新編【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第8篇 第7講 雙曲線

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1、 第7講　雙曲線 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·漢中模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于 (　　)． A．4　 B．8　 C．24　 D．48 解析　由 可解得 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 則S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24. 答案　C 2．(20xx·湖北卷)已知0＜θ＜，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的 (　　)． A．實(shí)軸長(zhǎng)相等　 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等　 D．焦距相等

2、 解析　∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由雙曲線C1：－＝1知實(shí)軸長(zhǎng)為2sin θ，虛軸長(zhǎng)為2cos θ，焦距為2，離心率為.由雙曲線C2：－＝1知實(shí)軸長(zhǎng)為2cos θ，虛軸長(zhǎng)為2sin θ，焦距為2，離心率為. 答案　D 3．(20xx·日照二模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2＋y2－10x＝0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)． A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析　由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案　A 4．(20xx

3、·北京卷)雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　)． A．m＞　 B．m≥1　 C．m＞1　 D．m＞2 解析　在雙曲線x2－＝1中，a＝1，b＝，則c＝，離心率e＝＝＞，解得m＞1. 答案　C 5．(20xx·成都模擬)已知雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為c(其中c為雙曲線的半焦距長(zhǎng))，則該雙曲線的離心率為 (　　)． A.　 B.　 C．　 D. 解析　不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)(c,0)，雙曲線的漸近線為y＝x，即bx－ay＝0.則焦點(diǎn)到漸近線的距離為＝c，即b＝c，從而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，

4、所以離心率e＝. 答案　A 二、填空題 6．(20xx·寶雞模擬)已知雙曲線x2－ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(，0)，則其離心率為_(kāi)_______． 解析　由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝. 答案　 7．(20xx·廣州一模)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(，0)，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______． 解析　由題意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即雙曲線方程為－＝1，所以雙曲線的漸近線為2x±3y＝0. 答案　2x±3y＝0 8．(20xx·武漢診斷)已知雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，橢圓－＝1的焦距等于4，則n＝________. 解析　因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)(

5、0,2)，所以焦點(diǎn)在y軸，所以雙曲線的方程為－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以橢圓方程為＋x2＝1，且n＞0，橢圓的焦距為4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 答案　5 三、解答題 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解　橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b

6、2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 10．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線半實(shí)軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知：c＝，設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a，b，雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m，n， 則解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一

7、個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·西工大附中模擬)直線y＝x與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|FO|＝|MO|，則雙曲線的離心率等于 (　　)． A.＋　 B.＋1　 C．＋1　 D．2 解析　由題意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN為直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦點(diǎn)為F0，連接NF0，MF0，由

8、雙曲線的對(duì)稱性知，四邊形NFMF0為平行四邊形． 又∵∠MFN＝90°，∴四邊形NFMF0為矩形， ∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直線MN的傾斜角為60°，即∠NOF＝60°， ∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c， 由雙曲線定義知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a， ∴e＝＝＋1. 答案　B 2．(20xx·贛州模擬)已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　　)． A．(1,2)　 B．(，2)　 C．(

9、，2)　 D．(2,3) 解析　由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．根據(jù)對(duì)稱性，只要∠AEF<即可．直線AB的方程為x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝，取點(diǎn)A，則|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故1

10、.則 (1)雙曲線的離心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________. 解析　(1)由△B2OF2的面積可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝. (2)設(shè)∠B2F1O＝θ，則sin θ＝，cos θ＝， ＝＝＝＝e2－＝. 答案　(1)　(2) 三、解答題 4．(20xx·湛江二模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線

11、在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解　(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， ∴x0＝y(tǒng)0，① 依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2， 將①代入圓的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c， ∴x0＝c，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴34－82＋4＝0， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0， ∵e＞1，∴e＝.∴雙曲線的離心率為.