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1、三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項版解析第八章 直線與圓 一、選擇題1. 【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【解析】依題可設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系，直線的方程【名師點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，利用點到直線距離求直線的方程及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運算求解能力，根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為，然后可用代數(shù)方法即聯(lián)立直線與圓的方程有且只有一解求得，也可以利用幾何法轉(zhuǎn)化為圓心與直線的距離等于半徑求得，屬于容易題2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)
2、】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A考點： 圓的方程、點到直線的距離公式.【名師點睛】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關(guān)系來判斷若dr，則直線與圓相離；若dr，則直線與圓相切；若dr，則直線與圓相交(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個數(shù)(也就是方程組解的個數(shù))來判斷如果0，方程有兩個不同的實數(shù)解，從而方程組也有兩組不同的實數(shù)解，那么直線與圓相交提醒：直線與圓的位置關(guān)系的判斷多用幾何法3.【2015高考山東，理9】一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與
3、圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D【考點定位】1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】本題考查了圓與直線的方程的基礎(chǔ)知識，重點考查利用對稱性解決直線方程的有關(guān)問題以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系的理解與把握以及學(xué)生的運算求解能力.4.【2015高考新課標(biāo)2，理7】過三點，的圓交y軸于M，N兩點，則( )A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知得，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為，半徑為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C【考點定位】圓的方程【名師
4、點睛】本題考查三角形的外接圓方程，要注意邊之間斜率的關(guān)系，得出是直角三角形，可以簡潔快速地求出外接圓方程，進(jìn)而求弦的長，屬于中檔題5. 【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、【答案】C【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因此，即，.選C.【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系.【名師點晴】首先圓是一個對稱圖形，它關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，當(dāng)然其對稱軸一定過圓心，其次直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系，判斷方法可用幾何與代數(shù)兩種方法研究，
5、圓的切線長我們用勾股定理求解，設(shè)圓外一點到圓的距離為，圓的半徑為，則由點所作切線的長6. 【2014福建,理6】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ）充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分又不必要條件【答案】A考點：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.充要條件.【名師點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積及充分條件與必要條件等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化劃歸能力及運算能力，充分條件與必要條件多以客觀題形式出現(xiàn).相關(guān)結(jié)論是：若 ,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.7. 【2014福建,理9】設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（ ）A. B. C. D.【答案】
6、D考點：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.數(shù)形結(jié)合的思想.【名師點睛】本題主要考查圓與橢圓的基礎(chǔ)知識，及劃歸思想.本題解法的關(guān)鍵是把兩點間的最大距離轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，注意與圓錐曲線有關(guān)的試題，一般運算量比較大，要注意運算的準(zhǔn)確性.二、填空題1.【2014江蘇，理9】在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為 .【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，點到直線的距離為，所求弦長為【考點】直線與圓相交的弦長問題【名師點晴】求圓的弦長的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2.(2)代數(shù)方法：運用韋達(dá)定理及弦長公式：|AB|x1x2|.注意：常用幾何
7、法研究圓的弦的有關(guān)問題2. 【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【答案】【解析】由題意得：半徑等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以半徑最大為，所求圓為【考點定位】直線與圓位置關(guān)系【名師點晴】利用圓的幾何性質(zhì)求方程可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題當(dāng)半徑表示為關(guān)于m的函數(shù)后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的條件.3. 【2015高考陜西，理15】設(shè)曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標(biāo)為 【答案】【考點定位】1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩
8、條直線的位置關(guān)系【名師點晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條直線的位置關(guān)系，屬于容易題解題時一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)錯誤解導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：切點在曲線上；切點在切線上；切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率4. 【2014高考陜西版文第12題】若圓的半徑為1，其圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【答案】【解析】試題分析：因為圓心與點關(guān)于直線對稱，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【名師點晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點關(guān)于直線的對稱，屬于容易題解題時利用對稱性求出圓心坐標(biāo)，就可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5. 【2
9、014新課標(biāo)，理16】設(shè)點M（,1），若在圓O:上存在點N，使得OMN=45，則的取值范圍是_.【答案】【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖，過OAMN，垂足為A，在中，因為OMN=45，所以=，解得，因為點M（,1），所以，解得，故的取值范圍是.【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一6. 【2014四川，理14】設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是 .【答案】【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.【名師點睛】利用基
10、本不等式求最值時，要注意“一正，二定，三相等”.7.【2014高考重慶理第13題】已知直線與圓心為的圓相交于兩點，且為等邊三角形，則實數(shù)_.【答案】【解析】試題分析：由題設(shè)圓心到直線的距離為解得：所以答案應(yīng)填：.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、點到直線的距離公式.【名師點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，等邊三角形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)分析題目條件，將等邊三角形這一條件等價轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是非常關(guān)鍵的.8.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則 .【答案】2【解析】試題分析：依題意，設(shè)與單位圓相交于兩點，
11、則.如圖，當(dāng)時滿足題意，所以.考點：直線與圓相交，相等弧的概念，容易題.【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，夯實基礎(chǔ)，注重基礎(chǔ)知識的運用，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生動手作圖能力、基本知識的識記能力和靈活運用能力，鍛煉學(xué)生的嚴(yán)密地邏輯推理能力.9. 【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方）， 且（）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序號是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】（）；（） 【解析】（）依題意，設(shè)（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方
12、程為.（）聯(lián)立方程組，解得或，因為在的上方，所以，令直線的方程為，此時，所以，因為，所以.所以，正確結(jié)論的序號是.【考點定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進(jìn)行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結(jié)果為定值，則可采用此法. 特殊法是“小題小做”的重要策略. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等10.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則_.【答案】4考點：直線與圓的位置關(guān)系11.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離
13、_.【答案】【解析】試題分析：利用兩平行線間距離公式得.考點：兩平行線間距離公式.【名師點睛】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即的系數(shù)應(yīng)該分別相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.三、解答題1. 【2015高考廣東，理20】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圓的圓心坐標(biāo)為；（2）設(shè)，則 點為弦中點即， 即， 線段的中點的軌跡的方程為；（3）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半
14、徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點），且，又直線：過定點，當(dāng)直線與圓相切時，由得，又，結(jié)合上圖可知當(dāng)時，直線：與曲線只有一個交點【考點定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜率等知識與數(shù)形結(jié)合思想等應(yīng)用【名師點睛】本題主要考查圓的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜率等知識，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力，屬于中高檔題，本題（1）（2）問相對簡單，但第（2）問需注意取值范圍（），對于第（3）問如果能運用數(shù)形結(jié)合把曲線與直線的圖形畫出求解則可輕易突破難點2. 【2013江蘇，理17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若
15、圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【答案】(1) y3或3x4y120.；(2) 【解析】解：(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為MA2MO，所以，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點
16、M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.【考點定位】本小題主要考查直線與圓的方程，考查直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法分析解決問題的能力.【名師點晴】1圓的切線問題(1)過圓x2y2r2(r0)上一點M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2；(2)過圓x2y2DxEyF0外一點M(x0，y0)引切線，有兩條，求方程的方法是待定系數(shù)法，圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題2兩圓位置關(guān)系的判
17、斷常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法 3. 【2013課標(biāo)全國，理20】(本小題滿分12分)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.【解析】：由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C
18、是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90，則l與y軸重合，可得|AB|.所以|AB|.當(dāng)時，由圖形的對稱性可知|AB|.綜上，|AB|或|AB|.【名師點睛】本題考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查考生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.4【2014天津，理18】設(shè)橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為已知（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上異于其頂點的
19、一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率【答案】（）；（）直線的斜率為或【解析】試題解析：（）設(shè)橢圓的右焦點的坐標(biāo)為由，可得，又，則，橢圓的離心率（）由（）知，故橢圓方程為設(shè)由，有，由已知，有，即又，故有又點在橢圓上，故由和可得而點不是橢圓的頂點，故，代入得，即點的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為，則，進(jìn)而圓的半徑設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程為由與圓相切，可得，即，整理得，解得直線的斜率為或考點：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2直線和圓的方程；3直線和圓的位置關(guān)系【名師點睛】本題考查求離心率和待定系數(shù)法求橢圓方程，屬于中偏難題目，解決直線與圓錐曲線問題，首先求離心率就是根據(jù)題
20、目所給條件列出一個關(guān)于的等式，就能求出離心率;其次解決直線與圓錐曲線問題，要求學(xué)生要學(xué)會設(shè)而不求的解題思想，先設(shè)出直線方程，設(shè)出直線與橢圓的交點，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后，簡單方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，通過的關(guān)系及題目的要求解題.直線與圓錐曲線問題為每年高考必考問題，也是備考重點.7.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程；（3）設(shè)點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢?/p>
21、】（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心與半徑：根據(jù)直線與x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半徑（2）本題實質(zhì)已知弦長求直線方程，因此應(yīng)根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程（3）利用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長范圍建立不等式，解對應(yīng)參數(shù)取值范圍試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5,.（1）由圓心在直線x=6上，可設(shè).因為N與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (3)設(shè) 因為,所以 因為點Q在圓M上，所以 .將代入，得.于是點既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓有公共點，所以 解得.因此，實數(shù)t的取值范圍是. 考點：直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算【名師點睛】直線與圓中三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定主元，如本題以為主元，揭示在兩個圓上運動，從而轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點這一位置關(guān)系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓位置關(guān)系.
三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項版解析—— 專題08 直線與圓
