新編高考數(shù)學復(fù)習：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學復(fù)習資料 【考綱下載】 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. 1．仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 2．方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． 3．方向角 相對于某一正方向的水平角 (1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向； (3)南偏西等其他方向角類似． 　　 4．坡角與坡度 (1)坡角：坡面與水

2、平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)； (2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． 1．“仰角、俯角是相對水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的”．這種說法正確嗎？ 提示：正確． 2．“方位角和方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系”，這種說法是否正確？ 提示：正確． 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為(　　) A．α>β　　　　　　　 　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：選B　根據(jù)仰角和俯角的定義可知α＝β

3、. 2．(教材習題改編)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km C.a km D．2a km 解析：選B　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2， 故|AB|＝a. 3．在上題的條件下，燈塔A在燈塔B的方向為(　　) A．北偏西5° B．北偏西10° C．

4、北偏西15° D．北偏西20° 解析：選B　由題意可知∠A＝∠B＝30°，又CB與正南方向線的夾角為40°，故所求角為40°－30°＝10°， 即燈塔A在燈塔B的方向為北偏西10°. 4．一船自西向東航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/小時． 解析：由題意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得＝，解得MN＝34海里，故這只船航行的速度為海里＝ 海里/小時．[來源:] 答案： 5．某運動會開

5、幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，則旗桿的高度為________米． 解析：如圖，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°. 由正弦定理得＝，[來源:] 所以BC＝20×＝20 m， 在Rt△CBD中，CD＝BCsin 60°＝20×＝30 m. 答案：30 數(shù)學思想(六) 數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用 三角函數(shù)在實際生活中有著相當廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識為核心，以測量、航海

6、、筑路、天文等為代表的實際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點題型．求解此類問題時，應(yīng)仔細審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識求解．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] [典例]　(2014·廣州模擬)在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A的北偏東45°且與點A相距40 海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A的北偏東(45°＋θ)其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與點A相距10 海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時

7、)； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由． [解題指導(dǎo)]　根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用正、余弦定理求解．[來源:] [解]　 (1)如圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.因為0＜θ＜90°，所以cos θ＝＝， BC＝ ＝ 10. 所以該船的行駛速度為＝15 海里/小時． (2) 法一：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)點B，C的坐標分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D. 由題設(shè)，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30，

8、 y2＝ACsin∠CAD＝10·sin(45°－θ)＝20. 所以過點B，C的直線l的斜率k＝＝2， 直線l的方程為y＝2x－40. 又點E(0，－55)到直線l的距離d＝＝3＜7， 所以船會進入警戒水域． 法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝. 所以sin∠ABC＝＝ ＝. 在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40. 由于AE＝55＞40＝AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE＝AE－AQ＝15. 過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離． 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQ

9、E＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7. 所以船會進入警戒水域． [題后悟道]　1.對于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長，除以行駛時間即可求得速度；對于問題(2)，延長BC交直線AE于點Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的長、判斷點Q的位置，最后在△QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷． 2．解此類問題，根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識結(jié)合有助于問題的解決． [來源:] 某海域內(nèi)一觀測站A， 某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東5

10、0°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過1小時又測得該船已行駛到點A北偏東50°＋θ其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與A相距60海里的位置C. (1)求該船的行駛速度； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離． 解：(1)如圖，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sin θ＝. 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝ ＝. 由余弦定理得 BC＝＝40海里/小時， 所以該船的行駛速度為40海里/小時． (2)在△ABC中，由正弦定理得＝， 則sin B＝＝60×＝， 過A作BC的垂線，交BC的延長線于D，則AD的長是船離觀測站的最近距離． 在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝80×＝15 海里， 故船在行駛過程中離觀測站A的最近距離為15 海里.