新編高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題 概率與統(tǒng)計理科教師版

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1、 概率與統(tǒng)計一、高考預測計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分是高中數(shù)學中使用課時最多的一個知識板塊，高考對該部分的考查分值也較多從近幾年的情況看，該部分考查的主要問題是排列組合應用問題，二項式定理及其簡單應用，隨機抽樣，樣本估計總體，線性回歸分析，獨立性檢驗，古典概型，幾何概型，事件的獨立性，隨機變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡單應用，在試卷中一般是23個選擇題、填空題，一個解答題，試題難度中等或者稍易預計20xx年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點不會發(fā)生大的變化計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分的復習要從整體上，從知識的相互關系上進行概率試題的核心是概率計算，其中事件之間的互

2、斥、對立和獨立性是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具，在復習概率時要抓住概率計算的核心和這個工具；統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機抽樣，在復習統(tǒng)計部分時，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關的計算和對統(tǒng)計思想的理解，如樣本均值和方差的計算，用樣本估計總體等二、知識導學 (4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分

3、別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.要點2離散型隨機變量的分布列1.隨機變量及相關概念隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母、等表示.隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（1，2，）的概率P（）=，則稱下表.PP1P2為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列都

4、具有下述兩個性質(zhì)：（1），1，2，;（2）=1.常見的離散型隨機變量的分布列：（2） 幾何分布 在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.隨機變量的概率分布為：123kPpqp要點4 抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應的頻率表示，幾何表示就是相應的條形圖.當總體中的個

5、體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應樣本的頻率分布.總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.要點5 正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為，x 其中、為常數(shù)，并且0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.2.線性回歸 簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數(shù)學方法.變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關系和不確定的函數(shù)關系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關關系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以

6、提供變量之間相關關系的經(jīng)驗公式.具體說來，對n個樣本數(shù)據(jù)（），（），（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗公式為：.其中，其中分別為|、|的平均數(shù).三、易錯點點睛【知識點歸類點撥】二項式的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分2、如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）解析：當時即,根據(jù)二項式通項公式得時對應,即故項系數(shù)為.【易錯點3】二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，在此往往因為概念不清導致出錯解析：由題意知，第五項系數(shù)為，第三項的系數(shù)為，則有，設展開式中的第r項，第r+

7、1項，第r+2項的系數(shù)絕對值分別為，若第r+1項的系數(shù)絕對值最大，則，解得：系數(shù)最大值為由知第五項的二項式系數(shù)最大，此時.【易錯點4】對于排列組合問題，不能分清是否與順序有關而導致方法出錯。1.有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三組；（2） 分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人兩本，1人3本；（3） 平均分成三組，每組2本；（4） 分給甲、乙、丙三人，每人2本。（5） 在問題（3）的基礎上，再分配即可，共有分配方式種。【知識點歸類點撥】本題是有關分組與分配的問題，是一類極易出錯的題型，對于此類問題的關鍵是搞清楚是否與順序有關，分清先選后排

8、，分類還是分步完成等，對于平均分組問題更要注意順序，避免計算重復或遺漏。2.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個班擔任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ）A、 210種 B、420種 C、630種 D、840種解析：首先選擇3位教師的方案有：一男兩女；計；兩男一女：計=40。其次派出3位教師的方案是=6。故不同的選派方案共有種。解析：（1）3個女同學是特殊元素，我們先把她們排列好，共有種排法；由于3 個同學必須排在一起，我們可視排好的女同學為一個整體，在與男同學排隊，這時是五個元素的全排列，應有種排法。由乘法原理，有種不同排法。（

9、2）先將男生排好，共有種排法；再在這4個男生的中間及兩頭的5 個空中插入3個女生，有種方案。故符合條件的排法共有種。（3）甲、乙2人先排好，共有種排法；再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間，有種排法，這時把已排好的5人看作一個整體，與剩下的2人再排，又有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空當中，有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（5）從七個位置中選出4個位置把男生排好，有種排法；然后再在余下得個空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故僅有一種

10、排法。這樣總共有種不同的排法。2.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間三個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)（ ）A、234 B、346 C、350 D、363解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間3個座位，共有種，再加上4種不能算相鄰的，共有種。所以的概率分布為300100100300P0.0080.0960.3840.512根據(jù)的概率分布，可得的期望（2）這名同學總得分不為負分的概率為?！局R點歸類點撥】二項分布是一種常見的重要的離散型隨機變量分布列，其概率就是獨立重復實驗n次其中發(fā)生k次的概率。但在解決實際問題時一定看清是否滿足二項分

11、布。解析：（1）的所有可能值為0，1，2，3，4。用表示“汽車通過第k個路口時不?！眲t獨立。故從而的分布列為01234P（2）?！局R點歸類點撥】在正態(tài)分布中，為總體的平均數(shù)，為總體的標準差，另外，正態(tài)分布在的概率為，在內(nèi)取值的概率為。解題時，應當注意正態(tài)分布在各個區(qū)間的取值概率，不可混淆，否則，將出現(xiàn)計算失誤。四、典型習題導練1、一籠子中裝有2只白貓，3只黑貓，籠門打開每次出來一只貓，每次每只貓都有可能出來。（）第三次出來的是只白貓的概率；（）記白貓出來完時籠中所剩黑貓數(shù)為，試求的概率分布列及期望?！窘馕觥浚ǎǎ┰O籠中所剩黑貓數(shù)為，則：=0,1,2,3，其概率分布列如下：0123P2、深圳

12、市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球）， 3 個是舊球（即至少用過一次的球）每次訓練，都從中任意取出2 個球，用完后放回（）設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（）求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率（）設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件則“第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件而事件、互斥，所以，由條件概率公式，得，9分，10分11分所以，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為12分3、黃山風景區(qū)某旅游超市銷售不同價格的兩種紀念品,一種單價10元,另一種單價15元,超市計劃將這兩種紀念品共4件（兩件10元，兩件15

13、元）在超市入口和出口處展出銷售,假設光顧該超市的一位游客隨機的從這兩處選購紀念品,且選購單價10元和15元的紀念品是等可能的.（）若每處各展出一件10元的紀念品和一件15元的紀念品,則該游客只選購了一件紀念品且單價為15 元的概率是多少?（）若每處至少展出一件紀念品,記該游客只選購了一件紀念品且單價為15元的概率為,怎樣分配展出能使的值最大?并求出的最大值；（）若每處隨機的各展出兩件紀念品, 該游客從這兩處各選購了一件紀念品,記該游客選購紀念品的消費總金額為元,求隨機變量的分布列,并求出的數(shù)學期望.4、盒中有大小相同的編號為1，2，3，4，5，6的六只小球，規(guī)定：摸一次需1元，從盒中摸出2只球

14、，如果這2只球的編號均能被3整除，則獲一等獎，獎金10元，如果這2只球的編號均為偶數(shù)，則獲二等獎，獎金2元，其他情況均不獲獎()若某人摸一次且獲獎，求他獲得一等獎的概率；（）若有2人參加摸球游戲，按規(guī)定每人摸一次，摸后放回，2人共獲獎金X元，求X的分布列及期望【解析】()設摸一次得一等獎為事件A，摸一次得二等獎為事件B，則，某人摸一次且獲獎為事件，顯然A、B互斥所以故某人摸一次且獲獎，他獲得一等獎的概率為：【解析】()設學生“跳高得，跳遠得”記為事件， “跳高得，跳遠得”記為事件，則（2分）所以該學生恰好得到一個和一個的概率為。（4分）（）由題意，的所有可能取值是10，15，20，20，25，

15、30。而（8分）則的分布列為1015202530的數(shù)學期望為。（12分）6、某電視臺有A、B兩種智力闖關游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨立進行游戲A，丙丁兩人各自獨立進行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關成功的概率均為.()求游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關成功的人數(shù)的概率；（） 記游戲A、B被闖關成功的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望.7、盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球（）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（）求取出

16、的3個球得分之和恰為1分的概率；（）設為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.8、如圖3，兩點之間有條網(wǎng)線連接，它們能通過的最大信息量分別為.從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量,設這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為（）當時,則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率; （）求的分布列和數(shù)學期望. (本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等知識, 考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識)【解析】（）從6條網(wǎng)線中隨機任取三條網(wǎng)線共有種情況 1分, 2分, 3分, . 4分, . 5分.9、乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽

17、采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（）求甲以比獲勝的概率；（）求乙獲勝且比賽局數(shù)多于局的概率；（）求比賽局數(shù)的分布列.【解析】（）：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是1分記“甲以比獲勝”為事件，則4分（）：記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于局”為事件. 因為乙以比獲勝的概率為， 6分 乙以比獲勝的概率為，7分所以 8分（）解：設比賽的局數(shù)為，則的可能取值為 ，9分，10分，11分12分比賽局數(shù)的分布列為： 13分; ;. 11分 隨機變量的分布列為：01234 12分所以13分11、20xx年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利

18、率將回歸基準利率. 某大型銀行在一個星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示：求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）；從本周內(nèi)該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率；假設該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個星期不變，在這段時間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù)，求. 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，具體涉及到統(tǒng)計圖的應用、二項分布以及數(shù)學期望的求法.【解析】平均年限. (4分) 所求概率. (8分)由條件知，所以. (12分)12、為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者現(xiàn)從符合條件的500名志愿

19、者中隨機抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示（）頻率分布表中的、位置應填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在30，35)歲的人數(shù)；（）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔任主要負責人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望分組（單位：歲）頻數(shù)頻率【解析】（）處填20，處填0.35；補全頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在30，35)的人數(shù)為5000.35175（4分）13、某高校在20xx年的

20、自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。（1）請求出位置相應的數(shù)字，填在答題卡相應位置上，并補全頻率分布直方圖；（2）為了能選出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；假定考生“XXX”筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？（3）在（2）的前提下，學校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試，設第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望【解析】（1）由題意知，組頻

21、率總和為，故第組頻率為，即處的數(shù)字為； 1分總的頻數(shù)為，因此第組的頻數(shù)為，即處數(shù)字為2分頻率分布直方圖如下： （2）第組共名學生，現(xiàn)抽取人，因此第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人. 7分公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取人，每個人被抽到的概率是相同的. 8分（只寫“公平”二字，不寫理由，不給分）（3）的可能取值為 的分布列為：11分12分【解析】（）由條形統(tǒng)計圖可知,空氣質(zhì)量類別為良的天數(shù)為天,所以此次監(jiān)測結(jié)果中空氣質(zhì)量類別為良的概率為 .4分 （）隨機變量的可能取值為,則 , 所以的分布列為: 12分15、戶外運動已經(jīng)成為一種時尚運動，某單位為了了解

22、員工喜歡戶外運動是否與性別有關，對本單位的50名員工進行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計男性5女性10合計50已知在這50人中隨機抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是.（）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（）是否有99.5的把握認為喜歡戶外運動與性別有關？并說明你的理由；（）經(jīng)進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運動的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽.若從喜歡戶外運動的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.635

23、7.87910.828（）喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計男性20525女性101525合計302050【解析】 () 在全部50人中隨機抽取1人的概率是，喜歡戶外活動的男女員工共30，其中，男員工20人，列聯(lián)表補充如下 16、在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關系，選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料：動物編號123456用藥量x（單位）134568抗體指標y(單位）3.43.73.84.04.24.3記為抗體指標標準差，若抗體指標落在內(nèi)則稱該動物為有效動物，否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被

24、選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗.【解析】().故1、6號為無效動物，2、3、4、5號為有效動物 -2分 所以隨機變量的取值為0，1，2 記從六只動物中選取兩只所有可能結(jié)果共有15種. -5分 012P分別列為 期望 -6分 17、一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為的函數(shù)：， （）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學期望18、“肇實，正名芡實，因肇慶所產(chǎn)之芡實顆粒大、藥力強，故名?！蹦晨蒲兴鶠檫M一步改良肇實，為

25、此對肇實的兩個品種（分別稱為品種A和品種B）進行試驗選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B（1）假設n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗時每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種A和品種B在每個小片水塘上的每畝產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下表： 號碼12345678品種A101979210391100110106品種B115107112108111120110113分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應該種植哪一品種？【

26、解析】（1）可能的取值為0，1，2，3，4. （1分），即的分布列為01234P （4分）的數(shù)學期望為 （6分）19、某地農(nóng)民種植A種蔬菜，每畝每年生產(chǎn)成本為7000元，A種蔬菜每畝產(chǎn)量及價格受天氣、市場雙重影響。預計明年雨水正常的概率為 ，雨水偏少的概率為。若雨水正常，A種蔬菜每畝產(chǎn)量為2000公斤，單價為6元/公斤的概率為，單價為3元/公斤的概率為；若雨水偏少，A種蔬菜每畝產(chǎn)量為1500公斤，單價為6元/公斤的概率為，單價為3元/公斤的概率為.(1)計算明年農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率；(2)在政府引導下，計劃明年采取“公司加農(nóng)戶，訂單農(nóng)業(yè)”的生產(chǎn)模式，某公司為不增加農(nóng)民生產(chǎn)成本，給農(nóng)民投

27、資建立大棚，建立大棚后，產(chǎn)量不受天氣影響，預計每畝產(chǎn)量為2500公斤，農(nóng)民生產(chǎn)的A種蔬菜全部由公司收購，為保證農(nóng)民每畝預期收入增加1000元，收購價格至少為多少？，11分設收購價格為元/公斤，農(nóng)民每畝預期收入增加1000元，則，即，所以收購價格至少為元/公斤.12分20、甲、乙兩同學進行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分（無平局），比賽進行到有一個人比對方多2分或比滿8局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為（I）如右圖為統(tǒng)計這次比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖其中如果甲獲勝，輸人a=lb=0;如果乙獲勝，則輸人a=0，b=1請問在兩個判斷框中應分別填寫什么條件？（）求p的值；（）設表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和【解析】（）程序框圖中的應填，應填.(注意：答案不唯一.)2分（）依題意得，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止.所以，解得： 或，因為，所以6分