新版高考數學復習 專題1.4 函數與導數專題突破 全國高考數學考前復習大串講

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2、 1 專題一 高考中函數圖象與性質的綜合應用 題型一　分段函數求值問題 【例1】　設f(x)＝ 且f(1)＝6，則f(f(－2))的值為________. 【思維啟迪】　首先根據f(1)＝6求出t的取值，從而確定函數解析式，然后由里到外逐層求解f(f(－2))的值，并利用指數與對數的運算規(guī)律求出函數值. 【答案】　12 【思維升華】　本題的難點有兩個，一是準確理解

3、分段函數的定義，自變量在不同取值范圍內對應著不同的函數解析式；二是對數與指數的綜合運算問題.解決此類問題的關鍵是要根據分段函數的定義，求解函數值時要先判斷自變量的取值區(qū)間，然后再代入相應的函數解析式求值，在求值過程中靈活運用對數恒等式進行化簡求值. 【跟蹤訓練】已知f(x)＝則f＋f的值等于________. 【答案】　3 【解析】　f＝，f＝f＋1＝f＋2＝，f＋f＝3. 題型二　函數圖象及性質的應用 【例2】　已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時f(x)＝2x－x2. (1)求函數f(x)的表達式并畫出其大致圖象； (2)若當x∈a，b]時，f(x)∈.若0

4、2，求a、b的值. 【思維啟迪】　(1)根據函數奇偶性畫出函數圖象；(2)在區(qū)間0,2]上，根據單調區(qū)間對a、b進行分類討論求解. 【解析】　(1)當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝x2＋2x， ∴f(x)＝， f(x)的大致圖象如下： ∴a＝1，b＝. ③0

5、蹤訓練】　(1)設函數f(x)＝若方程f(x)＝m有三個不同的實根，則實數m的取值范圍為________. (2)(20xx·天津變式)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間0，＋∞)上單調遞增.若實數a滿足f(log2a)＋f()≤2f(1)，則a的取值范圍是________. 【答案】　(1)(－，0)　(2) 【解析】　(1)作出函數y＝f(x)的圖象，如圖所示. 當x>0時，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－， 所以要使方程f(x)＝m有三個不同的實根， 則－

6、數g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在區(qū)間2,3]上有最大值4，最小值1，設f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈－1,1]上恒成立，求實數k的范圍. 【思維啟迪】　對于恒成立問題，若能轉化為a>f(x) (或a0時，g(x)在2,3]上為增函數， 故即解得 當a<0時，g(x)在

7、2,3]上為減函數， 故即解得 因為b<1，所以a＝1，b＝0. (2)方程f(2x)－k·2x≥0化為2x＋－2≥k·2x， 即1＋()2－≥k.令＝t，則k≤t2－2t＋1， 因為x∈－1,1]，所以t∈，2]，記φ(t)＝t2－2t＋1， 所以φ(1)min＝0，所以k≤0. 【思維升華】　解決二次函數最值的關鍵是抓住圖象的開口方向、對稱軸與區(qū)間的相對位置；不等式恒成立問題關鍵是看不等式的特點，靈活運用函數的性質，如二次不等式恒成立問題可運用圖象、分離變量運用函數值域法等；已知含參數的方程的解的個數求參數的取值范圍時根據方程的特點，可運用函數的圖象處理. 【跟蹤訓練】　

8、定義在R上的增函數y＝f(x)對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求f(0)； (2)求證：f(x)為奇函數； (3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍. 【解析】 當≥0即k≥－1時，對任意t>0，f(t)>0恒成立? 解得－1≤k<－1＋2. 綜上所述，當k<－1＋2時，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立. 題型四　函數的實際應用 【例4】　據氣象中心觀察和預測，發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方 向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖所示，過線

9、 段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分 的面積即為t(h)內沙塵暴所經過的路線s(km). (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數學關系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km.試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由. 思維啟迪　本題用一次函數、二次函數模型來考查生活中的行程問題，要分析出每段的速度隨時間的關系式，再求距離. 【解析】(1)由圖象可知： 當t＝4時，v＝3×4＝12， ∴s＝×4×12＝24. (2)當0≤t≤10時

10、，s＝·t·3t＝t2； 當10

11、型，利用二次函數圖象與單調性解決. (3)在解決二次函數的應用問題時，一定要注意定義域. 【跟蹤訓練】 如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地 平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的 軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射 方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標. (1)求炮的最大射程. (2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由. 【解析】 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由實際意義和題設

12、條件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號. 所以炮的最大射程為10千米. (2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當a不超過6千米時，可擊中目標. 專題二 高考中導數的應用的問題 題型一　利用導數研究函數性質 【例1】　(20xx·課標全國Ⅱ)已知函數f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)討論f(x)的單調性； (2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的

13、取值范圍． 【思維升華】　利用導數主要研究函數的單調性、極值、最值．已知f(x)的單調性，可轉化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調區(qū)間上恒成立問題；含參函數的最值問題是高考的熱點題型，解此類題的關鍵是極值點與給定區(qū)間位置關系的討論，此時要注意結合導函數圖象的性質進行分析． 【跟蹤訓練】　已知a∈R，函數f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e為自然對數的底數)． (1)當a＝2時，求函數f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若函數f(x)在(－1,1)上單調遞增，求a的取值范圍． 題型二　利用導數研究不等式問題 【例2】　已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax

14、－3. (1)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍； (2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x>－成立． 【解析】 (1)　?x∈(0，＋∞)，有2xln x≥－x2＋ax－3，則a≤2ln x＋x＋， 設h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)， 則h′(x)＝， ①當x∈(0,1)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減， 【思維升華】　 (1)恒成立問題可以轉化為我們較為熟悉的求最值的問題進行求解，若不能分離參數，可以將參數看成常數直接求解． (2)證明不等式，可以轉化為求函數的最值問題． 【跟蹤訓練】　已知函數f(x)＝＋，曲

15、線y＝f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)證明：當x>0，且x≠1時，f(x) >. 【解析】 (1)　f′(x)＝－. 由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－，且過點(1,1)， 故即 解得a＝1，b＝1. (2)證明　由(1)知f(x)＝＋， 所以f(x)－＝. 考慮函數h(x)＝2ln x－ (x>0)， 則h′(x)＝－＝－. 所以當x≠1時，h′(x)<0.而h(1)＝0，故當x∈(0,1)時，h(x)>0，可得h(x)>0； 當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，可得h(x)>0. 從而當x>0，且x≠1時，

16、f(x)－>0. 即f(x)>. 題型三　利用導數研究函數零點或圖象交點問題 【例3】　設函數f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)當m＝e(e為自然對數的底數)時，f(x)的極小值； (2)討論函數g(x)＝f′(x)－零點的個數． 【解析】 (2)由題設g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 設φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 則φ′＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 當x∈(0,1)時，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上單調遞增； 當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調遞減

17、． ∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是φ(x)的最大值點． ∴φ(x)的最大值為φ(1)＝. 又φ(0)＝0，結合y＝φ(x)的圖象(如圖)， 可知 【思維升華】　 用導數研究函數的零點，一方面用導數判斷函數的單調性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉化為函數圖象的交點問題，利用數形結合思想畫草圖確定參數范圍． 【跟蹤訓練】　已知函數f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)． (1)當a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程； (2)若函數g(x)＝f(x)－ax＋m在，e]上有兩個零點，求實數m的取值范圍． 【解析】 (1)當a＝2時，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切點坐標為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)g(x)＝2ln x－x2＋m， 則g′(x)＝－2x＝. ∵x∈，e]， ∴當g′(x)＝0時，x＝1. 當0； 歡迎訪問“高中試卷網”——http://sj.fjjy.org