《新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強(qiáng)化專題 專題1 突破點3 平面向量 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強(qiáng)化專題 專題1 突破點3 平面向量 Word版含答案（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版
1
2、 1
突破點3 平面向量
(對應(yīng)學(xué)生用書第14頁)
[核心知識提煉]
提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
提煉2 數(shù)量積常見的三種應(yīng)用
3、已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
(1)證明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的長度：|a|＝＝.
(3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝.
提煉3平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論
(1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
(2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)．
(3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)為，.
(4)·＝·＝·?P為△ABC的垂心．
4、 (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.
(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ＝，
向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝.
[高考真題回訪]
回訪1 平面向量的線性運(yùn)算
1．(20xx·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
4 2 [設(shè)a，b的夾角為θ.
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a＋b|＋|a－b|＝＋
＝＋.
令y＝＋，
則y2＝10＋2.
∵θ∈[0，π]，∴co
5、s2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，
∴y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]．]
2．(20xx·浙江高考)記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
D [由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大
小有關(guān)，故A，B錯．當(dāng)a，b夾角為銳角時，|a＋
6、b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.]
3．(20xx·浙江高考)設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1.( )
【導(dǎo)學(xué)號：68334048】
A．若θ確定，則|a|唯一確定
B．若θ確定，則|b|唯一確定
C．若|a|確定，則θ唯一確定
D．若|b|確定，則θ唯一確定
B [|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos
7、 θ·t＋|b|2.
因為|b＋ta|min＝1，
所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sin θ＝1，即|b|＝.
即θ確定，|b|唯一確定．]
回訪2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
4．(20xx·浙江高考)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P, 恒有·≥·，則( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
D [A項，若∠ABC＝90°，如圖，則·＝||·||cos∠BPC＝||2，·＝||2.當(dāng)點P落在點P0的右側(cè)時，||2＜||2，即·＜
8、·，不符合；
B項，若∠BAC＝90°，如圖，則·＝||·||cos∠BPC＝－||·||，·＝－||||＝－3.
當(dāng)P為AB的中點時，·＝－4，
·＜·，不符合；
C項，若AB＝AC，假設(shè)∠BAC＝120°，如圖，則AC′＝2，·＝||·||cos∠BPC＝－||||，·＝||||cos∠BP0C＝－||||＝－5.當(dāng)P落在A點時，－||||＝－8，所以·＜·，不符合．故選D.]
5．(20xx·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e為平面單位向量，則|a·e|＋|b·e|的最大值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：68334049】
9、
[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，
∴cos〈a，b〉＝，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起點為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則a＝(1,0)，b＝(1，)．
設(shè)e＝(cos θ，sin θ)，
則|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|
≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|
＝2|cos θ|＋|sin θ|
≤
＝.]
6．(20xx·浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________
10、.
[∵e1·e2＝，
∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.
又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.
由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.]
7．(20xx·浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________．
2 [根據(jù)題意，得
2＝＝＝＝
＝＝.
因為2＋≥，所以0＜2≤4，所以0＜≤2.故的最大值為2.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第15頁)
熱點題型1 平面向量的運(yùn)算
題型分析：該熱點
11、是高考的必考點之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運(yùn)算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等.
【例1】 (1)(20xx·杭州第二次調(diào)研)在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2.若＝＋，則|＋t|(t∈R)的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號：68334050】
A. B．[，＋∞)
C. D．[1，＋∞)
(2)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為( )
A．－ B.
C. D.
(1)A (2)B
12、[(1)以A為坐標(biāo)原點，AB，AD分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0,1)，B(2,0)，C(1,1)，設(shè)P(x，y)，由＝＋得(x，y)＝(0，1)＋(2,0)，x＝，y＝，所以P，
∴＝，＝(－1,1)，即|＋t|＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時等號成立，故選A.
(2)如圖所示，＝＋.
又D，E分別為AB，BC的中點，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.
又＝－，
則·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.故選B.]
[方法指津]
1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條
13、主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實現(xiàn)．
2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時，務(wù)必要注意兩向量的方向．
[變式訓(xùn)練1] (1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(－2,12)
C．14 D．10
(2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：6833
14、4051】
(1)C (2)－2 [(1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，
∴c＝(1,4)．
而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故選C.
(2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則解得＝－2.]
熱點題型2 三角與向量的綜合問題
題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運(yùn)算作為題目條件.
【例2】 (名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)當(dāng)a
15、∥b時，求cos2x－sin 2x的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍．
[解] (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0， 2分
∴tan x＝－， 4分
∴cos2x－sin 2x＝＝＝. 6分
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin ＋， 8分
由正弦定理得＝，
可得sin A＝. 9分
∵b＞a，∴A＝， 10分
y＝f(x)＋4cos＝sin－. 13分
∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤y≤－，
16、 即y的取值范圍是. 15分
[方法指津]
平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合，計算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關(guān)鍵點．
[變式訓(xùn)練2] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
[解] (1)若m⊥n，則m·n＝0.
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin x－cos x＝0， 4分
∴tan x＝1. 6分
(2)∵m與n的夾角為，∴m·n＝|m|·|n|cos ，即sin x－cos x＝，8分
∴sin ＝. 12分
又∵x∈，∴x－∈，
∴x－＝，即x＝. 15分
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