新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學案 理 北師大版

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1、 第八節(jié)　曲線與方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程． (對應學生用書第146頁) [基礎知識填充] 1．曲線與方程 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解． (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點． 那么，這條曲線叫作方程的曲線；這個方程叫作曲線的方程． 2．求動點

2、軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標． (2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式． (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上． 3．圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e. (1)當0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓． (2)當e＞1時，圓錐曲線是雙曲線． (3)當e＝1時，圓錐曲線是拋物線． 4．兩曲線的交點 設曲線C1的方程為f1(x，y)＝0，曲線C2

3、的方程為g(x，y)＝0，則 (1)曲線C1，C2的任意一個交點坐標都滿足方程組 (2)反之，上述方程組的任何一組實數(shù)解都對應著兩條曲線某一個交點的坐標． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點和一條直線．(　　) (3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的．(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(　　) [解析]　對于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方

4、程表示兩條直線，錯誤；對于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯誤；對于(4)，曲線y＝是曲線x＝y(tǒng)2的一部分，錯誤． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 D　[由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線．] 3．已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動點P的軌跡C的方程為

5、(　　) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x A　[設點P(x，y)，則Q(x，－1)． ∵·＝·， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y， ∴動點P的軌跡C的方程為x2＝4y.故選A．] 4．已知△ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為__________． (x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[設A(x，y)， 則D ∴|CD|＝＝3， 化簡得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點構成三角形， ∴

6、A不能落在x軸上，即y≠0.] 5．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上任意一點M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點的軌跡方程是________． ＋＝1　[設MN的中點為P(x，y)，則點M(x,2y)，又點M在橢圓上，∴＋＝1，即所求的軌跡方程為＋＝1.] (對應學生用書第147頁) 直接法求軌跡方程 　設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程. 【導學號：79140299】 [解]　設M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，

7、－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴即 ∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x. [規(guī)律方法]　用直接法求曲線方程的關鍵是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，但要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略. [跟蹤訓練]　(1)設點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x　　　　 B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 (2)已知M(－2,0)

8、，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) (1)D　(2)D　[(1)如圖，設P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，PM，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2. (2)設P(x，y)，∵△MPN為以MN為斜邊的直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M，N，P不共

9、線，∴x≠±2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)，故選D．] 定義法求軌跡方程 　如圖8-8-1所示，已知點C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點A(，0)．P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在的直線上，且·＝0，＝2 .當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程． 圖8-8-1 [解]　由(x＋)2＋y2＝4知圓心C(－，0)，半徑r＝2. ∵·＝0，＝2， ∴MQ⊥AP，點M為AP的中點， 因此QM垂直平分線段AP. 如圖，連接AQ，則|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2. 又|AC|＝2>2，

10、根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線． 由c＝，a＝1，得b2＝1， 因此點Q的軌跡方程為x2－y2＝1. 　若將本例中的條件“圓C的方程(x＋)2＋y2＝4”改為“圓C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他條件不變，求點Q的軌跡方程． [解]　由(x＋)2＋y2＝16知圓心C(－，0)，半徑r＝4. ∵·＝0，＝2 ， ∴QM垂直平分AP，連接AQ， 則|AQ|＝|QP|， ∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4. 根據(jù)橢圓定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，長軸長為4的橢圓． 由c＝，a＝2，

11、得b＝. 因此點Q的軌跡方程為＋＝1. [規(guī)律方法]　定義法求軌跡方程的方法、關鍵及注意點 (1)求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關鍵：理解解析幾何中有關曲線的定義是解題關鍵. (3)利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制. [跟蹤訓練]　(1)若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點M的軌跡方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2

12、＝16x (2)已知A(－5,0)，B(5,0)，動點P滿足||，||，8成等差數(shù)列，則點P的軌跡方程為________． (1)D　(2)－＝1(x≥4)　[(1)依題意可知點M到點F的距離等于點M到直線x＝－4的距離，因此點M的軌跡是拋物線，且頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，p＝8，所以點M的軌跡的方程為y2＝16x，故選D． (2)由已知得||－||＝8， 所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， 所以點P的軌跡方程為－＝1(x≥4)．] 相關點(代入)法求軌跡方程 　(20xx·全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：

13、＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝. (1)求點P的軌跡方程； (2)設點Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. [解]　(1)設P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m

14、2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. [規(guī)律方法]　“相關點法”求軌跡方程的基本步驟 (1)設點：設被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x1，y1). (2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式 (3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程. [跟蹤訓練]　(20xx·武漢模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，有一動點Q滿足＝＋，則動點Q的軌跡方程是__________. 【導學號：79140300】 ＋＝1　[作P關于O的對稱點M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形， 所以＋＝＝－2. 又＝＋， 所以＝－. 設Q(x，y)，P(x0，y0)，則x0＝－，且y0＝－， 又點P(x0，y0)在橢圓＋＝1上， 則有＋＝1，即＋＝1.]