高中數(shù)學(xué)人教版選修45評估驗收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案

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1、評估驗收卷評估驗收卷( (四四) )( (時間：時間：120120 分鐘分鐘滿分：滿分：150150 分分) )一一、選擇題選擇題( (本大題共本大題共 1212 小題小題，每小題每小題 5 5 分分，共共 6060 分分在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中，只只有一項是符合題目要求的有一項是符合題目要求的) )1 1下列說法中正確的是下列說法中正確的是( () )A A若一個命題當(dāng)若一個命題當(dāng)n n1 1，2 2 時為真時為真，則此命題為真命題則此命題為真命題B B若一個命題當(dāng)若一個命題當(dāng)n nk k時成立且推得時成立且推得n nk k1 1 時也成立時也成立，則此命題為真命題則

2、此命題為真命題C C若一個命題當(dāng)若一個命題當(dāng)n n1 1，2 2 時為真時為真，則當(dāng)則當(dāng)n n3 3 時此命題也為真時此命題也為真D D若一個命題當(dāng)若一個命題當(dāng)n n1 1 時為真時為真，n nk k時為真能推得時為真能推得n nk k1 1 時亦為真時亦為真，則此命題為真命則此命題為真命題題解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)只有當(dāng)n n的初始取值成立且由的初始取值成立且由n nk k成立能推得成立能推得n nk k1 1時也成立時時也成立時，才可以證明結(jié)論正確才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可二者缺一不可A A，B B，C C 項均不全面項均不全面答案：答案：D D2

3、 2等式等式 1 12 22 22 23 32 2n n2 21 12 2(5(5n n2 27 7n n4)(4)() )A An n為任何正整數(shù)時都成立為任何正整數(shù)時都成立B B僅當(dāng)僅當(dāng)n n1,1, 2 2，3 3 時成立時成立C C當(dāng)當(dāng)n n4 4 時成立時成立，n n5 5 時不成立時不成立D D僅當(dāng)僅當(dāng)n n4 4 時不成立時不成立解析：把解析：把n n1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 代入驗證可知代入驗證可知 B B 正確正確答案：答案：B B3 3用數(shù)學(xué)歸納法證用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式明不等式 1 11 12 23 31 13 33 31 1n n3 32 21 1n n(

4、 (n n2 2，n nN N) )時時，第一步應(yīng)驗證第一步應(yīng)驗證不等式不等式( () )A A1 11 12 23 32 21 12 2B B1 11 12 23 31 13 33 32 21 13 3C C1 11 12 23 32 21 13 3D D1 11 12 23 31 13 33 32 21 14 4解析：因為解析：因為n n2 2，所以第一步驗證不等式應(yīng)為所以第一步驗證不等式應(yīng)為n n2 2 時時 1 11 12 23 32 21 12 2. .答案：答案：A A4 4設(shè)設(shè)f f( (n n) )1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1( (n nN N) )，

5、則則f f( (n n1)1)f f( (n n) )等于等于( () )A.A.1 13 3n n2 2B.B.1 13 3n n1 13 3n n1 1C.C.1 13 3n n1 11 13 3n n2 2D.D.1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2解析解析： 因因為為f f( (n n) )1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1， 所所以以f f( (n n1)1)1 11 12 21 13 31 13 3n n1 11 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2，所以所以f f( (n n1)1)f f( (n n)

6、)1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2. .答案：答案：D D5 5已知已知f f( (n n) )1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 2，則則( () )A Af f( (n n) )中共有中共有n n項項，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時時，f f(2)(2)1 12 21 13 3B Bf f( (n n) )中共有中共有n n1 1 項項，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時時，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4C Cf f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n項項，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時時，f f(2)(2)1 12 21 1

7、3 3D Df f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n1 1 項項，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時時，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4解析：本題主要考查數(shù)列的概念解析：本題主要考查數(shù)列的概念由由n n到到n n2 2一共有整數(shù)一共有整數(shù)n n2 2n n1 1 個個，所以所以f f( (n n) )有有n n2 2n n1 1 項項，當(dāng)當(dāng)n n2 2 時代入得時代入得，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4. .故本題正確答案為故本題正確答案為 D.D.答案：答案：D D6 6用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)當(dāng)n n為正奇數(shù)時為正奇數(shù)時，x xn n

8、y yn n能被能被x xy y整除整除”的第二步是的第二步是( () )A A假設(shè)假設(shè)n n2 2k k1 1 時正確時正確，再推再推n n2 2k k3 3 時正確時正確( (k kN N) )B B假設(shè)假設(shè)n n2 2k k1 1 時正確時正確，再推再推n n2 2k k1 1 時正確時正確( (k kN N) )C C假設(shè)假設(shè)n nk k時正確時正確，再推再推n nk k1 1 時正確時正確( (k kN N) )D D假設(shè)假設(shè)n nk k( (k k1)1)時正確時正確，再推再推n nk k2 2 時正確時正確( (k kN N) )解析解析：n n為正奇數(shù)為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證

9、題的步驟根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第二步應(yīng)先假設(shè)n n取第取第k k個正奇數(shù)也成個正奇數(shù)也成立立，本題即假設(shè)本題即假設(shè)n n2 2k k1 1 時正確時正確，再推再推n n取第取第( (k k1)1)個正奇數(shù)個正奇數(shù)，即即n n2 2k k1 1 時正確時正確答案：答案：B B7 7平面內(nèi)原有平面內(nèi)原有k k條直線條直線，它們的交點個數(shù)記為它們的交點個數(shù)記為f f( (k k) )，則增加一條直線則增加一條直線l l后后，它們的交點它們的交點個數(shù)最多為個數(shù)最多為( () )A Af f( (k k) )1 1B Bf f( (k k) )k kC Cf f( (k k) )k k

10、1 1D Dk kf f( (k k) )解析解析：第第k k1 1 條直線與前條直線與前k k條直線都相交有交點條直線都相交有交點，所以應(yīng)比原先增加所以應(yīng)比原先增加k k個交點個交點故應(yīng)故應(yīng)選選B.B.答案：答案：B B8 8用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明( (n n1)(1)(n n2)2)( (n nn n) )2 2n n1 13 3(2(2n n1)(1)(n nN N) )成立時成立時，從從k k到到k k1 1 左邊需增乘的代數(shù)式是左邊需增乘的代數(shù)式是( () )A.A.2 2k k1 1k k1 1B B2 2(2(2k k1)1)C C2 2k k1 1D.D.2 2k k

11、3 3k k1 1解析解析： 要求左邊從要求左邊從k k到到k k1 1 左邊需增乘的代數(shù)式左邊需增乘的代數(shù)式， 可以先寫出可以先寫出n nk k時時， 左邊左邊( (k k1)(1)(k k2)2)( (k kk k) )，再寫出再寫出n nk k1 1 時時，左邊左邊( (k k2)(2)(k k3)3)( (k kk k)()(k kk k1)(1)(k kk k2 2) )，然然后比較兩式后比較兩式，得出需增乘得出需增乘（k kk k1 1） （k kk k2 2）k k1 12 2(2(2k k1)1)答案：答案：B B9 9如果命題如果命題P P( (n n) )對于對于n nk

12、k成立成立，則它對則它對n nk k2 2 亦成立亦成立，又若又若P P( (n n) )對對n n2 2 成立成立，則則下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是( () )A AP P( (n n) )對所有自然數(shù)對所有自然數(shù)n n成立成立B BP P( (n n) )對所有偶自然數(shù)對所有偶自然數(shù)n n成立成立C CP P( (n n) )對所有正自然數(shù)對所有正自然數(shù)n n成立成立D DP P( (n n) )對所有比對所有比 1 1 大的自然數(shù)大的自然數(shù)n n成立成立解析解析：因為因為n n2 2 時時，由由n nk k2 2 的的“遞推遞推”關(guān)系關(guān)系，可得到可得到n n4 4 成立成立，再得到再

13、得到n n6 6 成立成立，依次類推依次類推，因此因此，命題命題P P( (n n) )對所有偶自然數(shù)對所有偶自然數(shù)n n成立成立答案：答案：B B1010設(shè)設(shè) 0 02 2，已知已知a a1 12 2coscos，a an n1 1 2 2a an n，則猜想則猜想a an n為為( () )A A2cos2cos2 2n nB B2cos2cos2 2n n1 1C C2cos2cos2 2n n1 1D D2sin2sin2 2n n解析：解析：a a1 12 2coscos，a a2 2 2 22 2coscos2 2coscos2 2，a a3 32 22 2coscos2 22 2

14、coscos4 4，猜想猜想a an n2 2coscos2 2n n1 1. .答案：答案：B B1111設(shè)設(shè)f f( (x x) )是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且且f f( (x x) )滿足：當(dāng)滿足：當(dāng)f f( (k k) )k k2 2成立時成立時，總可推總可推出出f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2成立那么下列命題總成立的是成立那么下列命題總成立的是( () )A A若若f f(3)(3)9 9 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k1 1 時時，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立B B若若f f(5)(5)2525 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k

15、5 5 時時，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立C C若若f f(7)(7)4949 成立成立，則當(dāng)則當(dāng)k k8 8 時時，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立D D若若f f(4)(4)2525 成立成立，則當(dāng)，則當(dāng)k k4 4 時時，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立解析：根據(jù)題中條件可知：由解析：根據(jù)題中條件可知：由f f( (k k) )k k2 2，必能推得必能推得f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2，但反之不成立但反之不成立，因為因為 D D 中中f f(4)(4)25254 42 2，故可推得故可推得k k4 4

16、 時時，f f( (k k) )k k2 2，故只有故只有 D D 正確正確答案：答案：D D1212已知已知f f( (n n) )(2(2n n7)7)3 3n n9 9，存在自然數(shù)存在自然數(shù)m m，使得對任意使得對任意n nN N，都能使都能使m m整除整除f f( (n n) )，則最大的則最大的m m的值為的值為( () )A A3030B B2626C C3636D D6 6解析解析：f f(1)(1)3636，f f(2)(2)108108，n n3 3 時時f f( (n n) )9(29(2n n7)37)3n n2 211，(2(2n n7)7)3 3n n2 21 1，當(dāng)

17、當(dāng)n n3 3 時能被時能被 4 4 整除整除，結(jié)合選項知結(jié)合選項知 C C 正確正確答案：答案：C C二、填空題二、填空題( (本大題共本大題共 4 4 小題小題，每小題每小題 5 5 分分，共共 2020 分把答案填在題中的橫線上分把答案填在題中的橫線上) )1313 若 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ：若 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ： 2 2n n 1 1n n2 2n n 2 2 成 立 時成 立 時 ， 第 一 步 應(yīng) 驗 證第 一 步 應(yīng) 驗 證_答案：答案：n n0 03 3，2 24 43 32 23 32 21414 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題用數(shù)學(xué)歸納法證明命題： 1 1

18、2 22 22 23 32 24 42 2( (1)1)n n1 1n n2 2( (1)1)n n1 1n n（n n1 1）2 2( (n nN N) )，( (從從“第第k k步到步到k k1 1 步步”時時，兩邊應(yīng)同時加上兩邊應(yīng)同時加上_答案：答案：( (1)1)k k( (k k1)1)2 21515用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)當(dāng)n n是非負(fù)整數(shù)時是非負(fù)整數(shù)時，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n能被能被 1111 整除整除”的第一步應(yīng)的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)寫成：當(dāng)n n_時時，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n_，能

19、被能被 1111 整除整除解析：本題考查對運用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況解析：本題考查對運用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況，由于由于n n是非負(fù)整數(shù)是非負(fù)整數(shù)，所以所以第一步應(yīng)考慮第一步應(yīng)考慮n n0.0.答案：答案：0 05 51 14 42 23 30 022221616假設(shè)凸假設(shè)凸k k邊形的對角線有邊形的對角線有f f( (k k) )條條，則凸則凸( (k k1)1)邊形的對角線的條數(shù)邊形的對角線的條數(shù)f f( (k k1)1)為為_解析：凸解析：凸( (k k1)1)邊形的對角線的條數(shù)等于凸邊形的對角線的條數(shù)等于凸k k邊形的對角線的條數(shù)邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向

20、加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)其他點引的對角線的條數(shù)k k2 2，再加再加上原來有一邊成為對角線上原來有一邊成為對角線， 共有共有 f f( (k k) )k k11條對角線條對角線答案：答案：f f( (k k) )k k1 1三、解答題三、解答題( (本大題共本大題共 6 6 小題小題，共共 7070 分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟算步驟) )1717( (本小題滿分本小題滿分 1010 分分) )用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2n n（2 2n n2

21、2）n n4 4（n n1 1）( (n nN N* *) )證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，左邊左邊1 12 21 1（2 22 2）1 18 8，右邊右邊1 14 4（1 11 1）1 18 8，左邊右邊左邊右邊所以當(dāng)所以當(dāng)n n1 1 時時，等式成立等式成立(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk k( (k kN N* *) )時等式成立時等式成立，即有即有1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k k（2 2k k2 2）k k4 4（k k1 1），則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時時，1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k

22、k（2 2k k2 2）1 12 2（k k1 1）22（k k1 1）22k k4 4（k k1 1）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）k k（k k2 2）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）（k k1 1）2 24 4（k k1 1） （k k2 2）k k1 14 4（k k2 2）k k1 14 4（k k1 11 1）. .所以當(dāng)所以當(dāng)n nk k1 1 時時，等式也成立等式也成立由由(1)(2)(1)(2)可知可知，對于一切對于一切n nN N* *等式都成立等式都成立1818( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )用用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：數(shù)學(xué)歸納

23、法證明不等式：1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 21(1(n nN N，且且n n1)1)證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n2 2 時時，1 12 21 13 31 14 4131312121 1 成立；成立；(2)(2)設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)n nk k( (k k2)2)時時，1 1k k1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 1；則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時時，1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1k k2 22 2k k1

24、11 1k k1 12 2k k1 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k2 2k k1 1k k（k k1 1）2 21 1（k k1 1）2 2k k2 2k k（k k1 1）2 21 1，即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時也成立時也成立由由(1)(2)(1)(2)知對任意知對任意n n1(1(n nN N) )，原不等式成立原不等式成立1919( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )求證：對于整數(shù)求證：對于整數(shù)n n0 0 時時，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 133133 整除整除證明：證明：(1)(1)n n0 0 時時，原式原式11112 2

25、1212133133 能被能被 133133 整除整除(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk k( (k k0 0，k kN)N)時時，1111k k2 212122 2k k1 1能被能被 133133 整除整除，n nk k1 1 時時， 原式原式1111k k3 312122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )111112122 2k k1 112122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )12122 2k k1 1133133 也能被也能被 133133 整除整除由由(1)(2)(1)(2)可知可知，對于整數(shù)對

26、于整數(shù)n n0 0，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 133133 整除整除2020 ( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )設(shè)設(shè) x xn n 是由是由x x1 12 2，x xn n1 1x xn n2 21 1x xn n( (n nN N) )定義的數(shù)列定義的數(shù)列， 求證求證：x xn n 2 21 1n n. .證明：證明：(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，x x1 12 2 2 21 1，不等式成立不等式成立(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k( (k k1)1)時時，不等式成立不等式成立，即即x xk k 2 21 1k k，那么那么，當(dāng)當(dāng)n nk

27、 k1 1 時時，x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k. .由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)，x xk k 2 21 1k k，則則x xk k2 22 22 21 12 2k k，1 1x xk k1 12 21 1k k. .因為因為x xk k 2 2，所以所以1 1x xk k2 22 2. .所以所以x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k2 22 21 12 2k k2 22 2 2 21 12 2k k 2 21 1k k1 1. .即即x xk k1 1 2 21 1k k1 1. .所以當(dāng)所以當(dāng)n nk k1 1 時時，不等式不等式x xn n 2 21

28、1n n成立成立綜上所述綜上所述，得得x xn n 2 21 1n n( (n nN N) )2121( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )數(shù)列數(shù)列1 1n n（n n1 1） 的前的前n n項和記為項和記為S Sn n. .(1)(1)求出求出S S1 1，S S2 2，S S3 3的值；的值；(2)(2)猜想出猜想出S Sn n的表達(dá)式；的表達(dá)式；(3)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想你的猜想(1)(1)解：解：a an n1 1n n（n n1 1），S S1 1a a1 11 12 2；S S2 2a a1 1a a2 21 12 21 16 62 23 3；S

29、 S3 3a a1 1a a2 2a a3 31 12 21 16 61 112123 34 4. .(2)(2)解：猜想：解：猜想：S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )(3)(3)證明：證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，S S1 1a a1 11 12 2，右邊右邊1 12 2. .等式成立等式成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時時，S Sk kk kk k1 1，則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時時，S Sk k1 1S Sk ka ak k1 1k kk k1 11 1（k k1 1） （k k2 2）（k k1 1）2 2（k k1 1） （k k2 2）k k1 1k k2 2k

30、 k1 1（k k1 1）1 1. .即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時時，等式成立等式成立由由可得可得S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )2222( (本小題滿分本小題滿分 1212 分分) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n，且且S Sn n，a an n的等差中項為的等差中項為 1.1.(1)(1)寫出寫出a a1 1，a a2 2，a a3 3；(2)(2)猜想猜想a an n的表達(dá)式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：解：(1)(1)由題意由題意S Sn na an n2 2，可得可得a a1 11 1，a a2 21

31、 12 2，a a3 31 14 4. .(2)(2)猜想猜想a an n1 12 2n n1 1. .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，a a1 11 1，1 12 2n n1 11 12 20 01 1，等式成立等式成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時時，等式成立等式成立，即，即a ak k1 12 2k k1 1，則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時時，由由S Sk k1 1a ak k1 12 2，S Sk ka ak k2 2，得得( (S Sk k1 1S Sk k) )a ak k1 1a ak k0 0，即即 2 2a ak k1 1a ak k，所以所以a ak k1 11 12 2a ak k1 12 2 1 12 2k k1 11 12 2（k k1 1）1 1，即當(dāng)即當(dāng)n nk k1 1 時時，等式成立等式成立由由可知可知，對對n nN N，a an n1 12 2n n1 1. .最新精品資料