高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案24】正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5學(xué)案學(xué)案 24正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題自主梳理1仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角， 目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示)2方位角一般指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角 45，是指北偏東 45，即東北方向3方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖所示)北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似4坡角坡面與水平面的夾

2、角(如圖所示)5坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即 ihltan (i 為坡比，為坡角)6解題的基本思路運(yùn)用正、余弦定理處理實(shí)際測(cè)量中的距離、高度、角度等問題，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，要解決好，就要把握如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，也就是如何把握一個(gè)抽象、概括的問題，即建立數(shù)學(xué)模型自我檢測(cè)1從 A 處望 B 處的仰角為，從 B 處望 A 處的俯角為，則，之間的關(guān)系是()ABC90D1802(20 xx承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離相等，燈塔A 在觀察站 C 的北偏東 40，燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 60，則燈塔 A 在燈塔 B 的()A北偏東 1

3、0B北偏西 10C南偏東 10D南偏西 103 如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè) A、 B 間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定 A、B 間距離的是()A，a，bB，aCa，b，D，b4在 200 m 高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是 30、60，則塔高為_m.5(20 xx全國(guó))ABC 中，D 為邊 BC 上的一點(diǎn)，BD33，sin B513，cosADC35，求 AD.探究點(diǎn)一與距離有關(guān)的問題例 1(20 xx陜西)如圖， A， B 是海面上位于東西方向相距 5(3 3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于 A 點(diǎn)北偏東 45，B 點(diǎn)北偏西 60的 D 點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于 B

4、 點(diǎn)南偏西60且與 B 點(diǎn)相距 203海里的 C 點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為 30 海里/時(shí)，該救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？變式遷移 1某觀測(cè)站 C 在目標(biāo) A 的南偏西 25方向，從 A 出發(fā)有一條南偏東 35走向的公路，在 C 處測(cè)得與 C 相距 31 千米的公路上 B 處有一人正沿此公路向 A 走去，走 20 千米到達(dá) D，此時(shí)測(cè)得 CD 為 21 千米，求此人在 D 處距 A 還有多少千米？探究點(diǎn)二測(cè)量高度問題例 2如圖所示， 測(cè)量河對(duì)岸的塔高 AB 時(shí)， 可以選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn) C 與 D，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn) C 測(cè)得塔頂 A 的仰

5、角為，求塔高 AB.變式遷移 2某人在塔的正東沿著南偏西 60的方向前進(jìn) 40 米后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為 30，求塔高探究點(diǎn)三三角形中最值問題例 3(20 xx江蘇)某興趣小組要測(cè)量電視塔 AE 的高度 H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿 BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.(1)該小組已測(cè)得一組、的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，請(qǐng)據(jù)此算出 H 的值；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離 d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測(cè)量精度若電視塔實(shí)際高度為 125 m，試問 d 為多少時(shí)，最大？變式遷移 3(

6、20 xx宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑 AB2，點(diǎn) C 在 AB 的延長(zhǎng)線上，BC1，點(diǎn) P 為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 DC 為邊作等邊PCD，且點(diǎn) D 與圓心 O 分別在 PC 的兩側(cè)，求四邊形 OPDC 面積的最大值1解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解演算過程中，要算法簡(jiǎn)練，計(jì)算正確，并作答(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對(duì)解進(jìn)行取舍2應(yīng)用舉例中常見幾種題型測(cè)量距離問題、測(cè)

7、量高度問題、測(cè)量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等(滿分：75 分)一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分)1 如 果 等 腰 三 角 形 的 周 長(zhǎng) 是 底 邊 長(zhǎng) 的 5 倍 ， 那 么 它 的 頂 角 的 余 弦 值 為()A.518B.34C.32D.782(20 xx揭陽(yáng)模擬)如圖，設(shè) A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在 A 的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn) C，測(cè)出 AC 的距離為 50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 2 mB50 3 mC25 2 mD.25 22m3 ABC 的兩邊長(zhǎng)分別為 2,3， 其夾角的余弦值為13，

8、則其外接圓的半徑為()A.9 22B.9 24C.9 28D9 24(20 xx滄州模擬)某人向正東方向走 x km 后，向右轉(zhuǎn) 150，然后朝新方向走 3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是3km，那么x的值為()A. 3B2 3C. 3或 2 3D35一船向正北航行，看見正西方向有相距 10 海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西 60方向，另一燈塔在船的南偏西 75方向，則這只船的速度是每小時(shí)()A5 海里B53海里C10 海里D103海里題號(hào)12345答案二、填空題(每小題 4 分，共 12 分)6 一船以每小時(shí) 15 km 的速度向東航行， 船在 A 處

9、看到一個(gè)燈塔 M 在北偏東 60方向，行駛 4 h 后，船到 B 處，看到這個(gè)燈塔在北偏東 15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_7(20 xx臺(tái)州模擬)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為 15的看臺(tái)的某一列的正前方， 從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為 60和 30，第一排和最后一排的距離為 106米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌長(zhǎng)度約為 50 秒，升旗手應(yīng)以_米/秒的速度勻速升旗8(20 xx宜昌模擬)線段 AB 外有一點(diǎn) C，ABC60，AB200 km，汽車以 80 km/h的速度由 A 向 B 行駛，同時(shí)摩托車以 50 km/h 的速度由

10、 B 向 C 行駛，則運(yùn)動(dòng)開始_h后，兩車的距離最小三、解答題(共 38 分)9(12 分)(2009遼寧)如圖，A、B、C、D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面 A 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為 75、30，于水面 C 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角均為 60，AC0.1 km.試探究圖中 B、D 間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求 B、D 的距離(計(jì)算結(jié)果精確到 0.01 km， 21.414， 62.449)10(12 分)如圖所示，甲船以每小時(shí) 302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于 A1處時(shí)，乙船位于

11、甲船的南偏西 75方向的 B1處，此時(shí)兩船相距 20 海里當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá) A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2處，此時(shí)兩船相距 102海里問乙船每小時(shí)航行多少海里？11(14 分)(2009福建)如圖，某市擬在長(zhǎng)為 8 km 的道路 OP 的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM， 該曲線段為函數(shù) yAsin x(A0， 0)， x0,4的圖象， 且圖象的最高點(diǎn)為 S(3,2 3)；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP120.(1)求 A，的值和 M，P 兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)？答案答案

12、自我檢測(cè)1B2.B3.A4.40035解由 cosADC350 知 B2，由已知得 cos B1213，sinADC45，從而 sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B451213355133365.由正弦定理得，ADsin BBDsinBAD，所以 ADBDsin BsinBAD33513336525.課堂活動(dòng)區(qū)例 1解題導(dǎo)引這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意：基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)解由題意知 AB5(3 3)海

13、里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB，DBABsinDABsinADB53 3sin 45sin 10553 3sin 45sin 45cos 60cos 45sin 6010 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210 320 312900，CD30(海里)，需要的時(shí)間 t30301(小時(shí))故救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要 1 小時(shí)變式遷移 1解如圖所示，易知CAD253560，

14、在BCD 中，cos B312202212231202331，所以 sin B12 331.在ABC 中，ACBCsin Bsin A24，由 BC2AC2AB22ACABcos A，得 AB224AB3850，解得 AB35，AB11(舍)，所以 ADABBD15.故此人在 D 處距 A 還有 15 千米例 2解題導(dǎo)引在測(cè)量高度時(shí)，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識(shí)解在BCD 中，CBD.由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，所以 BCCDsinBDCsinCBDssin sin，在

15、 RtABC 中，ABBCtanACBstan sin sin.變式遷移 2解由題意可知，在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，CDsinDBCBDsinBCD，BD40sin 30sin 13520 2.過 B 作 BECD 于 E，顯然當(dāng)人在 E 處時(shí)，測(cè)得塔的仰角最大，有BEA30.在 RtBED 中，又BDE1801353015.BEDBsin 1520 26 2410( 31)在 RtABE 中，ABBEtan 30103(3 3)(米)故所求的塔高為103(3 3)米例 3解題導(dǎo)引平面幾何圖形中研究或求有關(guān)長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題而這些幾何問

16、題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來(lái)，再利用正、余弦定理列出方程，解之若研究最值，常使用函數(shù)思想解(1)由 ABHtan ，BDhtan ，ADHtan 及 ABBDAD，得Htan htan Htan ，解得 Hhtan tan tan 41.241.241.20124(m)因此，算出的電視塔的高度 H 是 124 m.(2)由題設(shè)知 dAB，得 tan Hd.由 ABADBDHtan htan ，得 tan Hhd.所以 tan()tan tan 1tan tan hdH

17、Hhdh2 HHh，當(dāng)且僅當(dāng) dHHhd，即 d HHh 1251254555時(shí)，上式取等號(hào)，所以當(dāng) d555時(shí)，tan()最大因?yàn)?02，則 02，所以當(dāng) d555時(shí)，最大變式遷移 3解設(shè)POB，四邊形面積為 y，則在POC 中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos 54cos .ySOPCSPCD1212sin 34(54cos )2sin(3)5 34.當(dāng)32，即56時(shí)，ymax25 34.所以四邊形 OPDC 面積的最大值為 25 34.課后練習(xí)區(qū)1D2.A3.C4.C5.C630 2 km7.0.68.7043解析如圖所示：設(shè) t h 后，汽車由 A 行駛到 D，摩托車由

18、B 行駛到 E，則 AD80t，BE50t.因?yàn)?AB200，所以 BD20080t，問題就是求 DE 最小時(shí) t 的值由余弦定理得，DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t242000t40000.當(dāng) t7043時(shí)，DE 最小9解在ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1.(2分)又BCD180606060，所以ABCCBD，所以 BABD.(6 分)在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，即 ABACsin 60sin 153 2 620，(10分)所以 BD3 2 6200.33(km)故

19、B、D 的距離約為 0.33 km.(12分)10解如圖，連接 A1B2，由題意知，A1B120，A2B210 2，A1A2206030 210 2(海里)(2分)又B2A2A118012060，A1A2B2是等邊三角形，B1A1B21056045.(6 分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1B22A1B21A1B222A1B1A1B2cos 45202(10 2)222010 222200，B1B210 2(海里)(10 分)因此乙船的速度大小為10 2206030 2(海里/小時(shí)) (12分)11解方法一(1)依題意，有 A2 3，T43，又 T2，6.y2 3sin6x.(3 分)當(dāng) x

20、4 時(shí)，y2 3sin233，M(4,3)又 P(8,0)，MP 42325.(5 分)(2)如圖，連接 MP，在MNP 中，MNP120，MP5.設(shè)PMN，則 060.由正弦定理得MPsin 120NPsin MNsin60，NP10 33sin ，MN10 33sin(60)，(8 分)NPMN10 33sin 10 33sin(60)10 3312sin 32cos 10 33sin(60)(12分)060，當(dāng)30時(shí)，折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)即將PMN 設(shè)計(jì)為 30時(shí)，折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)(14分)方法二(1)同方法一(2)連結(jié) MP.在MNP 中，MNP120.MP5，由余弦定理得，MN2NP22MNNPcosMNPMP2.(8分)即 MN2NP2MNNP25.故(MNNP)225MNNPMNNP22，(10分)從而34(MNNP)225，即 MNNP10 33.當(dāng)且僅當(dāng) MNNP 時(shí)等號(hào)成立即設(shè)計(jì)為 MNNP 時(shí)，折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)(14分)