p曲線與橢圓共焦點(diǎn),所以排除A,C.又雙曲線-y2=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),所以選B.3.如圖,正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A,D為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上,則該雙曲線的

2、離心率是()A.+1B.-1C.D.答案:A解析:令正六邊形的邊長(zhǎng)為m,則有AD=2m,AB=m,BD=m,該雙曲線的離心率等于+1.4.已知雙曲線=1(a0,b0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合,該雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線斜率為()A.2B.C.D.答案:C解析:由拋物線y2=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),可得雙曲線=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),即得a=5.又由e=,可解得c=,則b2=c2-a2=,即b=.由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k=.5.設(shè)F1,F2是雙曲線-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,當(dāng)F1PF2的面積為2時(shí),的值為()A.2B.3C.4D.6答案

3、:B解析:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),依題意得,|F1F2|=2=4,|F1F2|y0|=2|y0|=2,|y0|=1.又=1,=3(+1)=6,=(-2-x0,-y0)(2-x0,-y0)=-4=3.6.(20xx山東高考)拋物線C1:y=x2(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=()A.B.C.D.答案:D解析:設(shè)M,y=,故在M點(diǎn)處的切線的斜率為,故M.由題意又可知拋物線的焦點(diǎn)為,雙曲線右焦點(diǎn)為(2,0),且,(2,0)三點(diǎn)共線,可求得p=,故選D.二、填空題7.(20xx江蘇高考)雙曲線=1的兩條漸近線的

4、方程為.答案:y=x解析:由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為y=x.8.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為.答案:-2解析:由題可知A1(-1,0),F2(2,0).設(shè)P(x,y)(x1),則=(-1-x,-y),=(2-x,-y),=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.x1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對(duì)稱軸為x=,當(dāng)x=1時(shí),取得最小值-2.9.中心在原點(diǎn)的雙曲線,一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,),一個(gè)焦點(diǎn)到最近頂點(diǎn)的距離是-1,則雙曲線的方程是.答案:y2-=110.設(shè)雙曲線x2-=

5、1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,P是雙曲線上的一點(diǎn),且|PF1|PF2|=34,則PF1F2的面積等于.答案:8解析:依題意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,又|PF1|PF2|=34,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰PF1F2的面積為S=8=8.11.已知雙曲線=1(a0,b0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,M是雙曲線上任意一點(diǎn),若直線MA1,MA2的斜率之積等于2,則該雙曲線的離心率是.答案:解析:設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),則直線MA1的斜率是,直線MA2的斜率是,直線MA1,MA2的斜率之積是,故=2,故該雙曲線的離心率e=.三、解答題12

6、.已知雙曲線C1:=1(a0,b0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,求拋物線C2的方程.解:由于e=2,c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,b2=3a2,即b=a.雙曲線的漸近線方程y=x即為y=x,即x+y=0.又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,F到漸近線的距離為2,即=2,解得p=8.拋物線C2的方程為x2=16y.13.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(4,-),點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.(1)求雙曲線方程;(2)求證:=0;(3)求F1MF2的面積.(1)解:因?yàn)閑=,所以可設(shè)雙曲線方程為x2-y

7、2=.因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,-),所以16-10=,即=6.所以雙曲線方程為x2-y2=6.(2)證明:由(1)可知a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=-.因?yàn)辄c(diǎn)(3,m)在雙曲線上,所以9-m2=6,即m2=3.故=-1,所以MF1MF2.所以=0.(3)解:F1MF2的底邊長(zhǎng)|F1F2|=4,F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,所以=6.來(lái)源:14.如圖所示,雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),雙曲線的左支上有一點(diǎn)P,F1PF2=,且PF1F2的面積為2,又雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程.解:設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0),來(lái)源:數(shù)

8、理化網(wǎng)F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).在PF1F2中,由余弦定理,得來(lái)源:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|PF2|,又=2,|PF1|PF2|sin=2,|PF1|PF2|=8.4c2=4a2+8,即b2=2.又e=2,a2=,雙曲線的方程為=1.15.直線l:y=(x-2)和雙曲線C:=1(a0,b0)交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,又l關(guān)于直線l1:y=x對(duì)稱的直線l2與x軸平行.(1)求雙曲線C的離心率;(2)求雙曲線C的方程.來(lái)源:解:(1)設(shè)雙曲線C

9、:=1過(guò)一、三象限的漸近線l1:=0的傾斜角為.因?yàn)閘和l2關(guān)于l1對(duì)稱,記它們的交點(diǎn)為P.而l2與x軸平行,記l2與y軸交點(diǎn)為Q點(diǎn).依題意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的傾斜角為60,則2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+,所以e=.(2)由,可設(shè)雙曲線方程為=1,即x2-3y2=3k2.將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-33(x-2)2=3k2.化簡(jiǎn)得8x2-36x+36+3k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|=2=2=,求得k2=1.故所求雙曲線C的方程為-y2=1.四、選做題1.已知拋物線y2=2px

10、(p0)的焦點(diǎn)F恰為雙曲線=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),且兩曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F,則雙曲線的離心率為()A.2+B.1+C.2D.答案:B解析:拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F,故雙曲線=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為,根據(jù)圖形的性質(zhì)可知兩曲線交點(diǎn)的連線AB垂直于x軸,故AB為雙曲線的通徑,則有=2p,p2=,又A在雙曲線上,故=1,整理得=1.設(shè)=t,t2-4t-4=0,t=2+2.e2=1+2+2=3+2=(1+)2,e=1+.2.已知雙曲線x2-y2=1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若PF1PF2,則|PF1|+|PF2|的值為.答案:2解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,因

11、為PF1PF2,所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|PF2|=4,則(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.3.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).(1)求雙曲線C的方程;來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.解:(1)設(shè)雙曲線C的方程為=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1,所以雙曲線C的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1中,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由題意得故k2且k22得xAxB+yAyB2,xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)k+2=,于是2,即0,解得k23.由得k21,所以k的取值范圍為.