《新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用教師版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用教師版（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用一、高考預(yù)測從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在研究方程和不等式中的應(yīng)用，考查的形式是解答題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設(shè)計一些新穎的試題，大部分函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)試題難度也不大，但少數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)試題難度較大，解答題中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題也具有一定的難度由于該專題的絕大多數(shù)內(nèi)容(除定積分)都是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，在考查上已經(jīng)基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預(yù)計20xx年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，定積分的計算及其簡單應(yīng)用以解答題的方式考查導(dǎo)數(shù)在
2、函數(shù)問題中的綜合應(yīng)用，重點是使用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數(shù)建模和利用導(dǎo)數(shù)解模導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：要掌握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點解決導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，特別是含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進(jìn)行研究性訓(xùn)練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點二、知識導(dǎo)學(xué)要點1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線1導(dǎo)數(shù)的幾何意
3、義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)）。2求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：當(dāng)曲線在點處的切線平行于軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；當(dāng)切點坐標(biāo)未知時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標(biāo)，再求解。要點2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式0或0。若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式0或0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。
4、要點3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是
5、一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（小）值（如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大（?。┲怠Ｖ肋@一點是非常重要的，因為它在應(yīng)用一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為.3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進(jìn)行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.三、易錯點點睛命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算1設(shè)，, ,nN,則 ( )A.sinx B.-sin
6、x C.cosx D.-cosx考場錯解 選C專家把脈 由=,f3(x) =(-sinx)=-cosx, ，故周期為4。 對癥下藥 選A2已知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，的解析式可能為 （ ）A=(x-1)3+32(x-1) B=2x+1 C=2(x-1)2 D=-x+3考場錯解 選B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.專家把脈 上面解答錯誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認(rèn)為（2x+1）=2x+1.正確的是（2x+1）=2,所以x=1時的導(dǎo)數(shù)是2，不是3。=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+（n=1，2，3，）從而xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n=-
7、e.數(shù)列f(xn)是公比為q=-e-的等比數(shù)列。專家把脈 上面解答求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了錯誤，即（e-x）=e-x是錯誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正確的。對診下藥（1）證明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx. 令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=n,(n為整數(shù)，從而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x
8、2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)從而Sn=(-nqn)|q|=e-1 qn=0,專家會診1理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則的運用。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.
9、考場錯解 填2 由曲線y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，切線方程為y-1=x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=22=2。專家把脈 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。對癥下藥 填。=3x2 當(dāng)x=1時f(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）。三條直線所圍成的面積為S=4（2-）=。2設(shè)t0,點P（t,0）是函數(shù)=x3+ax與g(x)
10、=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍?？紙鲥e解 （1）函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.專家把脈 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由、兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的結(jié)論應(yīng)是f(t)=0，即
11、t3+at=0，因為t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).當(dāng)y=(3x+t)(x-t)0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y0,若t0,則tx0,則-xt.則題意，函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，則（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以
12、t3或-3。即t-9或t3。又當(dāng)-9t0f(x)在(-,-1)與(1，+)上是增函數(shù)。若x-1,1時，f(x) 0,故f9x)在-1，1上是減函數(shù)。f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。（2）解：曲線方程為y=x3-3x,點A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點M（x0,y0）,則點M在曲線上，y0=x30-3x0.因f(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). 點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，得x0=-2.專家會診 設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f(x0)，則過此點的
13、切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。命題角度 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1（典型例題）已知函數(shù)=-x3+3x2+9x+a.(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間-2，2上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。考場錯解（1）=-3x2+6x+9,令0,解得x3,函數(shù)的音調(diào)遞減區(qū)間為（-，-1）（3，+）（2）令=0,得x=-1或x=3當(dāng)-2x-1時, 0;當(dāng)-1x0;當(dāng)x3時，0時，是減函數(shù)，但反之并不盡然，如=-x3是減函數(shù)，=3x2并不恒小于0，（x=0時=0）.因此本題應(yīng)該有在R上恒小于或等于0。對癥下
14、藥 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=3x2+6x-1.當(dāng)=3ax2+6x-10對任何xR恒成立時，在R上是減函數(shù)。對任何xR,3ax2+6x-10恒成立，a0且=36+12a0a-3.所以當(dāng)a-3時，由-3時，f(x)=3ax2+6x-10在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當(dāng)a-3時，是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是（-，-3）。3已知aR,討論函數(shù)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數(shù)。 對癥下藥 =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1)令=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)當(dāng)=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0即a4時
15、,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設(shè)x1x2.于是=ex(x-x1)(x-x2),從而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+ )F(x)+0-0+F(x)f(x1)有極大值f（x2）有極小值即此時f(x)有兩個極值點。（2）當(dāng)=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2于是f(x)=ex(x1-x1)2.故當(dāng)x0;當(dāng)xx1時，f(x)0因此f(x)無極值。（3）當(dāng)0，即0a0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,故f(x)為增函數(shù)，此時f(x)無極值點，因此，當(dāng)a4或a1時，方
16、程=0，在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根?？紙鲥e解 令0,xln(x+m).mex-x m取小于或等于ex-x的整數(shù)。專家把脈 上面解答對題意理解錯誤，原題“當(dāng)m為何值時，0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，mex-x這個結(jié)果顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）函數(shù)=x-ln(x+m),x(-m,+ )連續(xù)，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.當(dāng)-mx1-m時，1-m時，0, 為增函數(shù)。根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x(-m,+ )都有f(1-m)=1-m，故當(dāng)1-m=f()0,即m1時，0.即m1且mZ時，0.(2)證明：由（1）可知，當(dāng)整數(shù)m1
17、時，f(1-m)=1-m0,又為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)m1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當(dāng)m1時，f(e2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+-3m0.(m12m-11).類似地，當(dāng)整數(shù)m1時，=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m) x0,10x36時，V36時V0.所以，當(dāng)x=10時V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以當(dāng)x=10時,V有最大值V（10）=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是196
18、0cm3.專家會診1證函數(shù)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若在（a、b）內(nèi)個別點上滿足=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足0(或0)函數(shù)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。2函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導(dǎo)）時可以是不必要條件。3函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值()由()得且則由，解得
19、或；，解得或；，解得的遞增區(qū)間為:和；遞減區(qū)間為:又要有兩個根,則有兩解，由函數(shù)的單調(diào)性可得：。2、設(shè)函數(shù)，.（）試問函數(shù)能否在時取得極值？說明理由；（）若，當(dāng)時，與的圖象恰好有兩個公共點，求的取值范圍.【解析】：() ， 令， 2分當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值.所以在處無極值. 4分()，令，或正負(fù)正單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增與的圖象恰好有兩個公共點，等價于的圖象與直線恰好有兩個交點或 12分3、已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直。()求實數(shù)的值；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍。【解析】：() 的圖象經(jīng)過點，。2分又，則。由條件知，即。4分聯(lián)立解得6分
20、（），令，解得，或。8分函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，。10分則，即12分4、已知函數(shù)()若曲線在點處的切線方程為,求函數(shù)解析式;() 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.對任意的成立.從而得所以滿足條件的取值范圍是.13分5、若定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件： 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 是偶函數(shù)； 在處的切線與直線垂直. （）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍【解析】：（）， 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， ()由是偶函數(shù)得：，又在處的切線與直線垂直，代入()得：即.5分（）由已知得：若存在，使，即存在，使.設(shè)，則，.8分令0， 當(dāng)時，在上為減函
21、數(shù)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上有最大值. 又，最小值為. 于是有為所求.13分6、設(shè)函數(shù)() 當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若對任意及任意，恒有 成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】：()函數(shù)的定義域為. 當(dāng)時，2分當(dāng)時，當(dāng)時，無極大值. 4分（） 5分 當(dāng)，即時，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)，即時，令得或令得當(dāng)，即時，令得或令得 綜上，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；8分即 .令，解得：或.當(dāng)時，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.3分當(dāng)時，隨的變化情況如下：極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.5分當(dāng)時，隨的變化情況如下
22、：極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.7分（）當(dāng)時，的極大值等于. 理由如下：當(dāng)時，無極大值.當(dāng)時， 的極大值為，8分令，即解得 或（舍）9分 當(dāng)時，的極大值為.10分因為 ，所以 .因為 ，所以 的極大值不可能等于.綜上所述，當(dāng)時，的極大值等于12分8、已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）（）若對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；()當(dāng)時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.【解析】：（）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，故不恒成立，所以不合題意；當(dāng)時，對恒成立，所以符合題意；當(dāng)時令，得，當(dāng)時，當(dāng)時，故在上是單調(diào)遞減
23、，在上是單調(diào)遞增, 所以又，綜上：. ()當(dāng)時，由（2）知，設(shè)，則，【解析】：（1），()因為，所以恒成立求的最小值 令故在（2，+）上為增函數(shù),所以最小值點滿足，當(dāng) 故：10、已知函數(shù).（）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（）若存在，使，求的取值范圍.【解析】：（）由則得知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.- -（4分）故.又，故.-（2分）（）依題意，只需，.則依當(dāng)時，得，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.故得.-（3分）當(dāng)時，知在區(qū)間上單調(diào)遞減.不成立.綜上所述，所求的取值范圍是-（3分）11、函數(shù)(x)=x2xlnx. （）求函數(shù)(x)的單調(diào)區(qū)間；（）是否存在實數(shù)m,n，同時滿足下列條件1m0時，
新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用教師版
