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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料二項(xiàng)式定理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題自主梳理1二項(xiàng)式定理的有關(guān)概念(1)二項(xiàng)式定理：(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn (nN*)，這個(gè)公式叫做_二項(xiàng)展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式中共有_項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)：在二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)_(r_)叫做二項(xiàng)式系數(shù)通項(xiàng)：在二項(xiàng)展開式中的_叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r1項(xiàng)：Tr1_.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)CC；(2)CCC；(3)當(dāng)r時(shí)，CC；(4)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)_取得最大值；當(dāng)n為
2、奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)_、_相等，且同時(shí)取得最大值；(5)各二項(xiàng)式系數(shù)和：CCCC_，CCCCCC_.自我檢測(cè)1(2011福建改編)(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于_2(2011陜西改編)(4x2x)6(xR)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_3(2010四川)6的展開式中的第四項(xiàng)是_4(2011山東)若(x)6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_5已知n為正偶數(shù)，且n的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第4項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)探究點(diǎn)一二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用例1已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)變式遷移1(2010湖北
3、)在(xy)20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)探究點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例2(1)求證：C2C3CnCn2n1；(2)求SCCC除以9的余數(shù)變式遷移2(2010上海盧灣區(qū)質(zhì)量調(diào)研)求CCCC的值探究點(diǎn)三求系數(shù)最大項(xiàng)例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)變式遷移3(1)在(xy)n的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能等于_(2)已知n，()若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的系數(shù)；()若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展
4、開式中系數(shù)最大的項(xiàng)1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的，如(abx)n (a，bR)的展開式中，第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，而第r1項(xiàng)的系數(shù)為Canrbr.2通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)，求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù)，求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù)在運(yùn)用公式時(shí)要注意：Canrbr是第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)3在(ab)n的展開式中，令ab1，得CCC2n；令a1，b1，得CCCC0，CCCCCC2n1，這種由一般到特殊的方法是“賦值法”4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有：(1)在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，CC.(2)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪
5、指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大5二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要作用是近似計(jì)算，當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1x)n1nx.利用二項(xiàng)式定理還可以證明整除性問題或求余數(shù)問題，證題時(shí)要注意變形的技巧(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)2設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為_3在n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是_4(2010煙臺(tái)高三一模)如果n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是_5在(1x)5(1
6、x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是_6(2011湖北)(x)18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為_(結(jié)果用數(shù)值表示)7(2010濟(jì)南高三一模)(x)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_8.10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_二、解答題(共42分)9(14分)(1)設(shè)(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.求a0a1a2a3a4；求a0a2a4；求a1a2a3a4；(2)求證：32n28n9能被64整除(nN*)10(14分)利用二項(xiàng)式定理證明對(duì)一切nN*，都有2n3.11(14分)已知n (nN*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是101.(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；(2)求展
7、開式中含x的項(xiàng)；(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)學(xué)案62二項(xiàng)式定理答案自主梳理1(1)二項(xiàng)式定理n1C0,1,2，nCanrbrCanrbr2.(3)CC(4)CnCnCn(5)2n2n1自我檢測(cè)140解析(12x)5的第r1項(xiàng)為Tr1C(2x)r2rCxr，令r2，得x2的系數(shù)為22C40.215解析設(shè)展開式的常數(shù)項(xiàng)是第r1項(xiàng)，則Tr1C(4x)r(2x)6r，即Tr1C(1)6r22rx2rx6xC(1)6r23rx6x，3rx6x0恒成立r2，T3C(1)415.344解析(x)6展開式的通項(xiàng)為Tr1Cx6r(1)r()rx2rCx63r(1)r()r.令63r0，得r2
8、.故C()260，解得a4.5解析n為正偶數(shù)，且第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故展開式共7項(xiàng)，n6，第4項(xiàng)系數(shù)為C3.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)通項(xiàng)Tr1Canrbr是(ab)n的展開式的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念，二項(xiàng)式系數(shù)是指C，r0,1,2，n，與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分(2)求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)，一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這種類型的問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解若求二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，則其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整
9、數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)的方式一致解(1)通項(xiàng)公式為Tr1CxrxCrx，因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r5時(shí)，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)(106)2，所求的系數(shù)為C2.(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得令k (kZ)，則102r3k，即r5k，rN，k應(yīng)為偶數(shù)k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為C2x2，C5，C8x2.變式遷移16解析展開式的通項(xiàng)Tr1Cx20r(y)rCx20ryr3.由0r20，Z得r0,4,8,12,16,20.所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有6項(xiàng)例2解題導(dǎo)引(1)在有關(guān)組合數(shù)的求和問題中，經(jīng)常用到形如CCC，CC，kCnC等式
10、子的變形技巧；(2)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式求余數(shù)問題時(shí)，應(yīng)明確被除式f(x)、除式g(x)g(x)0、商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍(1)證明方法一設(shè)SC2C3C(n1)CnC，SnC(n1)C(n2)C2CCnC(n1)C(n2)C2CC，得2Sn(CCCCC)n2n.Sn2n1.原式得證方法二CC，kCnC.左邊nCnCnCn(CCC)n2n1右邊(2)解SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7，顯然上式括號(hào)內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)故S被9除的余數(shù)為7.變式遷移2解(1x)2nCCxCx2Cx3C
11、x2n.令x1得CCCC22n；再令x1得CCC(1)rCCC0.兩式相加，再用C1，得CCC122n11.例3解題導(dǎo)引(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)：如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；(2)求展開式系數(shù)最大的項(xiàng)：如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，An1，且第r1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大的項(xiàng)解(1)令x1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n
12、31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是T3C3(3x2)290x6，T4C2(3x2)3270x.(2)展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C3rx(52r)假設(shè)Tr1項(xiàng)系數(shù)最大，則有r，rN，r4.故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5405x.變式遷移311,12,13(1)解析分三種情況：若僅T7系數(shù)最大，則共有13項(xiàng)，n12；若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項(xiàng)，n11；若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項(xiàng)，n13，所以n的值可能等于11,12,13.(2)解()CC2C，n221n980.n7或n14，當(dāng)n7時(shí)，
13、展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.T4的系數(shù)為C423，T5的系數(shù)為C32470，當(dāng)n14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大的項(xiàng)是T8.T8的系數(shù)為C7273 432.()CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)設(shè)Tk1項(xiàng)的系數(shù)最大，1212(14x)12，9.4k10.4.k10.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11，T1112C410x1016 896x10.課后練習(xí)區(qū)152.23.74.215121解析(1x)5中x3的系數(shù)為C10，(1x)6中x3的系數(shù)為C20，(1x)7中x3的系數(shù)為C35，(1x)8中x3的系數(shù)為C56.所以原式中x3的系數(shù)為10203556121.617解析二
14、項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1Cx18r()r(1)r()rCx18.令1815，解得r2.含x15的項(xiàng)的系數(shù)為(1)2()2C17.7解析Tr1Cx6rrxrrCx62r，令62r0，得r3.常數(shù)項(xiàng)為T313C.84 351解析1010C(1x)10C(1x)9C(1x)8C(1x)7C(1x)6，從第五項(xiàng)C(1x)6起，后面各項(xiàng)不再出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，前四項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)分別是CC，CC，CC，CC.故原三項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為CCCCCCCC4 351.9解(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31)416.(3分)令x1得，a0a1a2a3a4(31)4256，而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416，兩
15、式相加，得a0a2a4136.(6分)令x0得a0(01)41，得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(9分)(2)證明32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n9(12分)9(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號(hào)內(nèi)是正整數(shù)，原式能被64整除(14分)10證明因?yàn)閚CCC2C3Cn11.(4分)所以2n2(7分)2233，(10分)僅當(dāng)n1時(shí)，n2；(12分)當(dāng)n2時(shí)，2n3.故對(duì)一切nN*，都有2n3.(14分)11解由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為C(2)4，第三項(xiàng)的系數(shù)為C(2)2，則有，化簡得n25n240，解得n8或n3(舍去)(2分)(1)令x1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(12)81.(4分)(2)通項(xiàng)公式Tr1C()8rrC(2)rx2r，令2r，則r1.故展開式中含x的項(xiàng)為T216x.(8分)(3)設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r1項(xiàng)，第r2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為C2r1，C2r，C2r1，若第r1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則解得5r6.(12分)又T6的系數(shù)為負(fù)，系數(shù)最大的項(xiàng)為T71 792x11.由n8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大此時(shí)T51 120x6.(14分)
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