新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版

《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第九節(jié)　離散型隨機變量的均值與方差 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第189頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…

3、，r)． (1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”． (2)方差 DX＝E(X－EX)2為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度． 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aEX＋B． (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點分布 EX＝p DX＝p(1－p) X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p) [知識拓展]　EX反映了x取值的平均水平，DX反映了X針對EX的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度． 區(qū)

4、分、s2、μ、σ2、EX、DX. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(　　) (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量．(　　) (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知X的分布列為

5、 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則EY的值為(　　) A．　　　　　　　　 B．4 C．－1 D．1 A　[EX＝－1×＋0×＋1×＝－， 則EY＝2EX＋3＝3－＝.] 3．設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則Dξ等于(　　) A．8 B．5 C．10 D．12 A　[∵Eξ＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴Dξ＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝

6、________. 1.96　[由題意得X～B(100,0.02)， 所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] 5．已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)，若EX＝30，DX＝20，則p＝________. 　[由于X～B(n，p)，且EX＝30，DX＝20， 所以解得p＝.] (對應(yīng)學(xué)生用書第190頁) 離散型隨機變量的均值、方差 　(20xx·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．

7、如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n

8、(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫

9、低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，最大值為520元． [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值. (2)求X取每個值時的

10、概率. (3)寫出X的分布列. (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 易錯警示：注意E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時． (1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

11、(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ，方差Dξ. 【導(dǎo)學(xué)號：79140377】 [解]　(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元． 兩人都付0元的概率為P1＝×＝， 兩人都付40元的概率為P2＝×＝， 兩人都付80元的概率為 P3＝×＝×＝， 則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×

12、＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P Eξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. Dξ＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 與二項分布有關(guān)的均值、方差 　 (20xx·鄭州診斷)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Lndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴重污染．一環(huán)保

13、人士記錄某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖10-9-1所示． 圖10-9-1 (1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個月總共30天計算) (2)將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差． [解]　(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為＝， 從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×＝18. (2)由(1)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為， ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)

14、＝C＝，P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 顯然ξ～B，Eξ＝3×＝1.8，隨機變量ξ的方差Dξ＝3××＝. [規(guī)律方法]　1.求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)求解，可大大減少計算量. 2.有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b).同樣還可求出D(aξ＋b). [跟蹤訓(xùn)練]　一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布

15、直方圖，如圖10-9-4所示． 圖10-9-4 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望EX及方差DX. [解]　(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”， A2表示事件“日銷售量低于50個”， B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A

16、2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C·0.63＝0.216. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X～B(3,0.6)，所以期望EX＝3×0.6＝1.8，方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 均值與方差在決

17、策中的應(yīng)用 　(20xx·廣州綜合測試(二))某商場擬對某商品進行促銷，現(xiàn)有兩種方案供選擇，每種促銷方案都需分兩個月實施，且每種方案中第一個月與第二個月的銷售相互獨立．根據(jù)以往促銷的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若實施方案1，預(yù)計第一個月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個月的銷量是第一個月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實施方案2，預(yù)計第一個月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個月的銷量是第一個月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i＝1,2)表示實施方案i的第二個月的銷量是促銷前銷量的倍數(shù)． (1)求ξ1，ξ2

18、的分布列； (2)不管實施哪種方案，ξi與第二個月的利潤之間的關(guān)系如下表，試比較哪種方案第二個月的利潤更大． 銷量倍數(shù) ξi≤1.7 1.7<ξi<2.3 ξi≥2.3 利潤(萬元) 15 20 25 [解]　(1)由題意，ξ1的所有取值為1.68,1.92,2.1,2.4， 因為P(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20， P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20， 所以ξ1的分布列為 ξ1 1.68 1.92 2.1 2.4 P1 0.30

19、 0.30 0.20 0.20 由題意，ξ2的所有取值為1.68,1.8,2.24,2.4， 因為P(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42， P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18， P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28， P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12， 所以ξ2的分布列為 ξ2 1.68 1.8 2.24 2.4 P2 0.42 0.18 0.28 0.12 (2)令Qi表示實施方案i在第二個月所獲得的利潤，則 Q1 15 20 25 P 0.30 0.50 0.20 Q2 15 20 2

20、5 P 0.42 0.46 0.12 所以EQ1＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5， EQ2＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5. 因為EQ1>EQ2， 所以實施方案1，第二個月的利潤更大． [規(guī)律方法]　利用均值、方差進行決策的兩個方略 (1)當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷. (2)若兩隨機變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·呼和浩特一調(diào))春節(jié)前夕我市某公司要將一批新鮮牛羊肉用汽車運往指定城市A，如果

21、能按約定日期送到，則該公司可獲得銷售收入30萬元，每提前一天送到，可獲得獎勵1萬元，每遲到一天送到，銷售收入將少獲得1萬元．為保證按時送達，公司只能在約定日期的前兩天出發(fā)，若行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條，運費及其他信息如下表所示. 【導(dǎo)學(xué)號：79140378】 路線 統(tǒng)計 不堵車的情況下送達到城市A所需的時間(天) 堵車的情況下送達到城市A所需的時間(天) 堵車的概率 運費(萬元) 公路1 2 3 0.1 4 公路2 1 4 0.3 2 (1)記汽車走公路2時公司獲得的毛利潤(收入－運費)為ξ(萬元)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ； (2)假設(shè)你

22、是公司的決策者，會選擇哪條公路運送，并說明理由． [解]　(1)汽車走公路2時，不堵車時公司獲得的毛利潤ξ＝30＋1－2＝29(萬元)． 堵車時公司獲得的毛利潤ξ＝30－2－2＝26(萬元)． ∴汽車走公路2時獲得的毛利潤ξ的分布列為 ξ 29 26 P 0.7 0.3 ∴Eξ＝29×0.7＋26×0.3＝28.1(萬元)． (2)設(shè)汽車走公路1時獲得的毛利潤為η， 則不堵車時獲得的毛利潤η＝30－4＝26(萬元)， 堵車時獲得的毛利潤η＝30－1－4＝25(萬元)， ∴汽車走公路1時獲得的毛利潤η的分布列為 η 26 25 P 0.9 0.1 ∴Eη＝26×0.9＋25×0.1＝25.9(萬元)． ∵Eξ>Eη，∴選擇公路2可以更多獲利．