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1、返回返回 質(zhì)點系中所有質(zhì)點動量的矢量質(zhì)點系中所有質(zhì)點動量的矢量和，稱為質(zhì)點系的動量，又稱為質(zhì)和，稱為質(zhì)點系的動量，又稱為質(zhì)點系動量的主矢。即：點系動量的主矢。即： iiim vp 質(zhì)點系的動量是自由矢，是度量質(zhì)點系整體運動質(zhì)點系的動量是自由矢，是度量質(zhì)點系整體運動的基本特征之一。具體計算時可采用其在直角坐標系的基本特征之一。具體計算時可采用其在直角坐標系的投影形式。的投影形式。 ,xiixyiiyziiziiipmvpmvpmv 注意到物理學中，質(zhì)點系質(zhì)注意到物理學中，質(zhì)點系質(zhì)心位矢公式對時間的一階導數(shù)：心位矢公式對時間的一階導數(shù)： rriiiCmmvviiiCmm 式中，式中，rC為質(zhì)點系質(zhì)
2、心的位矢；為質(zhì)點系質(zhì)心的位矢； vC為質(zhì)心的速度；為質(zhì)心的速度；m為質(zhì)點系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點系的動量可改寫為：為質(zhì)點系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點系的動量可改寫為： Cmvp 這一結果表明，質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)這一結果表明，質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。這相當于將質(zhì)點系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點心速度的乘積。這相當于將質(zhì)點系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點的動量，這也表明，質(zhì)點系的動量描述了質(zhì)點系質(zhì)心的運動。的動量，這也表明，質(zhì)點系的動量描述了質(zhì)點系質(zhì)心的運動。 Cmvp 上述動量表達式對于剛體系也是正確的。上述動量表達式對于剛體系也是正確的。 動量所描述的并不是質(zhì)點系整體運動全部
3、，因為它不能動量所描述的并不是質(zhì)點系整體運動全部，因為它不能描述質(zhì)點系的轉動效應。描述質(zhì)點系的轉動效應。 圖示系統(tǒng)中，三個重物的質(zhì)量分別圖示系統(tǒng)中，三個重物的質(zhì)量分別為為m1、m2、m3，由一繞過兩個定滑輪，由一繞過兩個定滑輪的繩子相連接，四棱柱體的質(zhì)量為的繩子相連接，四棱柱體的質(zhì)量為m4 。如略去一切摩擦和繩子的重量。如略去一切摩擦和繩子的重量。 3若將上述系統(tǒng)放在有凸起的地面若將上述系統(tǒng)放在有凸起的地面上，如圖所示，當物塊上，如圖所示，當物塊1下降下降s時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)對凸起部分的水平壓力。對凸起部分的水平壓力。 求：求： 1系統(tǒng)動量的表達式；系統(tǒng)動量的表達式； 2系統(tǒng)初始靜止，當物塊系統(tǒng)
4、初始靜止，當物塊1下降下降s時，時，假設物體相對四棱柱體的速度已知，假設物體相對四棱柱體的速度已知，四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。的位移。解解：1. 1. 確定系統(tǒng)的動量表達式。建立確定系統(tǒng)的動量表達式。建立坐標系如圖示。根據(jù)坐標系如圖示。根據(jù)jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm 取四棱柱為動系，四棱柱體的速度為取四棱柱為動系，四棱柱體的速度為v，各物塊相對四棱柱體的速度為各物塊相對四棱柱體的速度為vr，則，則 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin4r32r1mvmmvmpyjip)sin()cos()(31r2
5、14321mmvmmvmmmm解解：2. 2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。體相對地面的位移。 因不計一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向因不計一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，即上動量守恒，即 1r2r34( cos)()0 xpm vvm vvm vm v123412r()(cos)0mmmm vmm v由此解得由此解得 r432121cosvmmmmmmv2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱體確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。相對地面的位移。 又因為系統(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積分，又因為系統(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積
6、分，得到四棱柱體的位移。得到四棱柱體的位移。 r432121cosvmmmmmmvsmmmmmmx432121cos解解：3.3.確定對凸起部分的作用力，可以確定對凸起部分的作用力，可以采用質(zhì)心運動定理。采用質(zhì)心運動定理。 設物塊相對四棱柱體的加速度為設物塊相對四棱柱體的加速度為a ar r，由于凸起部分的作用，四棱柱體不動，由于凸起部分的作用，四棱柱體不動，根據(jù)質(zhì)心運動定理，并注意到根據(jù)質(zhì)心運動定理，并注意到 aa re40aaiixcxmama得到得到四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力12coscxmam am aF故，四棱柱體的加速度故，四棱柱體的加
7、速度a 極易由牛頓定律求出。極易由牛頓定律求出。返回返回 兩個相同的均質(zhì)圓盤，放在光滑水平面上，在圓盤的不同兩個相同的均質(zhì)圓盤，放在光滑水平面上，在圓盤的不同位置上，各作用一水平力位置上，各作用一水平力F和和F，使圓盤由靜止開始運動，設，使圓盤由靜止開始運動，設F = F，試問哪個圓盤的質(zhì)心運動得快？，試問哪個圓盤的質(zhì)心運動得快？FFAB 電動機的外殼和定子的總質(zhì)電動機的外殼和定子的總質(zhì)量為量為 m1 ,質(zhì)心質(zhì)心C1與轉子轉軸與轉子轉軸 O1 重合重合 ；轉子質(zhì)量為；轉子質(zhì)量為 m2 ，質(zhì)心質(zhì)心 O2 與轉軸不重合與轉軸不重合 ，偏心，偏心距距 O1O2 = e 。若轉子以等角速。若轉子以等角
8、速度度 旋轉旋轉 求：求：電動機底座所受的水電動機底座所受的水平和鉛垂約束力。平和鉛垂約束力。解：解：1. 選擇包括外殼、定選擇包括外殼、定子、轉子的電動機作為研子、轉子的電動機作為研究對象。究對象。 2. 系統(tǒng)所受的外力：系統(tǒng)所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;轉子所受重力轉子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。FxFyM 2. 系統(tǒng)所受的外力系統(tǒng)所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;轉子所受重力轉子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。3. 各剛體質(zhì)心的加速度各剛體質(zhì)心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e 2(向心加速
9、度向心加速度)FxFyMaO2 3. 各剛體質(zhì)心的加速度各剛體質(zhì)心的加速度aC1=aO1=0 ;aC2=aO2=e2(向心加速度向心加速度),eRxiCixiFameRyiCiyiFam 4. 應用質(zhì)心運動定理應用質(zhì)心運動定理FxFyMaO2xFtemmcos0221gmgmFtemmy21221sin0 電動機的外殼和定子的總質(zhì)量為電動機的外殼和定子的總質(zhì)量為 m1,質(zhì)心質(zhì)心 C1與轉子轉軸與轉子轉軸 O1 重合重合 ；轉子質(zhì)量為轉子質(zhì)量為 m2 ，質(zhì)心，質(zhì)心 O2 與轉軸不與轉軸不重合重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e。轉子以等轉子以等角速度角速度 旋轉。旋轉。如果如果底座與基礎之底
10、座與基礎之間沒有螺栓固定，初始條件為間沒有螺栓固定，初始條件為 ：0，vO2x = 0, vO2y=e。電動機跳起的條件；電動機跳起的條件；外殼在水平方向的運動規(guī)律。外殼在水平方向的運動規(guī)律。解：解：1. 選擇包括外、殼、定子、選擇包括外、殼、定子、轉子的電動機作為研究對象，分轉子的電動機作為研究對象，分析系統(tǒng)的受力：析系統(tǒng)的受力：定子所受重力定子所受重力m1g;轉子所受重力轉子所受重力m2g; 由于底座與基礎之間沒有螺栓由于底座與基礎之間沒有螺栓固定，所以沒有水平方向約束力，固定，所以沒有水平方向約束力，只有約束力只有約束力Fy、M。FyMFyM 解：解： 2. 分析運動，確定各個剛體分析運
11、動，確定各個剛體質(zhì)心的加速度質(zhì)心的加速度 定系定系Oxy固結于地面；固結于地面；xyOy1x1aO2外殼作平移，其質(zhì)心加速度為外殼作平移，其質(zhì)心加速度為aO1; 轉子作平面運動，其質(zhì)心加速轉子作平面運動，其質(zhì)心加速度由兩部分組成：度由兩部分組成： ae=aO1 (牽連加速度，牽連加速度，水平方向水平方向); ar=aO2=e2(相對加速度，指相對加速度，指向向O1)。aO1aO1 動系動系O1x1y1固結于固結于外殼。外殼。 解：解：3. 應用質(zhì)心運動定理應用質(zhì)心運動定理確定約束力確定約束力eRyiCiyiFamgmgmFtemmy21221sin0temgmgmFysin2221FyMxyO
12、aO1aO1返回返回 一輛大馬力的汽車，在崎嶇不平的山路上可以暢通無一輛大馬力的汽車，在崎嶇不平的山路上可以暢通無阻。一旦開到結冰的光滑河面上，它卻寸步難行。同一輛阻。一旦開到結冰的光滑河面上，它卻寸步難行。同一輛汽車，同樣的發(fā)動機，為何有不同的結果？不要忘記在汽汽車，同樣的發(fā)動機，為何有不同的結果？不要忘記在汽車的發(fā)動機中，氣體的壓力是汽車行駛的原動力啊。你能車的發(fā)動機中，氣體的壓力是汽車行駛的原動力啊。你能解釋清楚嗎？解釋清楚嗎？ 為了某種工程需要，人們想削去為了某種工程需要，人們想削去一座山頭或想拆掉一座樓房而不一座山頭或想拆掉一座樓房而不影響周圍的建筑，往往采用定向影響周圍的建筑，往往
13、采用定向爆破。爆破。 定向爆破時，為了確保周邊一定范圍以外區(qū)域內(nèi)建定向爆破時，為了確保周邊一定范圍以外區(qū)域內(nèi)建筑物以及人身安全，必須預先計算爆破飛石散落的地筑物以及人身安全，必須預先計算爆破飛石散落的地點。你知道爆破飛石散落的地點是根據(jù)什麼計算出來點。你知道爆破飛石散落的地點是根據(jù)什麼計算出來的嗎？的嗎？ 不可壓縮的流體在變截面彎不可壓縮的流體在變截面彎管中定常流動管中定常流動(流量不隨時間而流量不隨時間而變化變化)，如圖所示。系統(tǒng)的邊界，如圖所示。系統(tǒng)的邊界由截面由截面1和和2所確定。流體的重所確定。流體的重力為力為W，出口和入口兩截面上，出口和入口兩截面上分別受到相鄰流體壓力分別受到相鄰流
14、體壓力F1和和F2的作用，管壁的總約束力為的作用，管壁的總約束力為FN 。 以截面以截面1和和2之間的流體為研究對之間的流體為研究對象。設在象。設在 t時間間隔內(nèi)，流體由截時間間隔內(nèi)，流體由截面面1和和2之間運動至之間運動至1 和和2 之間。在之間。在t瞬時，其動量為瞬時，其動量為p，在，在tt瞬時，瞬時，動量為動量為p ，則在，則在 t時間間隔內(nèi)動量時間間隔內(nèi)動量的改變量為的改變量為 1 21 21 22 21 11 2()()pppvvvvvviiiiiiiiiiiimmmmmm注意到研究的是定常流動，故有注意到研究的是定常流動，故有 )()(211122212121iiiiiiiiiii
15、immmmmmvvvvvvppp 2121iiimmvvi又因由又因由1至和至和2至均是非常小的質(zhì)量微團，故有至均是非常小的質(zhì)量微團，故有 212 21 1pvviiiimmm vv 將此式等號兩側同除以將此式等號兩側同除以t ，并對，并對t取極限，則有取極限，則有 212 21 1pvviiiimmm vv )(dd12vvpmqt式中式中)(dd12vvpmqt為質(zhì)量流量，表示單位時間內(nèi)流入或流出的質(zhì)量；為質(zhì)量流量，表示單位時間內(nèi)流入或流出的質(zhì)量；2211vAvAqm為流體的密度；為流體的密度；A1 和和A2分別為入口和出口處的橫截面面分別為入口和出口處的橫截面面積；積；v1 和和v2分別
16、為入口和出口處的速度。分別為入口和出口處的速度。 )(dd12vvpmqt根據(jù)質(zhì)點系動量定理微分形式的表達式，有根據(jù)質(zhì)點系動量定理微分形式的表達式，有 N212FFFWFvv)(1mq這就是應用于定常流體的動量定理。解題時只要根據(jù)需要列出這就是應用于定常流體的動量定理。解題時只要根據(jù)需要列出投影方程即可。投影方程即可。 返回返回返回返回 水流以體積流量水流以體積流量qV通過內(nèi)徑通過內(nèi)徑為為d1管道，由內(nèi)徑為管道，由內(nèi)徑為d2噴嘴噴噴嘴噴出，管道內(nèi)的壓力為出，管道內(nèi)的壓力為p1，水流，水流的密度為的密度為 。管道與噴嘴之間。管道與噴嘴之間通過法蘭用通過法蘭用6個螺栓相連。個螺栓相連。 求：求：每
17、個螺栓的受力。每個螺栓的受力。 解：解：分析以噴嘴的左右截面分析以噴嘴的左右截面(11和和22)為邊界所包含的質(zhì)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的關系，有量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的關系，有qv1122 解：解：分析以噴嘴的左右截面分析以噴嘴的左右截面(11和和22)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的體積流量與速度和管道橫截面積的關系，有關系，有qv1122 解：解：分析噴嘴內(nèi)質(zhì)量流的受力分析噴嘴內(nèi)質(zhì)量流的受力p1A1管道內(nèi)的質(zhì)量流對管道內(nèi)的質(zhì)量流對11截截 面的壓力；面的壓力；p2A2 噴嘴右側大氣對噴嘴右側大氣對22
18、截面截面 的壓力的壓力p2A2 0；FN噴嘴內(nèi)壁對質(zhì)量流的約束噴嘴內(nèi)壁對質(zhì)量流的約束 力，沿著噴嘴的軸線方向。力，沿著噴嘴的軸線方向。FTFN 解：解：應用動量定理的質(zhì)量流形式的投應用動量定理的質(zhì)量流形式的投影式影式每個螺栓受力每個螺栓受力考察噴嘴與法蘭的平衡考察噴嘴與法蘭的平衡FTFN 空氣流從臺式風扇排出，出口處空氣流從臺式風扇排出，出口處滑流邊界直徑為滑流邊界直徑為D，排出空氣流速，排出空氣流速度為度為v，密度為，密度為，風扇所受重力為，風扇所受重力為W。 求：求：風扇不致滑落的風扇底座與風扇不致滑落的風扇底座與臺面之間的最小摩擦因數(shù)。臺面之間的最小摩擦因數(shù)。 解：解：空氣流風扇葉片，在
19、葉片空氣流風扇葉片，在葉片周圍由葉片轉動所形成的邊界所周圍由葉片轉動所形成的邊界所限定。限定。 氣流沒有進入葉片之前，橫截氣流沒有進入葉片之前，橫截面尺寸很大，在入口處氣流的速面尺寸很大，在入口處氣流的速度與出口處相比很小，即度與出口處相比很小，即v1 0,出口處氣流的速度出口處氣流的速度v2=v。 解：解：分析質(zhì)量流的受力分析質(zhì)量流的受力 考察剛要進入和剛剛排出的一段考察剛要進入和剛剛排出的一段空氣流，在空氣流，在Oxy坐標系中，空氣流坐標系中，空氣流所受葉片的約束力為所受葉片的約束力為F f ；這一段；這一段空氣流都處于大氣的包圍之中，兩空氣流都處于大氣的包圍之中，兩側截面所受大氣的總壓力都近似為側截面所受大氣的總壓力都近似為0，v1A1=v2A2=0。 解：解：分析不包括空氣流的風扇受力分析不包括空氣流的風扇受力W風扇所受重力；風扇所受重力；F靜滑動摩擦力；靜滑動摩擦力；FN臺面對風扇的約束力；臺面對風扇的約束力；Ff空氣流對風扇的反作用力空氣流對風扇的反作用力
理論力學－第11章動量定理及其應用
