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1、新編高考數(shù)學復習資料第十五章 系列4選考部分第1講 幾何證明選講1如圖,已知B在AC上,D在BE上,且ABBC21,EDDB21,求ADDF.解 如圖,過D作DGAC交FC于G(還可過B作EC的平行線),DGBC.BCAC,DGAC.,DFAF,從而ADAF,故ADDF72.2. 如圖,圓O1與O2內切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1r2)圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)求證:ABAC為定值證明如圖,連接AO1,并延長分別交兩圓于點E和點D,連接BD、CE.圓O1與圓O2內切于點A,點O2在AD上,故AD、AE分別為圓O1,圓O2的直徑從而ABDACE90.BDCE,于是,A
2、BAC為定值3. 如圖,ABC是直角三角形,ACB90,CDAB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F.求證:FD2FBFC.證明E是RtACD斜邊AC的中點,DEEA,A2.又12,1A.FDCCDB1901,F(xiàn)BDACBA90A,F(xiàn)DCFBD.又F是公共角,F(xiàn)BDFDC,F(xiàn)D2FBFC.4. 如圖,在ABC中,CM是 ACB的平分線,AMC的外接圓O交BC于點N.若ACAB,求證:BN2AM.證明連結MN.因為CM是ACB的平分線,所以ACMNCM,所以AMMN.因為BB,BMNA,所以BMNBCA,所以2,即BN2MN2AM.5. 如圖,梯形ABCD內接于O,ADBC,
3、過點C作O的切線,交BD的延長線于點P,交AD的延長線于點E.(1)求證:AB2DEBC;(2)若BD9,AB6,BC9,求切線PC的長(1)證明ADBC,.ABCD,EDCBCD.又PC與O相切,ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC,即AB2DEBC.(2)解由(1)知,DE4,ADBC,PDEPBC,.又PBPD9,PD,PB.PC2PDPB.PC.6如圖,D,E分別為ABC的邊AB,AC上的點,且不與ABC的頂點重合已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關于x的方程x214xmn0的兩個根(1)證明:C,B,D,E四點共圓;(2)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所
4、在圓的半徑解 (1)證明:連結DE,根據(jù)題意在ADE和ACB中,ADABmnAEAC,即.又DAECAB,從而ADEACB.因此ADEACB.所以C,B,D,E四點共圓(2)m4,n6時,方程x214xmn0的兩根為x12,x212.故AD2,AB12.取CE的中點G,DB的中點F,分別過G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點,連結DH.因為C,B,D,E四點共圓,所以C,B,D,E四點所在圓的圓心為H,半徑為DH.由于A90,故GHAB,HFAC.從而HFAG5,DF(122)5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5.7. 如圖,圓O是ABC的外接圓,延長BC邊上的高AD交圓O于點E,H
5、為ABC的垂心求證:DHDE.證明連結CE,CH.因為H為ABC的垂心,所以ECDBAD90ABC,HCD90ABC,所以ECDHCD.又因為CDHE,CD為公共邊,所以HDCEDC,所以DHDE.8. 已知AD是ABC的外角EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交ABC的外接圓于點F,連接FB、FC.(1)求證:FBFC;(2)若AB是ABC外接圓的直徑,EAC120,BC3,求AD的長(1)證明AD平分EAC,EADDAC.四邊形AFBC內接于圓,DACFBC.EADFABFCB,F(xiàn)BCFCB,F(xiàn)BFC.(2)解AB是圓的直徑,ACD90.EAC120,DACEAC60,D30.在
6、RtACB中,BC3,BAC60,AC3,又在RtACD中,D30,AC3,AD6.9. 如圖,從圓O外一點P作圓O的兩條切線,切點分別為A、B,AB與OP交于點M,設CD為過點M且不過圓心O的一條弦,求證:O、C、P、D四點共圓證明PA、PB為圓O的兩條切線,OP垂直平分弦AB,AMBM.在RtOAP中,OMMPAM2,在圓O中,AMBMCMDM,OMMPCMDM,又弦CD不過圓心O,O、C、P、D四點共圓.10. 如圖,O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點,BM的延長線交O于N,過點N的切線交CA的延長線于P.(1)求證:PM2PAPC;(2)若O的半徑為2,OAOM,求MN的長(1
7、)證明連結ON.因為PN切O于N,所以ONP90.所以ONBBNP90.因為OBON,所以OBNONB.因為BOAC于O,所以OBNBMO90.所以BNPBMOPMN.所以PMPN.所以PM2PN2PAPC.(2)解OM2,BO2,BM4.因為BMMNCMMA(22)(22)8,所以MN2.11. 如圖,已知C是以AB為直徑的半圓O上一點,CHAB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH的中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G.(1)求證:點F是BD的中點;(2)求證:CG是O的切線;(3)若FBFE2,求O的半徑(1)證明CHAB,DBAB,AEHAFB,ACE
8、ADF.HEEC,BFFD.即點F是BD的中點(2)證明連接CB、OC,AB是直徑,ACB90.F是BD的中點,CBFFCB.CBFBAC,BACACO,F(xiàn)CBACO.ACOOCB90,BCFOCB90.OCF90.CG是O的切線(3)解由FCFBFE,得FCEFEC.GGCH90,F(xiàn)AGFEC90,F(xiàn)AGG.FAFG,F(xiàn)BAG,ABBG.由切割線定理,得(2FG)2BGAG2BG2.在RtBGF中,由勾股定理,得BG2FG2BF2.由,得FG24FG120.解得FG6或FG2(舍去)ABBG4.O的半徑為2.12如圖,圓O1與圓O2內切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1r2)圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)求證:ABAC為定值證明 連結AO1,并延長分別交兩圓于點E和點D.連結BD,CE.因為圓O1與圓O2內切于點A,所以點O2與AD上,故AD,AE分別為圓O1,圓O2的直徑從而ABDACE.所以BDCE,于是.ABAC為定值