新版高三數(shù)學(xué)文高考總復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè) 六十一 不等式的證明 Word版含解析
11課時(shí)跟蹤檢測(cè)課時(shí)跟蹤檢測(cè)(六六十十一一)不等式的證明不等式的證明1如果如果 x0，比較，比較( x1)2與與( x1)2的大小的大小解：解：( x1)2( x1)2( x1)( x1)( x1)( x1)4 x因?yàn)橐驗(yàn)?x0，所以，所以 x0，所以，所以4 x0，所以所以( x1)2( x1)22設(shè)不等式設(shè)不等式|2x1|1 的解集為的解集為 M(1)求集合求集合 M(2)若若 a，bM，試比較，試比較 ab1 與與 ab 的大小的大小解：解：(1)由由|2x1|1 得得12x11，解得解得 0 x1所以所以 Mx|0 x1(2)由由(1)和和 a，bM 可知可知 0a1,0b1，所以所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故故 ab1ab3(20 xx重慶第一次適應(yīng)性測(cè)試重慶第一次適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)設(shè) a，b，cR且且 abc1(1)求證：求證：2abbccac2212；(2)求證：求證：a2c2bb2a2cc2b2a2證明：證明：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，所以所以 2abbccac2212(4ab2bc2cac2)12(2)因?yàn)橐驗(yàn)閍2c2b2acb，b2a2c2abc，c2b2a2bca，所以所以a2c2bb2a2cc2b2aacbabc abcbca acbbca acbbc bacca cabba 2a2b2c24若若 a0，b0，且，且1a1b ab(1)求求 a3b3的最小值；的最小值；(2)是否存在是否存在 a，b，使得，使得 2a3b6？并說(shuō)明理由？并說(shuō)明理由解：解：(1)由由 ab1a1b2ab，得得 ab2，且當(dāng)，且當(dāng) ab 2時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立故故 a3b32 a3b34 2，且當(dāng)且當(dāng) ab 2時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立所以所以 a3b3的最小值為的最小值為 4 2(2)由由(1)知，知，2a3b2 6 ab4 3由于由于 4 36，從而不存在，從而不存在 a，b，使得，使得 2a3b65已知定義在已知定義在 R 上的函數(shù)上的函數(shù) f(x)|x1|x2|的最小值為的最小值為 a(1)求求 a 的值；的值；(2)若若 p，q，r 是正實(shí)數(shù)，且滿足是正實(shí)數(shù)，且滿足 pqra，求證：，求證：p2q2r23解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)1x2 時(shí)，等號(hào)成立，所以時(shí)，等號(hào)成立，所以 f(x)的最小值等于的最小值等于 3，即，即 a3(2)證明：由證明：由(1)知知 pqr3，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?p，q，r 是正實(shí)數(shù)，是正實(shí)數(shù)，所以所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即即 p2q2r236(20 xx?？谡{(diào)研?？谡{(diào)研)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)|xa|(1)當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，解不等式時(shí)，解不等式 f(x)7|x1|；(2)若若 f(x)1 的解集為的解集為0,2，1m12na(m0，n0)，求證：，求證：m4n2 23解：解：(1)當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，不等式為時(shí)，不等式為|x2|x1|7，x1，2x1x7或或1x2，2xx17或或x2，x2x17，解得解得 x2 或或 x5，不等式的解集為不等式的解集為(，25，)(2)證明：證明：f(x)1 即即|xa|1，解得，解得 a1xa1，而而 f(x)1 的解集是的解集是0,2，a10，a12，解得解得 a1，1m12n1(m0，n0)，m4n(m4n)1m12n 34nmm2n2 23(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) m2 2n 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào))7已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|x1|(1)解不等式解不等式 f(2x)f(x4)8；(2)若若|a|1，|b|1，a0，求證：，求證：f ab |a|fba 解：解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|3x2，x3，x4，3x12，3x2，x12，當(dāng)當(dāng) x3 時(shí)，由時(shí)，由3x28，解得，解得 x103；當(dāng)當(dāng)3x12時(shí)，時(shí)，x48 無(wú)解；無(wú)解；當(dāng)當(dāng) x12時(shí)，由時(shí)，由 3x28，解得，解得 x2所以不等式所以不等式 f(2x)f(x4)8 的解集為的解集為x|x103或或 x2 (2)證明：證明：f ab |a|fba 等價(jià)于等價(jià)于 f(ab)|a|fba ，即即|ab1|ab|因?yàn)橐驗(yàn)閨a|1，|b|1，所以所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以所以|ab1|ab|故所證不等式成立故所證不等式成立8設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1記記 f(x)1 的解集為的解集為 M，g(x)4的解集為的解集為 N(1)求求 M；(2)當(dāng)當(dāng) xMN 時(shí)，證明：時(shí)，證明：x2f(x)xf(x)214解：解：(1)f(x)3x3，x1， ，1x，x ，1 .當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，由時(shí)，由 f(x)3x31 得得 x43，故，故 1x43；當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，由時(shí)，由 f(x)1x1 得得 x0，故，故 0 x1所以所以 f(x)1 的解集為的解集為 M x|0 x43(2)證明：證明：由由 g(x)16x28x14，得得 16x1424，解得解得14x34因此因此 N x|14x34，故故 MN x|0 x34當(dāng)當(dāng) xMN 時(shí)，時(shí)，f(x)1x，于是于是 x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)14x12214。
