【教案】 公式法—— 一元二次方程根的判別式

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1、公式法—— 一元二次方程根的判別式 一、教學(xué)內(nèi)容分析 “一元二次方程的根的判別式”一節(jié)，從定理的推導(dǎo)到應(yīng)用都比較簡單。但是它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次三項(xiàng)式，二次函數(shù)，二次曲線等奠定基礎(chǔ)，并且用它可以解決許多其它綜合性問題。通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向?qū)W生滲透分類的數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)的簡潔美。 教學(xué)重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。 教學(xué)關(guān)鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透

2、徹理解。 二、教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)教學(xué)大綱和對教材的分析，以及結(jié)合學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 知識和技能： 　1、感悟一元二次方程的根的判別式的產(chǎn)生的過程； 　2、能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證； 　3、會運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍； 過程和方法： 　1、培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神； 2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力。 情感態(tài)度價(jià)值觀： 1、向?qū)W生滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美； 2、加深師生間的交流，增進(jìn)師生的情感； 3、培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。 三、教學(xué)策略： 本著“以學(xué)生發(fā)展為本

3、”的教育理念，同時(shí)也為了使學(xué)生都能積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，本節(jié)課主要采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，按照“實(shí)踐——認(rèn)識——實(shí)踐”的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)，以增加學(xué)生參與教學(xué)過程的機(jī)會和體驗(yàn)獲取知識過程的時(shí)間，從而有效地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。具體如下： 序號 教師 學(xué)生 1 設(shè)置懸念 引發(fā)興趣 爭先恐后，欲解疑團(tuán) 2 設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境 動手解題，親身感知 3 啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論 觀察分析、得出結(jié)論 4 引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證 閱讀理解，自學(xué)教材 5 揭示定理內(nèi)涵 加深認(rèn)識理解 6 應(yīng)用定理，解決問題 鞏固應(yīng)用，形成技能 7 歸

4、納小結(jié) 整體把握 8 布置作業(yè) 鞏固提高 四、教學(xué)流程： <一>、設(shè)置懸念，引發(fā)興趣： 【教師】：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個(gè)一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便地出兩個(gè)題考考我。 【學(xué)生】會爭先恐后地編題考老師。 【說明】這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最佳的心理狀態(tài)。 <二>設(shè)置練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境。 【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在就請同學(xué)們用公式法解，

5、以下三個(gè)一元二次方程；你們會很快發(fā)現(xiàn)我的奧秘。 用公式法解一元二次方程（用投影儀打出） (注：找三名學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做) 【學(xué)生】都在積極解答，尋找其中的奧秘。 【說明】這樣設(shè)計(jì)，使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性。 <三>啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論： 【教師】請同學(xué)們觀察這三個(gè)方程的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出它的值——，為什么要這樣做呢？ 【學(xué)生】會初步說出 的作用是：它能決定方程是否可解。 【教師】（1）由此可見

6、：在解 起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)的值的符號來判斷 的根的情況，因此，我們把 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△（讀作delta，它是希臘字母）”來表示，即△=。我們說在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還會遇到：用一個(gè)簡單的符號來表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)們要逐漸適應(yīng)這一點(diǎn)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。 （3）通過解這三個(gè)方程，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情 況有哪幾種，誰能總結(jié)出來？ 【學(xué)生】由于前面作了鋪墊，所以學(xué)生很快可以答出結(jié)論。 【說明】：這樣設(shè)計(jì)（1）是為了讓學(xué)生明白： 的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。（2）是為了

7、培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣。 <四>引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證： 【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。 【學(xué)生】帶著老師提出的問題，會很認(rèn)真地去看書，尋找答案。 【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)格論證問題的習(xí)慣以及自學(xué)能力的培養(yǎng)。 <五>揭示定理： 【教師】（1）由此我們就得出了關(guān)于 若△＞0 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 若△ =0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

8、 若△＜0則方程沒有實(shí)數(shù)根 （2）我們說：這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0 若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 則△=0 若方程沒有實(shí)數(shù)根， 則△＜0 （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)△值的符號，用定理來判斷方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定△值的符號，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 （4）注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用。 【說明】這樣設(shè)

9、計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會如何用數(shù)學(xué)語言來闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，以及加深學(xué)生對兩個(gè)定理的認(rèn)識，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。 重中之重 <六>應(yīng)用定理，解決問題： 【教師】下面我們就來學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的應(yīng)用。 例1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出） 分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值的符號， （4）補(bǔ)充了一個(gè)含有字母系數(shù)的方程，補(bǔ)充此題的目的是：使學(xué)生進(jìn)一步地掌握此類題中△值的符號的判斷方法， 也為今后解綜合性問題打好基礎(chǔ)。在練習(xí)中作了相

10、應(yīng)地補(bǔ)充。 分析：我先提出兩個(gè)問題： （1）是誰決定了方程有無實(shí)數(shù)根？ （2）現(xiàn)在要證方程無實(shí)數(shù)根，只要證明什么就行了？ 例2是補(bǔ)充的一個(gè)用定理證明的題目，它含有字母系數(shù)，它的證明實(shí)際與例1的第（4）的解法類似，但學(xué)生易于出錯(cuò)，往往錯(cuò)用逆定理來證。 注意；例1，例2之后我設(shè)計(jì)了一個(gè)小結(jié)：（1）關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟以及關(guān)于△變形的一些經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生真正搞清搞透。 小結(jié)（1）關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是： ①把方程化為一般形式，確定a、b、

11、c的值，計(jì)算△； ②用配方法等將△變形，使之符號明朗化后，判斷△的符號。 ③根據(jù)根的判別式定理，寫出結(jié)論。 （2）注意關(guān)于△的變形；一般情況下，△由配方或因式分解后能變形成 等形式；那么△的符號就明朗了，即可判斷其符號。 學(xué)生練習(xí)； 不解方程，判別下列方程根的情況 學(xué)以致 用 【說明】以上例題的設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識運(yùn)用遷移及鞏固的機(jī)會，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動全班同學(xué)參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力。

12、 注意：做以上練習(xí)時(shí)，學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做；板演后如果發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)或有其他解法，下面同學(xué)可主動上去糾正或?qū)懗鲎约旱牟煌夥?，然后教師進(jìn)行講評。從而調(diào)動學(xué)生的參與意識。 分析：要解決這個(gè)問題，應(yīng)先假設(shè)方程有實(shí)根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解這個(gè)不等式，從而求出a的取值范圍，進(jìn)而得出a的正整數(shù)解。 注意：本思考題是我補(bǔ)充的一個(gè)用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運(yùn)用方法，本題讓學(xué)生自己分析，教師只幫助學(xué)生理清思路，最后讓學(xué)生自己完成。 <七>歸納小結(jié) 【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，

13、學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識點(diǎn)，所以必須牢固掌握好它。 （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知△值的符號時(shí)，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時(shí)，使用逆定理。 判別式的情況 根 的 情 況 定 理 與 逆 定 理 △＞0 △＝0 △＜0 【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，與前后知識的聯(lián)系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領(lǐng)的作用。 <八>布置作業(yè)： 1、閱讀課本P39的內(nèi)容； 2、不解方程判定下列方程根的情況： 注 （第3、4題供學(xué)有余力的學(xué)生做） 【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生能及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，同時(shí)對學(xué)有余力的學(xué)生留出自由的發(fā)展空間。 8 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改