新版新課標高三數學一輪復習 第7篇 第3節(jié) 空間點、直線、平面的位置關系課時訓練 理

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1、 1 1【導與練】（新課標）20xx屆高三數學一輪復習 第7篇 第3節(jié) 空間點、直線、平面的位置關系課時訓練 理 【選題明細表】知識點、方法題號平面的基本性質1、4、5、11、14點、線、面的位置關系2、3、6、8、9、15異面直線所成的角7、10、12、13基礎過關一、選擇題1.(20xx威海模擬)設A、B、C、D是空間中四個不同的點,下列命題中,不正確的是(C)(A)若AC與BD共面,則AD與BC共面(B)若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC,DB=DC,則AD=BC(D)若AB=AC,DB=DC,則ADBC解析:若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C

2、不正確.2.(20xx黑龍江大慶高三月考)下列說法正確的是(D)(A)若a,b,則a與b是異面直線(B)若a與b異面,b與c異面,則a與c異面(C)若a,b不同在平面內,則a與b異面(D)若a,b不同在任何一個平面內,則a與b異面解析:由異面直線的定義可知選D.3.(20xx銀川模擬)若直線ab,且直線a平面,則直線b與平面的位置關系是(D)(A)b(B)b(C)b或b(D)b與相交或b或b解析:b與相交或b或b都可以.故選D.4.(20xx?？谀M)已知正方體ABCDA1B1C1D1中,O是BD1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結論錯誤的是(D)(A)A1、M、O三點共線(B

3、)M、O、A1、A四點共面(C)A、O、C、M四點共面(D)B、B1、O、M四點共面解析:由正方體的性質知,O也是A1C的中點,因此A1、M、O三點共線,又直線與直線外一點確定一個平面,所以B、C正確.由BB1與A1C異面知D錯誤.故選D.5.給出下列命題,其中正確命題的個數是(B)如果線段AB在平面內,那么直線AB在平面內;兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A、B、C;若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點,則這四條直線共面;若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面;兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:顯然正確.若兩平面有三個不

4、共線的公共點,則這兩平面重合,故不正確.三條直線兩兩相交于同一點時,三條直線不一定共面,故不正確;兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形,不正確.故選B.6.(20xx武漢模擬)如果兩條異面直線稱為“一對”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線(B)(A)12對(B)24對(C)36對(D)48對解析:如圖所示,與AB異面的直線有B1C1,CC1,A1D1,DD1四條,因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱,共有異面直線1242=24(對).故選B.二、填空題7.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將ABC沿DE,EF,DF折成正四面體PDEF

5、,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為. 解析:折成的正四面體,如圖,連接HE,取HE的中點K,連接GK,PK.則GKDH,故PGK(或其補角)即為所求的異面直線所成的角.設這個正四面體的棱長為2,在PGK中,PG=3,GK=32,PK=12+(32)2=72,故cosPGK=PG2+GK2-PK22PGGK=(3)2+(32)2-(72)22332=23.即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是23.答案:238.(20xx云南師大附中模擬)如圖是某個正方體的展開圖,l1,l2是兩條側面對角線,則在正方體中,對于l1與l2的下面四個結論中,正確的是.互相平行;異面且互相垂直;異面且夾

6、角為3;相交且夾角為3.解析:將展開圖還原成正方體如圖所示,則B,C兩點重合,故l1與l2相交,連接AD,則ABD為正三角形,所以l1與l2的夾角為3.答案:9.(20xx云南昆明模擬)設a,b,c是空間的三條直線,下面給出四個命題:若ab,bc,則ac;若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c也是異面直線;若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交.若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.其中真命題的個數是.解析:ab,bc,a與c可以相交、平行、異面,故錯.a,b異面,b,c異面,則a,c可能異面、相交、平行,故錯.由a,b相交,b,c相交,則a,c可以異面、相交、平行,故錯.同理錯

7、,故真命題的個數為0.答案:0三、解答題10.(20xx河北衡水模擬)A是BCD所在平面外的一點,E,F分別是BC,AD的中點.(1)求證:直線EF與BD是異面直線;(2)若ACBD,AC=BD,求EF與BD所成的角.(1)證明:假設EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內,這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾,故直線EF與BD是異面直線.(2)解:取CD的中點G,連接EG,FG,則EGBD,所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中,由EG=FG=12AC,求得FEG=45,即異面直線E

8、F與BD所成的角為45.11.如圖所示 ,在四面體ABCD中,E、G分別為BC、AB的中點,F在CD上,H在AD上,且有DFFC=DHHA=23.求證:EF、GH、BD交于一點.證明:連接GE,FH.因為E、G分別為BC、AB的中點,所以GEAC,且GE=12AC,又因為DFFC=DHHA=23,所以FHAC,且FH=25AC.所以FHGE,且GEFH.所以E、F、H、G四點共面,且四邊形EFHG是一個梯形.設GH和EF交于一點O.因為O在平面ABD內,又在平面BCD內,所以O在這兩個平面的交線上.因為這兩個平面的交線是BD,且交線只有這一條,所以點O在直線BD上.這就證明了GH和EF的交點也

9、在BD上,所以EF、GH、BD交于一點.能力提升12.(20xx三亞模擬)如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分別是線段AE,BC的中點,則AD與GF所成的角的余弦值為(A)(A)36(B)66(C)-36(D)-66解析:延長CD至H,使DH=1,連接HG、HF,則HFAD.HF=DA=8,GF=6,HG=10,cosHFG=8+6-10268=36.故選A.13.(20xx臨沂模擬)過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作條.解析:如圖,連接體對角線AC1,

10、顯然AC1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都為2.聯(lián)想正方體的其他體對角線,如連接BD1,則BD1與棱BC,BA,BB1所成的角都相等,BB1AA1,BCAD,體對角線BD1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,體對角線A1C,DB1也與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,過A點分別作BD1,A1C,DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條.答案:414.(20xx南京模擬)如圖,已知:E,F,G,H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點,證明:EF,HG,DC三線共點.證明:連接C1B,HE,GF,如圖所示.由題意知HC

11、1􀱀EB,四邊形HC1BE是平行四邊形,HEC1B.又C1G=GC,CF=BF,故GF􀱀12C1B,GFHE,且GFHE,HG與EF相交,設交點為K,則KHG.又HG平面D1C1CD,K平面D1C1CD.KEF,EF平面ABCD,K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCD=DC,KDC,EF,HG,DC三線共點.探究創(chuàng)新15.(20xx高考安徽卷)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).當0CQ12時,S為四邊形;當

12、CQ=12時,S為等腰梯形;當CQ=34時,S與C1D1的交點R滿足C1R=13;當34CQ1時,S為六邊形;當CQ=1時,S的面積為62.解析:利用平面的基本性質結合特殊四邊形的判定與性質求解.當0CQ12時,如圖(1).在平面AA1D1D內,作AEPQ,顯然E在棱DD1上,連接EQ,則S是四邊形APQE.當CQ=12時,如圖(2).顯然PQBC1AD1,連接D1Q,則S是等腰梯形.當CQ=34時,如圖(3).作BFPQ交CC1的延長線于點F,則C1F=12.作AEBF,交DD1的延長線于點E,D1E=12,AEPQ,連接EQ交C1D1于點R,由于RtRC1QRtRD1E,C1QD1E=C1RRD1=12,C1R=13.當34CQ1時,如圖(3),連接RM(點M為AE與A1D1交點),顯然S為五邊形APQRM.當CQ=1時,如圖(4).同可作AEPQ交DD1的延長線于點E,交A1D1于點M,顯然點M為A1D1的中點,所以S為菱形APQM,其面積為12MPAQ=1223=62.答案: